خصائص الأعداد المركبة

خصائص الأعداد المركبة

ما هي خصائص الأعداد المركبة؟

من خصائص الأعداد المركبة ما يأتي:

  • إذا كانت أ،ب أعداداً حقيقية، وكان أ i.ب = 0؛ فإنّ أ=0، ب=0.
  • إذا كانت أ،ب،ج،د أعداداً حقيقية، وكان أ i.ب = ج i د؛ فإنّ: أ=ج، ب=د.
  • إذا كانت ع1، ع2، ع3 أعداداً مركبة؛ فإنّها تحقق الخاصيّة التبادلية وخاصيتي التوزيع والتجميع كما يأتي:
    • ع1 ع2 = ع2 ع1 (الخاصيّة التبادلية للجمع).
    • ع1×ع2 = ع2×ع1 (الخاصيّة التبادلية للضرب).
    • 1 ع2) ع3 = (ع2 ع3) ع1 (الخاصيّة التجميعية للجمع).
    • 1×ع2)×ع3 = (ع2×ع3)×ع1 (الخاصيّة التجميعية للضرب).
    • ع1×(ع2 ع3) = ع1×ع2 ع1×ع3. (خاصيّة توزيع الضرب على الجمع).
  • الناتج من جمع عدد مركب مع مرافقه (بالإنجليزية: Conjugate) هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجه جمعهما معاً هي: (أ i.ب) (أ- i.ب) = 2.أ؛ حيث أ: عدد حقيقي.
  • ناتج ضرب عدد مركب بمرافقه هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجة ضربهما هي: (أ i.ب)×(أ- i.ب) = أ²-أ.بi² أ.بi²-ب².i² = أ²-ب²i.²، وبما أنّ: i²=-1 فإنّ ناتج الضرب هو: أ² ب² وكلاهما عددان حقيقيان.
  • إذا كان ناتج جمع وضرب العددين المركبين هو عدد حقيقي؛ فالعددان مرافقان لبعضهما.
  • إذا كان: ع1، ع2 عددين مركبين؛ فإنّ القيمة المطلقة لناتج جمعهما تكون أقل أو مساوية للقيمة المطلقة للعدد ع1 عند جمعها مع القيمة المطلقة للعدد ع2، أي أنّ: |ع1 ع2| ≤ |ع1| |ع2|.
  • ناتج جمع أو طرح أو ضرب أي عددين مركبين هو عدد مركب.
  • عند جمع 0 إلى عدد مركب ينتج نفس العدد؛ أي أنّ: (أ i.ب) 0= (أ i.ب).
  • عند جمع عدد مركب مع معكوسه ينتج العدد 0: ع (-ع)= (أ i.ب) - ((أ i.ب))= أ i.ب-أ-i.ب)=0.
  • عند ضرب 1 بعدد مركب ينتج نفس العدد: 1×(أ i.ب)=(أ i.ب).
  • عند ضرب العدد المركب (ع) بـ (1/ع)، ينتج العدد 1؛ أي ع×1/ع = 1.
  • لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي، ويُمكن إثبات ذلك كما يأتي:
    • نفترض أن أ،ب عددان حقيقيان لا يساويان الصفر، وكان أ = i.ب؛ حيث: i.ب عدد تخيّلي، ثم بتربيع الطرفين: أ²=(ب².i²)، وتعويض قيمة i² = -1، ينتج أنّ: أ²=-ب²، ثمّ نقل ب² إلى الطرف الآخر لينتج أنّ: أ² ب²=0، وحتى تتحقق هذه المعادلة يجب لكل من قيمة أ، ب أن تساوي الصفر، ولكن ذلك يُناقض الفرضية الأولى أنّ: أ،ب≠0، وبالتالي لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي.
  • يتساوى العددان المركبان إذا تساوى الجزء الحقيقي في كليهما وتساوى الجزء التخيلي في كليهما؛ أي أنّ: (أ i.ب) = (ج i.د)، إذا كان: أ=ج، ب=د، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
    • مثال: ما هي قيم س، ص في: ع = 2س 4.i.ص، ل= -i³.س-ص 3؟
      • مساواة الجزأين الممثلين للعدد الحقيقي معاً: 2س = 3-ص ..... المعادلة الأولى.
      • مساواة الجزأين الممثلين للعدد التخيلي معاً: -i³.س = 4.i.ص، وبالتالي ينتج أنّ: س = 4ص ..... المعادلة الثانية.
      • تعويض قيمة س من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لينتج أنّ: 2×4×ص=3-ص لينتج: 9ص=3، ثمّ ترتيب المعادلة لينتج أنّ: ص=⅓، ثمّ تعويض قيمة ص في: س=4ص، لتنتج قيمة س= 4⁄3.
    • مثال: ما هي قيم س، ص إذا كان (3-4.i)×(س ص.i.0 1= (i؟
      • بأخذ الجزء الأيسر من المعادلة وفك الأقواس ينتج أنّ: 3س 3ص.i-(4 س.i) -(4.ص.i²).
      • تعويض قيمة i² = -1 لينتج أنّ: 3س 3ص.i-(4 س.i) (4.ص).
      • أخذ i كعامل مشترك لينتج أنّ: 3س 4ص i.(3ص -4 س).
      • بما أن العددين المركبين متساويين فإن الجزء الحقيقي متساوٍ في كليهما حسب الخاصيّة السابقة: 3س 4ص=1، والجزء التخيلي متساوِ: i(3ص -4 س)=0.i، وبترتيب المعادلة ينتج أنّ: 3ص=4س، ومنه ص=4/3×س ..... المعادلة الأولى.
      • تعويض قيمة ص من المعادلة الأولى في: 3س 4ص=1 لينتج أنّ: 3س 4(4/3×س)=1، 3س 16⁄3س=1، وبتوحيد المقامات ينتج أنّ: 9⁄3س 16⁄3س=1، 25⁄3س=1، ومنه: س=3⁄25.
      • تعويض قيمة س في المعادلة الأولى: ص=4/3س، لينتج أنّ قيمة ص = 4⁄25.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

يُمكن إجراء العمليات الحسابية المختلفة على الأعداد المركبة كما يأتي:

  • الجمع: تتم عملية جمع عددين مركبين عن طريق جمع كل من الجزء الحقيقي في كليهما على حدة، وجمع الجزء التخيلي على حدة؛ فمثلاً عند جمع العددين المركبين: (أ ب.i) (ج د.i)، ينتج أنّ: (أ ج) (ب د).i.
  • الضرب: تتم عملية الضرب بفك الأقواس وتعويض قيمة i²=-1؛ فمثلاً عند ضرب العددين المركبين: (أ ب i)×(ج د.i)، ينتج أنّ: أ.ج أ.د.i ب.ج.i ب.د.i²، وتعويض i²=-1 لينتج أنّ: أ.ج أ.د.i ب.ج.i-ب.د، ثمّ ترتيب الأجزاء الحقيقية والتخيلية، وتجميعهما معاً لينتج أنّ: أ.ج-ب.د (أ.د ب.ج).i.
  • مرافق العدد المركب: وينتج عند استبدال i بالعدد المركب بـ : (-i)، ويتم الإشارة إليه عن طريق وضع خط فوق العدد المركب؛ فمثلاً مرافق العدد المركب (أ ب.i) هو: (أ-ب.i).
  • القسمة: تتم عملية قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر عن طريق ضرب كل من البسط والمقام بمرافق المقام؛ فمثلاً عند قسمة العدد المركب ز على و: ز/و، يجب أولاً ضرب كل من البسط والمقام بمرافق (و) والذي يساوي: (وَ) فينتج أنّ: (ز×وَ)÷(و×وَ)= (ز×وَ)/|و|².
    • مثال: (1 i) ÷ (i-1).
    • ضرب كلّ من البسط والمقام بمرافق المقام (1 i) لينتج أنّ: (1 i) ÷ (i-1) = i.

أهمية الأعداد المركبة

تكمن أهمية الأعداد المركبة في التطبيقات والاستخدامات التي تدخل فيها، ومنها ما يأتي:

  • حل المعادلات متعددة الحدود، إذ تستخدم في حل المعادلات التربيعية.
  • تستخدم في الهندسة الكهربائية، وميكانيكا الكم.
  • تستخدم في الإلكترونيات والمجالات الكهرومغناطيسية.
  • تستخدم في ديناميكا السوائل.
  • تتميز بأنه يمكن تمثيلها بيانياً.
  • تتميز بأنها تحقق الخاصية التبديلية والتجميعية لعملية الجمع.
  • تتميز بأنها تحقق الخاصية التبديلية والتجميعية والتوزيعية لعملية الضرب.

نظرة عامة حول الأعداد المركبة

من المعروف أنه عند تربيع أي عدد من الأعداد الحقيقيّة ما عدا الصفر فإنّ الناتج يكون دائماً عدداً موجباً، وبالتالي لا يُمكن لأيّ عدد حقيقي أن يُحقق المعادلة: س² 1=0، لأنه من المُستحيل أن تكون قيمة س² سالبة، لذلك تم استحداث مجموعة جديدة من الأعداد وإضافتها إلى مجموعات الأعداد المعروفة وهي الأعداد المركبة (بالإنجليزية: Complex Numbers)، ومن أهم ميزاتها هو احتواؤها على العدد i، وهو عدد مربعه يساوي سالب واحد؛ أي أنّ: ²i = -1، وتُكتب عادة على الشكل أو الصورة العامة الآتية:

  • ك = أ ب.i، حيث؛ (ك): عدد مركب، (أ، ب) أعداد حقيقية، أمّا (i² = -1، ومنه: i = √-1)، ومن الأمثلة على الأعداد المركبة ما يلي: 3 2i ،3i.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يُمكن اعتبار كلّ عدد حقيقي على أنّه عدد مركب؛ فإذا كان ح هو عدد حقيقي؛ فإنّه يمكن كتابته على شكل: ح = ح 0×i.

23تعليم
مزيد من المشاركات
طريقة عمل الجريش الأحمر

طريقة عمل الجريش الأحمر

الجريش يعرف الجريش بأنّه قمح مطحون، وله عدّة أنواع، منها المجروش الخشن والمجروش الناعم، ويمكن الحصول على الجريش من خلال شرائه جاهزاً من عند العطارين في الأسواق، ويستفاد من الجريش لعمل الكثير من الوجبات، ومن ضمنها وجبة الجريش الأحمر، لذا سوف نقوم في هذا المقال بالحديث عن طريقة تحضير الجريش الأحمر. الجريش الأحمر بالدجاج والطماطم المكوّنات أربعة أكواب من الجريش. ربع كوب من زيت الذرة. كيلوان من الدجاج. أربع حبات كبيرة من البصل المقطّع إلى أرباع. عشرة فصوص من الثوم. ملعقة كبيرة من الملح. نصف ملعقة
دورة الماء في الطبيعة

دورة الماء في الطبيعة

دورة الماء في الطبيعة تُعرّف دورة الماء في الطبيعة أو الدورة الهيدرولوجيّة (بالإنجليزيّة: Hydrologic Cycle) بأنّها الدورة التي المسؤولة عن حركة المياه في نظام الغلاف الجوّي للأرض، وتتمثّل في العديد من العمليات؛ كالتبخّر، والنتح، والتكاثف، والهطول، والجريان السطحي، وغيرها، حيث يتمّ من خلال هذه الدورة إعادة تدوير المياه للمحافظة على وجود المسطّحات المائية، واستمرارية تكاثف السحب، وهطول الأمطار على مرّ الأزمنة. مراحل دورة الماء في الطبيعة تمر دورة الماء في الطبيعة بعدة مراحل، وهي كالآتي: التبخر
ما هي الجزيرة

ما هي الجزيرة

تعريف الجزيرة الجزيرة هي أيّ مساحة من الأرض تحيط بها المياه، ومساحتها تقلّ عن مساحة القارات، وتتواجد الجزر في المحيطات، والبحار، والأنهار، والبحيرات، وتحاط قارة أستراليا التي تعد أصغر قارات العالم بالمياه من جميع الجوانب، ولكنها لا تعتبر جزيرة بسبب حجمها الذي يبلغ أكثر من ثلاثة أضعاف حجم أكبر جزيرة في العالم، كما أنّ هناك عدد لا يحصى من الجزر التي تختلف اختلافاً كبيراً من حيث الحجم، والمناخ، وأنواع الكائنات الحية التي تعيش فيها. تصنيف الجزر يمكن تصنيف الجزر إلى عدة أنواع، وهي: الجزر المحيطية:
خطوات نحو التغيير

خطوات نحو التغيير

مفهوم التغيير التغيير هو عبارة عن عملية تحول من واقع وحالة نعيش فيها إلى حالة نرغب بها والانتقال إليها، وهي ضرورية للإنسان، ولها أهميّة كبيرة في خروج الفرد من حالة يرفضها إلى حالة يقبلها، متحدّياً كل الصعوبات والمشكلات التي ستواجهه ويتعرض لها في المستقبل، وفي هذا يحدّد الفرد اتجاهه وميوله ويحديد قدراته في مواجهة التغيير، وقادراً على التغلب عليها. شروط إحداث التغيير فهم الحاضر. لا تفكّر بالماضي. تغيير الاستراتيجية عندما لا تسير كما تريد. أحط نفسك بالناس الإيجابيين. تدعيم السلوك الإيجابي. لا
قصة سيدنا زكريا

قصة سيدنا زكريا

قصة سيدنا زكريا لقد ذكر الله -تعالى- زكريا -عليه السلام- في القرآن الكريم في سياق حديثه عن الأنبياء الكرام في سورة الأنعام فقال: (وَزَكَرِيَّا وَيَحْيَى وَعِيسَى وَإِلْيَاسَ ۖ كُلٌّ مِنَ الصَّالِحِينَ). ولقد أرسل الله -تعالى- زكريا -عليه السلام- إلى بني إسرائيل، وكان من آخر الأنبياء الذين أرسلوا إلى بني إسرائيل، وكان زكريا يعمل نجارّاً؛ لقول النبي -صلى الله عليه وسلم-: (كانَ زَكَرِيَّاءُ نَجَّارًا). يرجع نسب سيدنا زكريا -عليه السلام- إلى آل عمران الذين اصطفاهم الله وجعل منهم أنبياء؛ زكريا
ما هي طرق اتخاذ القرار

ما هي طرق اتخاذ القرار

طرق اتخاذ القرار الرئيسية يتطلّب اتخاذ القرار اتباع الخطوات الآتية: تحديد الهدف: يجب قبل اتخاذ أيّ قرار تحديد الهدف وراء هذا القرار، وإمكانية عمله أم لا، بالإضافة إلى مدى تحقيق المصلحة المرادة منه. وضع المعايير لغربلة الخيارات: فعلى سبيل المثال عند شراء كاميرا رقمية يجب ذكر ميزات تلك الكاميرا، والإمكانية الفعلية للاستفادة منها. عدم البحث عن المثالية: فالشعور الجيد النابع من اتخاذ القرار أهمّ من موضوعية ذلك القرار. الحيادية عند اتخاذ القرار: فبعض الناس يتّخذون قرارات خاطئة ومؤلمة؛ بسبب انجرارهم
اسم سلمى

اسم سلمى

معنى اسم سلمى اسم علم مؤنث عربي، معناه: السليمة، الناجية، الخالصة، مذكرها أسلم، وسلمى زوجة سعد بن أبي وقاص،،معنى سلمى يأتي أيضاً بمعنى المعافاة، وأيضاً بمعنى نبات وسالمة معافاة سالمة من العيوب والأخطاء. أسماء تحمل نفس المعنى توجد بعض الأسماء التي تحمل نفس معنى اسم سلمى ، ومنها ما يأتي: سليمة: السالمة من الآفات والعيوب. سليمى: معناه تصغير سلمى. سالمة: ناجية وبريئة من العيوب والآفات معناه معافاة صحيحة كاملة. شفاء:معناه علاج برء زوال السقم والوجع الشفاء والمعافاة والبلاء من المرض. مدى انتشار اسم
مكونات الحناء البيضاء

مكونات الحناء البيضاء

الحناء البيضاء تعتبر الحناء البيضاء واحدة من أنواع الحناء التي تستخدمها المرأة عادة بهدف التزيّن في المناسبات مثل حفلات الزفاف وغيرها، حيث يكثر استخدامها في دول الوطن العربي، وتحديداً في دول الخليج والمغرب العربيّ، ومن الجدير بالذكر أنّه عدا عن استخدامات الحناء البيضاء للتزيين، فإنّها تعتبر من العلاجات التجميليّة الطبيعيّة، للتخلّص من العديد من المشاكل، وفي هذا المقال سوف نقدّم لكم مكوّنات الحناء البيضاء، والتي ستمكّنكم من صنعها في المنزل. مكونات الحناء البيضاء تتكون الحناء البيضاء من مجموعة