تمارين محلولة على الأسس في الرياضيات
ندرج فيما يأتي تمارين محلولة على الأسس في الرياضيات:
إيجاد قيم الأعداد المرفوعة لأس
مثال: جد قيمة كل من الأعداد الآتية:
- (8-)^2
- (4)^2-
- (3)^0
- (8^4)/ (8^1)
- ((11)^2)^3
الحل:
- (8-)^2 = 8- × 8- = 64
- (4)^2- ، تُطبق قاعدة الأس السالب: ص^(-ن) = 1/(ص^ن)، وبالتالي الناتج يساوي:
- (4)^2- = 1/ (4)^2 = 1/ (4×4) = 1/ 16
- (3)^0 ، تُطبق قاعدة الأس الصفر: ص^0 = 1، وبالتالي فإنّ الناتج يساوي: (3)^0 = 1
- (8^4)/ (8^1)، تُطبق قاعدة قسمة الأسس: ص^(ن) / ص^(م) = ص^(ن-م)، وبالتالي فإنّ ناتج يساوي: (8^4)/ (8^1) = 8^(4-1) = 8^(3) = 512
- ((11)^2)^3، تُطبق قاعدة الأس المرفوع لأس آخر:(ص^(ن))^م = ص^(ن×م)، وبالتالي فإنّ الناتج: ((11)^2)^3 = (11)^(2×3) = (11)^(6) = 1,771,561
تبسيط المعادلات الأسية لأبسط صورة
مثال 1: بسّط المعادلة الآتية لأبسط صورة: (س^5 ÷ س^0) × (س^8 ÷ س√) × س^3.
الحل:
- يُبسط كل مقدار يُمكن تبسيطه على حدة على النحو الآتي:
- س^0 = 1
- س√ ، تُطبق قاعدة الجذر التربيعي : ص^(ن/م) = (ص^ن)√م، وبالتالي:
- س√ = س^(1/2)
- تُعوض قيمة س^(1/2) في الحد: (س^8 ÷ س√) فيُصبح:
- (س^8 ÷ س^(1/2))، ثم تُطبق قاعدة قسمة الأسس:
- ص^(ن) / ص^(م) = ص^(ن-م)، فيُصبح الحد كالآتي:
- (س^8 ÷ س^(1/2)) = س^ (8-1/2) = س^(7.5)
يُعاد كتابة المعادلة مع تعويض الحدود المُبسطة كالآتي:
- (س^5 ÷ س^0) × (س^8 ÷ س√) × س^3
- (س^5 ÷ 1) × س^(7.5) × س^3
- س^5 × س^7.5 × س^3، تُطبق قاعدة ضرب الأسس:
- ص^(ن) × ص^(م) = ص^(ن م)، فتُصبح المعادلة على النحو الآتي:
- س^5 × س^7.5 × س^3 = س^(5 7.5 3) = س^15.5
- وبالتالي فإنّ أبسط صورة للمعادلة (س^5 ÷ س^0) × (س^8 ÷ س√) × س^3 هي: س^15.5
مثال 2: بسّط المعادلة الآتية لأبسط صورة: (س×3)^6 / (س^1 × 1^9 × (س^2)^2)
الحل:
- يُبسط كل مقدار يُمكن تبسيطه على حدة على النحو الآتي:
- (س×3)^6، تُطبق قاعدة رفع حاصل ضرب عددين لأس:
- (ل×ص)^ن = ل^ن×ص^ن، وبالتالي فإنّ الناتج: (س×3)^6 = س^6 × 3^6 = س^6 × 729 = 729 س^6.
- س^1، تُطبق قاعدة الأس واحد: ص^1 = ص، وبالتالي فإنّ الناتج: س^1 = س.
- 1^9، تُطبق قاعدة العدد واحد: 1^ن = 1، وبالتالي فإنّ الناتج: 1^9 = 1.
- (س^2)^2، تُطبق قاعدة الأس المرفوع لأس آخر:
- (ص^(ن))^م = ص^(ن×م)، وبالتالي فإنّ الناتج: (س^2)^2 = س^(2×2) = س^4.
يُعاد كتابة المعادلة مع تعويض الحدود المُبسطة على النحو الآتي:
- (س×3)^6 / (س^1 × 1^9 × (س^2)^2)
- 729 × س^6 / (س × 1 × س^4)
- (729 س^6) / (س × س^4)، تُطبق قاعدة ضرب الأسس: ص^(ن) × ص^(م) = ص^(ن م)، تُصبح المعادلة كالآتي:
- (729 س^6) / (س^(1 4))
- (729 س^6) / (س^5)، تُطبق قاعدة قسمة الأسس: ص^(ن) / ص^(م) = ص^(ن-م)، فيُصبح الناتج كالآتي:
- 729 س^(6-5) = 729 س^1 = 729 س
- وبالتالي فإنّ أبسط صورة للمعادلة (س×3)^6 / (س^1 × 1^9 × (س^2)^2) هي: 729 س
إيجاد قيمة (س) المجهولة في المعادلات الأسية
مثال: أوجد قيمة س في المعادلة الآتية: 16^(س-2) = 32^(3س 1).
الحل:
- لإيجاد قيمة (س) يجب إعادة كتابة المعادلة لجعل الأساسات متساوية في طرفي المعادلة، حيث عندما تتساوى الأساسات فإنّ الأسس أيضًا تتساوى وبالتالي يُمكن إيجاد قيمة (س) بحل المعادلة بعد تساويها وذلك على النحو الآتي:
- البحث عن عدد عندما يُرفع لأس يكون الناتج يساوي 16، وعندما يُرفع نفس العدد لأس آخر فإنّ الناتج يساوي 32، وهو العدد 2، بحيث 2^4 =16، و2^5=32.
- بإعادة كتابة المعادلة تُصبح كما يأتي:
- (2^4)^(س-2) = (2^5)^(3س 1)
- تُبسط المعادلة إلى أبسط صورة من خلال تطبيق قاعدة الأس المرفوع لأس آخر:(ص^(ن))^م = ص^(ن×م) على النحو الآتي:
- (2^4)^(س-2) = 2^(4×(س-2)) = 2^(4س-8).
- (2^5)^(3س 1) = 2^(5×(3س 1)) = 2^(15س 5).
- وبالتالي تُصبح المعادلة كالآتي:
- (2^4)^(س-2) = (2^5)^(3س 1)
- 2^(4س-8) = 2^(15س 5)
- يُلاحظ بأنّ الأساسات متساوية وتساوي 2 وبالتالي يجب أن تتساوى الأسس، وبحل المعادلة يُمكن إيجاد قيمة (س) كما يأتي:
- 4 س - 8 = 15 س 5
- 5- 8- = 15 س - 4 س
- 13- = 11 س
- س = -11/13
