حل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الرتبة الثانية

طريقة حل المعادلة التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية

تكون المعادلة التفاضلية متجانسة ، عندما يكون أحد أطراف المعادلة يساوي صفراً ، كالآتي:

A d2y/dx2 B dy/dx C y = 0

ويتم حل المعادلة الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية من خلال استعمال خاصية مميزة من خصائص اشتقاق الدالة الأسية، وهي أنه عند أي نقطة يكون ميل (مشتقة ) الدالة الأسية ex يساوي قيمة الدالة الأسية ex، وبناءً على ذلك يتم حل المعادلة، وإن حل المعادلة العام يتكون من حلين يحتويان على الدالة الأسية .

يتم إيجاد حل المعادلة باستخدام الخطوات الآتية:

1- يتم فرض أن:

y = erx

2- إيجاد المشتقة الأولى والثانية للاقتران.

dy/dx = r erx

d2y/dx2 = r2 erx

3-تعويض المشتقة الأولى والثانية في المعادلة الأصلية.

4-إيجاد جذري المعادلة التربيعية الناتجة.

5-تعويض جذري المعادلة في الاقتران الذي تم فرضه.

6- ويكون الحل العام للمعادلة عبارة عن حاصل جمع المقدارين معاً كالآتي:

y = A e   B e

أمثلة على حل المعادلة التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية

فيما يلي أمثلة متنوعة على حل المعادلة المتجانسة التفاضلية من الدرجة الثانية مع حل كل من هذه الأمثلة:

مثال 1:

d2y/dx2 5 dy/dx 6 y = 0

حل مثال 1:

r2 erx 5 r erx 6 erx = 0

erx ( r2 5 r 6 ) = 0

r2 5 r 6 = 0

( r 2 ) ( r 3 ) = 0

r = -2

أو

r = -3

y = C1 e-2x C2 e-3x

مثال 2:

d2y/dx2 - 8 dy/dx 16 y = 0

حل مثال 2:

r2 erx - 8 r erx 16 erx = 0

erx ( r2 - 8 r 16 ) = 0

r2 - 8 r 16 = 0

( r -4 ) ( r -4 ) = 0

r = 4

أو

r = 4

y = C1 e4x C2 e4x

مثال 3:

9d2y/dx2 12 dy/dx 29 y = 0

حل مثال 3:

9r2 erx 12 r erx 29 erx = 0

erx ( 9 r2 12 r 29 ) = 0

9r2 12 r 29 = 0

r = - ( 2/3 ) ( 5/3 )i

أو

r = - ( 2/3 ) - ( 5/3 )i

y = e( -2/3 )x [ A sin ( 5/3 ) x B cos ( 5/3 )x ]