تعريف العدد الصحيح
يمكن تعريف العدد الصحيح (بالإنجليزية: Integer) بأنه العدد الذي لا يحتوي على أجزاء كسريّة، وهو ذاته العدد الذي لا توجد فيه خانات يمين الفاصلة العشريّة، وقد يكون العدد الصحيح موجباً، أو سالباً، أو صفراً، وتُعتبر الأعداد الصحيحة مجموعة جزئيّة تقع تحت مظلة مجموعة الأعداد الحقيقية، والتي تشمل إضافة للأعداد الصحيحة كلاً من: الأعداد الطبيعيّة، والكاملة، والكسريّة، والنسبيّة، وغير النسبية، ويُرمز للاعداد الصحيحة عادة بالرمز (Z).
لمزيد من المعلومات حول الأعداد الحقيقة يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هي الأعداد الحقيقية ، خصائص الأعداد الحقيقية .
تشمل الأعداد الحقيقة جميع الأعداد الواقعة على خط الأعداد بما في ذلك: الصفر، والأعداد العشرية، والصحيحة، والموجبة والسالبة، أما الأعداد الطبيعية فهي جميع الأعداد الصحيحة بدءاً من العدد واحد والتي تزيد عنه، والأعداد الكاملة هي الأعداد الطبيعية إضافة للصفر، أما بالنسبة للأعداد النسبية فهي التي يمكن كتابتها على شكل كسر مكون من بسط ومقام، والأعداد الكسرية هي الأعداد الواقعة بين الأعداد الصحيحة على خط الأعداد.
لمزيد من المعلومات حول الأعداد النسبية يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو العدد النسبي . لمزيد من المعلومات حول الأعداد العشرية يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو العدد العشري .
- مثال: صنّف الأعداد الآتية إلى أعداد صحيحة أو غير صحيحة: {90، 1.22، 13-، ⅔، 0، 205، 0.33-، ¼، 8، -⅜}.
| عدد صحيح | عدد غير صحيح |
|---|
| (90) ، (-13) ، (0) ، (205) ، (8) | (1.22) ،(-0.33) ، (¼) ،(⅔) ،(-⅜) |
تمثيل الأعداد الصحيحة على خطّ الأعداد
يعتبر خط الأعداد من الطرق التي يمكن من خلالها تمثيل الأعداد، وذلك عبر ترتيبهم على خط أفقي طويل يمتدّ إلى المالانهاية من الطرفين؛ اليمين واليسار، حيثُ تتوزع عليه الأعداد حسب الخصائص الآتية:
- يحتلّ الصفر وسط هذا الخط، حيث تقع الأعداد الأكبر منه على يمينه، والأصغر منه على يساره.
- تُسمّى الأعداد الصحيحة الأكبر من الصفر، والتي تقع على يمينه، بالأعداد الصحيحة الموجبة، وتحمل الرمز ( ).
- تُسمّى الأعداد الصحيحة الأصغر من الصفر، والتي تقع على يساره، بالأعداد الصحيحة السالبة، وتحمل الرمز (-).
- يُعتبر الصفر عدداً صحيحاً متعادلاً، فهو ليس موجباً ولا سالباً.
- إشارة العدد الصحيح يجب أن تكون إما موجبة أو سالبة، إلّا الصفر، فلا إشارة له.
- إنّ العددين الصحيحين يُعتبرا معاكسين لبعضهما البعض إذا كانت المسافة التي تفصل كلاً منهما عن الصفر متساوية، بحيث يقع أحدهما على يسار الصفر، والآخر على يمينه، ومن الأمثلة على العددين الصحيحين المتعاكسين: ( 2، -2)، ( 5، -5).
العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد الصحيحة
تتميز الأعداد الصحيحة بأن ناتج جمع، أو طرح، أو ضرب العددين الصحيحين ببعضهما يجب أن يكون عدداً صحيحاً بالضرورة؛ فمثلاً: 3 4= 7، 5-3 = 2، 3×2 =6 ، وجميع الأعداد السابقة هي أعداد صحيحة، أما بالنسبة للقسمة فإن ناتج قسمة العددين الصحيحين لا يجب أن يكون عدداً صحيحاً؛ فمثلاً 2/8 = 1/4، وهو عدد غير صحيح، وبشكل عام تنطبق جميع الخصائص المعروفة للجمع والضرب على عملية جمع وضرب الأعداد الصحيحة؛ مثل الخاصية التبديلية، والتجميعية، والتوزيع، وغيرها، وفيما يلي أبرز العمليات الرياضية التي يمكن تطبيقها على الأعداد الصحيحة:
عملية الجمع
من الأمور المتعلقة بعملية جمع الأعداد الصحيحة ما يلي:
- عند جمع عددين موجبين تكون النتيجة موجبة.
- عند جمع عددين سالبين تكون محصلتهم سالبة.
- عند جمع عدد موجب إلى عدد سالب تكون إشارة النتيجة نفس إشارة العدد الأكبر، وتتم العملية بطرح العدد الأصغر من العدد الأكبر ثم وضع إشارة الأكبر.
عملية الطرح
ما يميز عملية الطرح هو ظهور الحاجة إلى تغيير إشارة المطررح في بعض الأحيان، وذلك عندما يكون سالباً؛ حيث ينتج عن اجتماع الإشارتين السالبتين المتتاليتين تحوّل هاتين الإشارتين إلى الإشارة الموجبة، ثم إتمام العملية بشكل مماثل للقواعد التي تسير عليها عملية الجمع؛ فمثلاً لو أردنا طرح (-5) من (10) فإنّ العدد (-5) يصبح (5) وبالتالي تصبح المسألة: 10 - (-5) = 10 5 = 15، ولو أردنا طرح (6) من (11) فإن المسألة تتم دون الحاجة لتغيير الإشارات كما يلي: 11 - 6 = 5.
لمزيد من المعلومات حول خصائص عمليتي الجمع والطرح يمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص الجمع ، ماهي خصائص الجمع والطرح .
عمليتا الضرب والقسمة
عند إجراء عمليتي الضرب والقسمة على الأعداد الصحيحة يجب الأخذ بعين الاعتبار إشارة الناتج عن العملية، وهناك قاعدة أساسية متبعة في تحديد الإشارة والمتمثلة في أنّه: إذا تماثلت إشارة الأعداد المضروبة أو المقسومة فإنّ النتيجة تكون موجبة، وفي حال كانت إشارات الأعداد مختلفة (موجب مع سالب) فإنّ الإشارة ستكون سالبة كما في الأمثلة الآتية:
| العملية الحسابية | الناتج |
|---|
| 4 × 3 | 12 |
| -4 × -5 | 20 |
| 6 × -3 | -18 |
| -15 ÷ 5 | -3 |
| -20 ÷ -4 | 5 |
لمزيد من المعلومات حول خصائص عملية الضرب يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص عملية الضرب .
تطبيقات عملية على الأعداد الصحيحة السالبة
إنّ الرمز (-) الذي يُصاحب الأعداد السالبة عادة قد يُعبّر عن معانٍ مختلفة حسب التطبيق المستخدم فيه، وهو يعبّر عادة عن: النقص أو الانخفاض أو التقليل، أو التحرّك لليسار أو للأسفل، والأمثلة العملية الآتية توضّح هذه المعاني بالتفصيل:
- عند وصف تسارع سيّارة تقلل من سرعتها لتقف على إشارة مرور، فإنه يوصف باستخدام عدد سالب.
- لقياس درجة الحرارة في طقس بارد باستعمال ميزان الحرارة، فإنّ النتيجة التي يعطيها قد تكون عدداً سالباً؛ حيث إنّ ميزان الحرارة يشبه خطّ الأعداد في توزيعه، إلّا أنّ اتجاهه عموديّ من الأعلى للأسفل.
- للتعبير عن ارتفاعات المناطق المختلفة على سطح الأرض يُستخدم مستوى البحر كمرجع (بدلاً من الصفر في خط الأعداد)؛ فالمناطق الأعلى منه موجبة، والأقل منه سالبة، وعليه عند التعبير عن ارتفاع جبل ايفرست رياضياً بالقيمة ( 8848)، فإنّ هذا يعني أنه يقع فوق مستوى البحر بـ (8848) متراً، أمّا البحر الميّت، والذي يمثّل أخفض بقعة في العالم، فإنّ ارتفاعه يتمثل رياضياً بالقيمة (-409)؛ أي أن يقع تحت مستوى سطح البحر بـ (409) متراً، وفيما يلي توضيح لما سبق:
| الجملة | التعبير الرياضيّ |
|---|
| منطقة ما تقع فوق سطح البحر بـ (20,320) متراً | ( 20,320) |
| ارتفاع سطح البحر | (0) |
| منطقة ما تقع تحت سطح البحر بـ (282) متراً | (-282) |
| درجة حرارة منطقة ما (10) درجات مئوية فوق الصفر | ( 10) |
| خسر محمد (1000) دينار في صفقة عمل | (-1000) |
| أعطت المعلمة (3) درجات إضافية للطالبات اللواتي حللن الواجب الإضافي | ( 3) |
| تحرّكت سيّارة متراً واحدا للخلف | (-1) |
| معكوس العدد ( 8) | (-8) |
| معكوس العدد (-1500) | ( 1500) |
| ربحَت سالي (2500) ديناراً من بيعها لسيّارتها القديمة | ( 2500) |
| تسارعت السيّارة بمقدار (10) متراً في الثانيّة أثناء نزولها على المنحدر | ( 10) |
لمزيد من المعلومات حول الأعداد الزوحية والفردية يمكنك قراءة المقال الآتي: الأعداد الزوجية و الأعداد الفردية .
