العلاقة بين الدالة الأسية والدالة اللوغارتمية
تعتبر الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية من الدوال المستخدمة في وصف تطبيقات عديدة في حياتنا حيث يتم استخدامهما في وصف النمو السكاني وقيمة الاستثمارات وتغيرها مع مرور الوقت وبعض التطبيقات الأخرى، أما العلاقة الرياضية التي تربط بين الدالة الأسية والدالة اللوغارتمية فهي علاقة عكسية.، ويُمكن التعرف على العلاقة بين الدالة الأسية والدالة اللوغارتمية رياضيًا على النحو الآتي:
الدالة الأسية
هي عبارة عن دالة رياضية يكون فيها المتغير هو الأس أو القوة، ويتم كتابتها في الصيغة العامة على النحو الآتي:
( f( x )= b^( x
حيث إن:
- x: هو عبارة عن متغير.
- b: هو عبارة عن ثابت يمثل الأساس في الدالة الأسية ويكون عدد حقيقي، بحيث يكون b> 0 ولا يساوي (1)، فإذا كان b> 1 ذلك يدل على وجود تزايد في المعادلة الرياضية أما إذا كان b واقع بين (0) و (1) دل ذلك على وجود تناقص في المعادلة، ومن أشهر الأساس الموجود هو e.
الدالة اللوغارتمية
هي عبارة عن دالة رياضية تكون عكسية للدالة الأسية حيث تكتب في الصيغة العامة على النحو الآتي:
f( x ) = logb ( x )
حيث إن:
- x: هو عبارة عن متغير.
- b: هو عبارة عن ثابت يمثل الأساس في الدالة اللوغارتمية ويكون عدد حقيقي، بحيث يكون b> 0 ولا يساوي (1)، فإذا كان b> 1 ذلك يدل على وجود تزايد في المعادلة الرياضية أما إذا كان b واقع بين (0) و (1) دل ذلك على وجود تناقص في المعادلة، ومن أشهر الأساس فيه هو (10) و (e).
التعبير عن العلاقة بين الدالة الأسية واللوغارتمية
عند النظر في المعادلتين نستطيع أن نرى العلاقة بينهم حيث إذا كانت المعادلة الأسية a = b ^ (c) فإن المعادلة اللوغارتمية منها هي c = logb (a) وفي حالة خاصة عندما يكون الأساس b = e، فإن الصورة التي تكتب عليها الصيغة اللوغارتمية تكون بدلالة (ln)، والتي تمثل c = lnb (a).[1] يُمكن توضيح العلاقة العكسية بينهما في المثال الآتي:
مثال: إذا كان الأساس b = 2 فإن الدالة الأسية تكون a = 2^ (c) أما الدالة اللوغارتمية تكون c = log2 (a) وضح العلاقة بينهما.
الحل:
- عوض c= 3 ينتج منه في الدالة الأسية:
- a = 2^3
- a = 8
- أما في الدالة اللوغاتمية، عوض الناتج a = 8 في المعادلة:
- c = log2 ( 8 )
- لاحظ أن c=3؛ أي أن الناتج في المعادلة الأسية يساوي المتغير في العلاقة اللوغارتمية وذلك يدل على العلاقة العكسية بينهما.
