تعريف المخروط

ما هو المخروط؟

يعرف المخروط (بالإنجليزية: Cone) بأنه شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من قاعدة مسطحة دائرية الشكل في معظم الأحيان، ثم يبدأ شكله يضيق تدريجياً نحو القمة التي تشكل رأس المخروط (بالإنجليزية: Apex)، وعند النظر إلى المخروط فإنه يمكن ملاحظة أن رأس المخروط يرتبط بخطوط مستقيمة مع كل نقطة على محيط القاعدة الدائرية، وتجد الإشارة إلى أن هناك الكثير ممّن يشبّهون المخروط بالهرم، إلا أن المخروط مقطعه العرضي دائري الشكل، بينما يكون المقطع العرضي للهرم غالباً مثلث الشكل.

أنواع المخروط

هناك عدة أنواع للمخروط، وفيما يلي توضيح لكل منها:

• المخروط الدائري القائم: (بالإنجليزية: Right Cone) وهو المخروط الذي يقابل رأسه مركز القاعدة تماماً؛ أي يقع على استقامة معه، ويتكون من قاعدة دائرية، ومحور عمودي يربط بين رأس المخروط، ومركز القاعدة، ويصنع هذا المحور زاوية قائمة مع القاعدة، وهذا هو السبب في تسمية هذا المخروط بالمخروط القائم.
• المخروط المائل: (بالإنجليزية: Oblique Cone) هو المخروط الذي لا يقع رأسة مقابل مركز القاعدة تماماً؛ أي لا يقع على استقامة واحدة معه، ويتكون من قاعدة دائرية، ولا يشكّل محور المخروط زاوية قائمة مع القاعدة، ويكون مائل الشكل، وهذا هو السبب بتسميته بالمخروط المائل.

ملاحظة: قوانين حساب حجم المخروط الدائري القائم يمكن استخدامها لحساب حجم المخروط المائل، في حين لا يمكن استخدام قوانين مساحة المخروط الدائري القائم لحساب مساحة المخروط المائل.

خصائص المخروط

يتميز المخروط بالخصائص الآتية:

• يحتوي المخروط على رأس واحد، ووجه واحد وهو القاعدة دائرية الشكل، ولا يحتوي على حوافٍّ أو زوايا.
• يمكن إيجاد عرض المخروط من خلال حساب قطر قاعدة المخروط الدائرية.
• يمكن التعبير عن المخروط باسستخدام ثلاثة أبعاد، وهي:
  • الارتفاع: (بالإنجليزية: Altitude) وهو العمود المقام بين رأس المخروط، ومركز القاعدة.
  • نصف قطر المخروط: (بالإنجليزية: Radius) يمثل نصف قطر القاعدة الدائرية.
  • المائل: (بالإنجليزية: Slant Height) هو المسافة بين رأس المخروط، وأي نقطة على محيط قاعدة المخروط الدائرية مروراً بجانب المخروط المنحني.

قوانين المخروط

يُمكن حساب المساحة والحجم لأيّ شكلٍ مخروطيٍّ بتطبيق القوانين الآتية:

مساحة المخروط

يمكن إيجاد مساحة المخروط الدائري القائم من خلال حساب مجموع مساحة القاعدة، والمساحة الجانبية، وذلك كما يلي:

• مساحة المخروط = مساحة القاعدة الدائرية الشكل المساحة الجانبية، ومنه:
• مساحة المخروط = π×نق² π×نق×ل، وبإخراج ( π×نق) كعامل مشترك ينتج أن:
• مساحة المخروط = π×نق×(ل نق)، حيث:
  • π: الثابت باي، وهو ثابت عددي قيمته 3.14، أو 22/7.
  • نق: نصف قطر قاعدة المخروط الدائرية.
  • ل: طول المائل، أو الارتفاع الجانبي في المخروط القائم، وهو المسافة بين رأس المخروط، وأية نقطة على محيط القاعدة الدائرية كما ذُكر سابقاً، ويمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك لأن ارتفاع المخروط (ع) يصنع مثلثاً قائم الزاوية يشكّل فيه نصف قطر القاعدة والارتفاع ضلعي القائمة، أمّا الوتر فهو الارتفاع الجانبي، وبالتالي:
    • الارتفاع الجانبي (ل)= (نق² ع²)√.

حجم المخروط

يمكن إيجاد حجم المخروط باستخدام العلاقة الآتية :

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع؛ حيث:
  • نق: هو نصف قطر القاعدة الدائرية
  • ع: هي المسافة العمودية بين رأس المخروط، ومركز القاعدة.
  • π: الثابت باي، وهو ثابت عددي قيمته 3.14، أو 22/7.

مفهوم المخروط الناقص

يعرف المخروط الناقص (بالإنجليزية: Truncated Cone) بأنه المخروط الذي ينتج عن قطع الجزء العلوي للمخروط بشكل موازٍ لقاعدة المخروط، ممّا يؤدّي إلى إزالة رأس المخروط، ويمكن التعبير عن هذا المخروط باستخدام الأبعاد الآتية:

• الارتفاع: (بالإنجليزية: Height) وهو القطعة العمودية المستقيمة الواصلة بين منتصفي كلٍّ القاعدة العلوية الناتجة عن قطع رأس المخروط، والقاعدة السفلية.
• نصف القطر: (بالإنجليزية: Radius) وهو يعبّر عن نصف قطر كلٍّ من القاعدة العلوية، ونصف قطر القاعدة السفلية، وهما مختلفان عادة.
• الارتفاع الجانبي: (بالإنجليزية: Slant Height) وهو أقصر مسافة ممكنة بين حافتيّ كل من القاعدة العلوية، والسفلية.

قوانين المخروط الناقص

فيما يلي بعض القوانين الخاصة بالمخروط الناقص:

• الارتفاع الجانبي (ل): يمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس، ويساوي:
  • ل²= ع² (نق1 - نق2)²، ومنه: ل= (ع² (نق1-نق2)²)√.
• المساحة الجانبية للمخروط الناقص: يمكن إيجادها كما يلي:
  • المساحة الجانبية للمخورط الناقص= π×(نق1 نق2)×ل
• مساحة المخروط الناقص: يمكن إيجادها باستخدام العلاقة الآتية:
  • مساحة المخروط الناقص= π×(ل×(نق1 نق2) (نق1)² (نق2)²).
• حجم المخروط الناقص: يمكن إيجاده كما يلي:
  • حجم المخروط الناقص= (1/3)×π×ع×((نق1)² (نق2)² (نق1×نق2))؛ حيث:
    • نق1: نصف قطر القاعدة السفلية.
    • نق2 : نصف قطر القاعدة العلوية.
    • ل: المائل أو الارتفاع الجانبي للمخروط الناقص.
    • π: الثابت باي، وهو ثابت عددي قيمته 3.14، أو 22/7.
    • ع: ارتفاع المخروط الناقص.

أمثلة متنوعة حول المخروط

وفيما يأتي أمثلة متنوعة حول المخروط:

• المثال الأول: إذا كان حجم مخروط دائري قائم 9856سم، وقطر قاعدته (ق) هو 28سم، فما هو ارتفاعه (ع)، وارتفاعه الجانبي (ل)، ومساحته الجانبية؟

الحل:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، ومنه يمكن إيجاد الارتفاع كما يلي:
  • بما أن القطر = 28سم، فإن نصف القطر (نق) = القطر/2 = 14سم.
  • بالتعويض في قانون الحجم فإن:
  • 9856 = (1/3)×22/7ײ14×ع، ومنه:
  • الارتفاع = (9856×3×7)/(22×14×14)، ومنه: الارتفاع = 48سم.
• الارتفاع الجانبي = (نق² ع²)√، وبالتالي:
  • ل = 14² 48²√= 50سم.
• المساحة الجانبية = π×نق×ل، وبالتالي:
  • المساحة الجانبية = 22/7 × 14 × 50= 2200سم².

• المثال الثاني: مخروط ناقص قطر قاعدته العلوية 2سم، وقطر قاعدته السفلية 6سم، وارتفاعه 10سم، فما هي قيمة كلٍّ من: مساحته الجانبية، ومساحته الكلية، وحجمه؟

الحل: لإيجاد كل من المساحة الجانبية، والمساحة الكلية فإنه يجب أولا إيجاد الارتفاع الجانبي (ل)، وذلك كما يلي:

• حساب الارتفاع الجانبي، وذلك كما يلي:
  • ل=(ع² (نق1-نق2))²√= 10² (6-2)²√ = 10.77سم.
• المساحة الجانبية للمخروط الناقص = π×(نق1 نق2)×ل، وبالتالي:
  • المساحة الجانبية للمخروط الناقص= 3.14×(6 2)× 10.77= 270.69 سم².
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية π×(نق1)² π×(نق2)²، وبالتالي:
  • المساحة الكلية = 270.69 (3.14×6² 3.14×2²) = 396.35 سم².
• حجم المخروط = (1/3)×π×ع×((نق1)² (نق2)² (نق1×نق2))، وبالتالي:
  • حجم المخروط = (1/3)×3.14×10×(6² 2² (6×2)) = 544 سم³.

• المثال الثالث: ما هي المساحة الكلية للمخروط الدائري الذي نصف قطر قاعدته هو 6سم، وارتفاعه الجانبي (ل) هو 10سم؟

الحل:

• المساحة الكلية = المساحة الجانبية مساحة القاعدتين، وبالتالي:
• المساحة الكلية = π×نق×(ل نق)= 3.14×6×(10 6) = 301.59سم².

• المثال الرابع: ما هو حجم المخروط الذي ارتفاعه هو 15م، ونصف قطره هو 8م؟

الحل:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، وبالتالي:
• حجم المخروط = (1/3)×3.14ײ8×15 = 1005م³.

• المثال الخامس: ما هو حجم المخروط القائم الذي قطره 6سم، وارتفاعه 5سم؟

الحل:

• • حجم المخروط = (1/3)×مساحة القاعدة×ع ويساوي (1/3)× π×نق²×ع، وبالتالي:
  • حجم المخروط = (1/3)×3.14×3²×5؛ وذلك لأن نصف القطر يساوي القطر/2، ومنه:
  • حجم المخروط = 47.1 سم³.

• المثال السادس: مخروط دائري نصف قطره هو 4م، وارتفاعه هو 18م، يُراد تعبئته بالماء، فكم من الوقت يحتاج حتى يمتلئ المخروط بالكامل، علماً بأن الماء يملأ المخروط بمعدل 3 متر³ لكل 25 ثانية؟

الحل:

• كمية الماء التي تملأ المخروط بالكامل = حجم ذلك المخروط، وتساوي (1/3)×π×نق²×ع، وبالتالي فإن حجم المخروط يساوي:
  • حجم المخروط = (1/3)×3.14×4²×18= 301.44م³، وهي كمية الماء التي تملؤه بالكامل.
• الوقت الذي نحتاجه لتعبئة المخروط = حجم المخروط/معدل تعبئته = 301.44م³/ (3م³ /25 ثانية)، وبالتالي:
  • الوقت اللازم لملء المخروط = 2512 ثانية = 41.9 دقيقة.

• المثال السابع: إذا كانت المساحة الجانبية لمخروط دائري تساوي ضعف مساحة القاعدة، فما هي المساحة الكلية للمخروط علماً أن ارتفاعه هو 9 سم؟

الحل:

• المساحة الكلية للمخروط = π×نق×(ل نق)، ولحساب (ل) يجب اتباع الخطوات الآتية:
  • المساحة الجانبية = 2×مساحة القاعدة، وفق معطيات السؤال، وبالتالي:
  • π×نق×ل = 2×π×نق²، وبقسمة الطرفين على (π×نق) ينتج أن: ل=2×نق.
  • ارتفاع المخروط يصنع مثلثاً قائم الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي (ل)، ونصف القطر (نق) والارتفاع (ع) هما ضلعا القائمة، وبالتالي:
  • نق² ع² = ل²، وبما أن ع = 9، و ل = 2نق، فإن: نق² 81 = 4نق²، ومنه: 81 = 3نق²، وبقسمة الطرفين على (3) ينتج أن: نق² = 27، ومنه: نق= 27√ سم، و ل= 2×نق = 27√2 سم.
• التعويض في القانون: المساحة الكلية للمخروط = π×نق×(ل نق) = 3.14×27√× (27√ 27√2) = 254.34 سم².

• المثال الثامن: إذا كانت المساحة الكلية لمخروط دائري 24π سم²، ونصف قطره هو 3سم، فما هو ارتفاعه (ع)؟

الحل:

• مساحة المخروط الكلية = مساحة القاعدة المساحة الجانبية = π×نق×(ل نق)، وبالتالي:
  • مساحة المخروط = 24π=(3 ل)×3×π، وبقسمة الطرفين على (π×3)، ينتج أن:
  • 8=ل 3، ومنه: ل=5سم.
• التعويض في القانون: ل= (نق² ع²)√، لينتج أن: 5= (3² ع²)√، وبتربيع الطرفين ينتج أن: 25=9 ع²، وبطرح 9 من الطرفين ينتج أن: 16= ع²، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: الارتفاع = 4سم.

• المثال التاسع: مخروطان قطر الأول هو 6 سم، وارتفاعه هو 10سم، وقطر الثاني هو 3سم، وارتفاعه هو 8سم، فإذا تمت تعبئة المخروط الصغير بالرمل، ثم تفريغ الرمل داخل المخروط الكبير، فكم هو الحجم المتبقي داخل المخروط الكبير؟

الحل:

• كمية الرمل داخل المخروط تعادل حجم المخروط عند ملئه تماماً به، ويمكن حساب حجم المخروطين الكبير والصغير من القانون: حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، كما يلي:
  • حجم المخروط الكبير = (1/3)×π×3²×10؛ وذلك لأن نصف القطر= القطر/2، ومنه:
  • حجم المخروط الكبير = π30 سم³.
  • حجم المخروط الصغير= (1/3)×π × ²1.5×8، ويساوي 6π سم³، وهي كمية الرمل الموجودة لدينا.
• حجم الفراغ المتبقي داخل المخروط الكبير = حجم المخروط الكبير - حجم المخروط الصغير= 30π - π6، ويساوي π24 سم³.

• المثال العاشر: مخروط دائري قائم ارتفاعه 5سم، ونصف قطره يساوي ضعفي ارتفاعه، فما هو حجمه؟

الحل:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، ولحسابه يجب إيجاد قيمة نق، وذلك كما يلي:
  • نصف القطر = 2×الارتفاع= 2×5= 10سم.
• بالتعويض في القانون فإن حجم المخروط = (1/3)×3.14×5×10²= 523 سم ³.

• المثال الحادي عشر: مخروط دائري مائل قطره هو 12سم، وارتفاعه هو 15سم، فما هو حجمه؟

الحل: كما تمت الإشارة سابقاً فإن قانون حجم المخروط المائل هو نفسه قانون حجم المخروط القائم، وبالتالي فإنه يمكن إيجاد الحجم كما يلي:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، ولحساب الحجم فإننا نحتاج إلى نصف القطر، ونصف القطر = القطر/2، ويساوي 6سم.
• بالتعويض في القانون: حجم المخروط المائل = (1/3)×3.14×6²×15 = 565.2 سم³.