خصائص الأعداد المركبة

خصائص الأعداد المركبة

ما هي خصائص الأعداد المركبة؟

من خصائص الأعداد المركبة ما يأتي:

  • إذا كانت أ،ب أعداداً حقيقية، وكان أ i.ب = 0؛ فإنّ أ=0، ب=0.
  • إذا كانت أ،ب،ج،د أعداداً حقيقية، وكان أ i.ب = ج i د؛ فإنّ: أ=ج، ب=د.
  • إذا كانت ع1، ع2، ع3 أعداداً مركبة؛ فإنّها تحقق الخاصيّة التبادلية وخاصيتي التوزيع والتجميع كما يأتي:
    • ع1 ع2 = ع2 ع1 (الخاصيّة التبادلية للجمع).
    • ع1×ع2 = ع2×ع1 (الخاصيّة التبادلية للضرب).
    • 1 ع2) ع3 = (ع2 ع3) ع1 (الخاصيّة التجميعية للجمع).
    • 1×ع2)×ع3 = (ع2×ع3)×ع1 (الخاصيّة التجميعية للضرب).
    • ع1×(ع2 ع3) = ع1×ع2 ع1×ع3. (خاصيّة توزيع الضرب على الجمع).
  • الناتج من جمع عدد مركب مع مرافقه (بالإنجليزية: Conjugate) هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجه جمعهما معاً هي: (أ i.ب) (أ- i.ب) = 2.أ؛ حيث أ: عدد حقيقي.
  • ناتج ضرب عدد مركب بمرافقه هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجة ضربهما هي: (أ i.ب)×(أ- i.ب) = أ²-أ.بi² أ.بi²-ب².i² = أ²-ب²i.²، وبما أنّ: i²=-1 فإنّ ناتج الضرب هو: أ² ب² وكلاهما عددان حقيقيان.
  • إذا كان ناتج جمع وضرب العددين المركبين هو عدد حقيقي؛ فالعددان مرافقان لبعضهما.
  • إذا كان: ع1، ع2 عددين مركبين؛ فإنّ القيمة المطلقة لناتج جمعهما تكون أقل أو مساوية للقيمة المطلقة للعدد ع1 عند جمعها مع القيمة المطلقة للعدد ع2، أي أنّ: |ع1 ع2| ≤ |ع1| |ع2|.
  • ناتج جمع أو طرح أو ضرب أي عددين مركبين هو عدد مركب.
  • عند جمع 0 إلى عدد مركب ينتج نفس العدد؛ أي أنّ: (أ i.ب) 0= (أ i.ب).
  • عند جمع عدد مركب مع معكوسه ينتج العدد 0: ع (-ع)= (أ i.ب) - ((أ i.ب))= أ i.ب-أ-i.ب)=0.
  • عند ضرب 1 بعدد مركب ينتج نفس العدد: 1×(أ i.ب)=(أ i.ب).
  • عند ضرب العدد المركب (ع) بـ (1/ع)، ينتج العدد 1؛ أي ع×1/ع = 1.
  • لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي، ويُمكن إثبات ذلك كما يأتي:
    • نفترض أن أ،ب عددان حقيقيان لا يساويان الصفر، وكان أ = i.ب؛ حيث: i.ب عدد تخيّلي، ثم بتربيع الطرفين: أ²=(ب².i²)، وتعويض قيمة i² = -1، ينتج أنّ: أ²=-ب²، ثمّ نقل ب² إلى الطرف الآخر لينتج أنّ: أ² ب²=0، وحتى تتحقق هذه المعادلة يجب لكل من قيمة أ، ب أن تساوي الصفر، ولكن ذلك يُناقض الفرضية الأولى أنّ: أ،ب≠0، وبالتالي لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي.
  • يتساوى العددان المركبان إذا تساوى الجزء الحقيقي في كليهما وتساوى الجزء التخيلي في كليهما؛ أي أنّ: (أ i.ب) = (ج i.د)، إذا كان: أ=ج، ب=د، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
    • مثال: ما هي قيم س، ص في: ع = 2س 4.i.ص، ل= -i³.س-ص 3؟
      • مساواة الجزأين الممثلين للعدد الحقيقي معاً: 2س = 3-ص ..... المعادلة الأولى.
      • مساواة الجزأين الممثلين للعدد التخيلي معاً: -i³.س = 4.i.ص، وبالتالي ينتج أنّ: س = 4ص ..... المعادلة الثانية.
      • تعويض قيمة س من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لينتج أنّ: 2×4×ص=3-ص لينتج: 9ص=3، ثمّ ترتيب المعادلة لينتج أنّ: ص=⅓، ثمّ تعويض قيمة ص في: س=4ص، لتنتج قيمة س= 4⁄3.
    • مثال: ما هي قيم س، ص إذا كان (3-4.i)×(س ص.i.0 1= (i؟
      • بأخذ الجزء الأيسر من المعادلة وفك الأقواس ينتج أنّ: 3س 3ص.i-(4 س.i) -(4.ص.i²).
      • تعويض قيمة i² = -1 لينتج أنّ: 3س 3ص.i-(4 س.i) (4.ص).
      • أخذ i كعامل مشترك لينتج أنّ: 3س 4ص i.(3ص -4 س).
      • بما أن العددين المركبين متساويين فإن الجزء الحقيقي متساوٍ في كليهما حسب الخاصيّة السابقة: 3س 4ص=1، والجزء التخيلي متساوِ: i(3ص -4 س)=0.i، وبترتيب المعادلة ينتج أنّ: 3ص=4س، ومنه ص=4/3×س ..... المعادلة الأولى.
      • تعويض قيمة ص من المعادلة الأولى في: 3س 4ص=1 لينتج أنّ: 3س 4(4/3×س)=1، 3س 16⁄3س=1، وبتوحيد المقامات ينتج أنّ: 9⁄3س 16⁄3س=1، 25⁄3س=1، ومنه: س=3⁄25.
      • تعويض قيمة س في المعادلة الأولى: ص=4/3س، لينتج أنّ قيمة ص = 4⁄25.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

يُمكن إجراء العمليات الحسابية المختلفة على الأعداد المركبة كما يأتي:

  • الجمع: تتم عملية جمع عددين مركبين عن طريق جمع كل من الجزء الحقيقي في كليهما على حدة، وجمع الجزء التخيلي على حدة؛ فمثلاً عند جمع العددين المركبين: (أ ب.i) (ج د.i)، ينتج أنّ: (أ ج) (ب د).i.
  • الضرب: تتم عملية الضرب بفك الأقواس وتعويض قيمة i²=-1؛ فمثلاً عند ضرب العددين المركبين: (أ ب i)×(ج د.i)، ينتج أنّ: أ.ج أ.د.i ب.ج.i ب.د.i²، وتعويض i²=-1 لينتج أنّ: أ.ج أ.د.i ب.ج.i-ب.د، ثمّ ترتيب الأجزاء الحقيقية والتخيلية، وتجميعهما معاً لينتج أنّ: أ.ج-ب.د (أ.د ب.ج).i.
  • مرافق العدد المركب: وينتج عند استبدال i بالعدد المركب بـ : (-i)، ويتم الإشارة إليه عن طريق وضع خط فوق العدد المركب؛ فمثلاً مرافق العدد المركب (أ ب.i) هو: (أ-ب.i).
  • القسمة: تتم عملية قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر عن طريق ضرب كل من البسط والمقام بمرافق المقام؛ فمثلاً عند قسمة العدد المركب ز على و: ز/و، يجب أولاً ضرب كل من البسط والمقام بمرافق (و) والذي يساوي: (وَ) فينتج أنّ: (ز×وَ)÷(و×وَ)= (ز×وَ)/|و|².
    • مثال: (1 i) ÷ (i-1).
    • ضرب كلّ من البسط والمقام بمرافق المقام (1 i) لينتج أنّ: (1 i) ÷ (i-1) = i.

أهمية الأعداد المركبة

تكمن أهمية الأعداد المركبة في التطبيقات والاستخدامات التي تدخل فيها، ومنها ما يأتي:

  • حل المعادلات متعددة الحدود، إذ تستخدم في حل المعادلات التربيعية.
  • تستخدم في الهندسة الكهربائية، وميكانيكا الكم.
  • تستخدم في الإلكترونيات والمجالات الكهرومغناطيسية.
  • تستخدم في ديناميكا السوائل.
  • تتميز بأنه يمكن تمثيلها بيانياً.
  • تتميز بأنها تحقق الخاصية التبديلية والتجميعية لعملية الجمع.
  • تتميز بأنها تحقق الخاصية التبديلية والتجميعية والتوزيعية لعملية الضرب.

نظرة عامة حول الأعداد المركبة

من المعروف أنه عند تربيع أي عدد من الأعداد الحقيقيّة ما عدا الصفر فإنّ الناتج يكون دائماً عدداً موجباً، وبالتالي لا يُمكن لأيّ عدد حقيقي أن يُحقق المعادلة: س² 1=0، لأنه من المُستحيل أن تكون قيمة س² سالبة، لذلك تم استحداث مجموعة جديدة من الأعداد وإضافتها إلى مجموعات الأعداد المعروفة وهي الأعداد المركبة (بالإنجليزية: Complex Numbers)، ومن أهم ميزاتها هو احتواؤها على العدد i، وهو عدد مربعه يساوي سالب واحد؛ أي أنّ: ²i = -1، وتُكتب عادة على الشكل أو الصورة العامة الآتية:

  • ك = أ ب.i، حيث؛ (ك): عدد مركب، (أ، ب) أعداد حقيقية، أمّا (i² = -1، ومنه: i = √-1)، ومن الأمثلة على الأعداد المركبة ما يلي: 3 2i ،3i.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يُمكن اعتبار كلّ عدد حقيقي على أنّه عدد مركب؛ فإذا كان ح هو عدد حقيقي؛ فإنّه يمكن كتابته على شكل: ح = ح 0×i.

8تعليم
مزيد من المشاركات
صبغ الشعر الأسود

صبغ الشعر الأسود

صبغ الشعر الأسود قد يكون من الصعب على السيدات اللَّاتي يمتلكنّ شعراً أسود أن يصبغنّ شعرهنّ، فهُنّ يُعاني عند القيام بذلك وقد لا يحصلنّ في النهاية على اللَّون الَّذي يرغبن به، ولا تكمن الصعوبة فقط في صبغ الشعر الأسود الطبيعيّ، بل تكون أصعب عندما يكون الشعر مصبوغاً باللَّون الأسود الصناعيّ، فمن المُتعب مُحاولة إزالة هذا اللَّون عن الشعر. ينتمي اللَّون الأسود إلى فئة درجات اللَّون من رقم واحد إلى رقم ثلاثة، وهذه تأتي مع درجات جانبيّة من الأحمر إلى البرتقاليّ، وهذه تختلف عن درجات الألوان من أربع
حكة الجلد

حكة الجلد

حكة الجلد يُستخدم مصطلح حكّة الجلد (بالإنجليزية: Pruritus) للتعبير عن الشعور الملح بالرغبة بخدش الجلد، وقد يتركّز الشعور بحكّة الجلد في جزء واحد من الجسم، وقد يكون في أجزاء مختلفة من الجسم، وقد يكون ناجماً عن الإصابة بالطفح الجلديّ، أو عدد من المشاكل الصحيّة الأكثر خطورة في بعض الحالات، مثل أمراض الكبد، والفشل الكلويّ، لذلك تجدر مراجعة الطبيب في حال المعاناة من حكّة الجلد غير المبرّرة، لتحديد المسبّب الرئيسيّ للحكّة وطريقة العلاج المناسبة، كما تجدر الإشارة إلى أنّه في بعض الحالات لا يمكن تحديد
كيف أجعل شعري مفروداً

كيف أجعل شعري مفروداً

العلاجات الكيميائية علاج الكيراتين يُعتبر علاج الكيراتين من العلاجات الشائعة التي تسعى السيدات من خلاله للحصول على شعر مفرود وناعم، ويمكن الحصول عليه من خلال التوجه إلى صالونات التجميل، حيث يعمل علاج الكيراتين على تنعيم الشعر وإزالة أيّ تعرجاتٍ موجودةٍ فيه، إلّا أنّ لعلاج الكيراتين بعض السلبيات، فهو واحد من العلاجات المكلفة التي لا تدوم طويلاً، فيجب إعادة تطبيقه بعد مرور 12 أسبوعاً على التطبيق الأول، بالإضافة إلى أنّ نتائجه ليست مبهرةً على الشعر المجعد جداً، فضلاً على احتوائه على مادة
جزيرة المرجان رأس الخيمة

جزيرة المرجان رأس الخيمة

الجُزر الصناعية تعدّ المنتجعات والفنادق الفخمة مصدر جذبٍ كبير للسياح، ونظراً لأهمية السياحة في اقتصاد الدُول فإن العديد من الدُول وخاصّةً دُول الخليج أصبحت تلجأ لبناء جُزر صناعية تتعدد فيها المُنتجعات التي قد تختلف في مستوى خدماتها وهذا كُله بهدف تشجيع قطاع السياحة، وما يجعل الأمر أكثر سهولةً في دُول الخليج دون غيرها من الدُول وجود استثمارات ضخمة بالإضافة إلى أنها دُول تتمتع بمناخ دافئ معظم أوقات السنة، ومن هذه الجُزر سنتحدث عن جزيرة المُرجان في إمارة رأس الخيمة في الإمارات العربية المتحدة.
موضوع تعبير عن الصحة

موضوع تعبير عن الصحة

الصحة خير من الثروة كثير ما يعتقد الكثيرون أن المال والثروة يجلبان الحظ، ويعوضان المرء عن كل شيء، ولكن ما لا يعلمونه أنّ الصحة أغلى ما يملكون، فبغير صحة الإنسان أنّى له أن يستمتع بثروته، ويأكل ما يحلو له وينام حيث يشاء ووقتما يرغب، فقد يضطر إلى إنفاقها كلها في سبيل الحصول على يوم من الراحة وعدم الشعور بالألم . الصحة مفتاح الإنجاز وعمارة الأرض يُقال إنّ الصّحة ثروةُ الإنسان العاقل؛ لأنّها أغلى ما يملك، وهي السلامة والعافية من المرض، كما أنّها الحالة الطبيعية للجسم، والتي تُمكّننا من المضيّ في
طريقة عمل عجينة القطايف بالبيت

طريقة عمل عجينة القطايف بالبيت

القطايف تعتبر القطايف من الحلويّات الشعبية التي يكثر انتشارها في بلاد الشام وفلسطين، وخاصّة خلال شهر رمضان المبارك، وتتوفر هذه الحلوى في الأسواق بكثرة، لكنّ بعض ربات البيوت يفضلن صنعها بأنفسهنّ بطريقة سهلة، وبسيطة، وغير مكلفة. كما يمكن تحضيرها بعدة حشوات مختلفة كالجوز، والجبن، والشوكولاتة وغيرها، وفي هذا المقال سنتحدث عن طريقة عمل عجينة القطايف في البيت، بالإضافة إلى طريقة عمل عجينة القطايف السوريّة الشهيّة. طريقة عمل عجينة القطايف بالسميد المكوّنات كوبان كبيران من الطحين. نصف كوب من السميد.
من هم أهل الذمة

من هم أهل الذمة

أهل الذمة يُطلق مصطلح الذمّة على العهد، أو الأمان، أو الكفالة، ومن ذلك قول الرسول صلى الله عليه وسلم: (المسلمون تتكافأُ دماؤُهم ويسعى بذمَّتِهم أدناهم)، وتُطلق الذمة أيضاً على الحقّ والحُرمة، وتُميّز عند الفقهاء بأنها الحالة التي يصبح فيها الإنسان أهلاً لوجوب الحق له أو عليه كأن يُقال: "في ذمَّتي كذا"، أمّا أهل الذمة بالنظر إلى الديانات المختلفة فهم المعاهَدون من أهل الكتاب، أي من اليهود والنصارى إن كانت إقامتهم في دار الإسلام، وأطلق عليهم أهل الذمة لأنّهم عاهدوا المسلمين ودخلوا في أمانهم
كيف أسلق البيض

كيف أسلق البيض

سلق البيض يعد البيض من العناصر الغذائية المهمة التي تناولها الإنسان منذ القدم، فقد تغذى الإنسان الأول على أوراق الأشجار، وبيض الطيور، والبرمائيات، والأسماك، ونظراً لتوفر البيض في كافة الأوقات، وقيمته الغذائية العالية، وطعمه اللذيذ، فقد دخل في تحضير المئات من أصناف الطعام، من اليخنات، والعجائن، وتحضير الكيك، والتارت، والعجة، والعديد العديد من الأصناف المشهورة التي تعتمد في صناعتها على وجود البيض بشكل أساسي، ومن أكثر أنواع البيض المستهلَكة بيض الدجاج، والبط، والإوز، والنعام، وبيض الأسماك وهو من