كيفية حساب نصف قطر الدائرة
يُعرف نصف القطر (بالإنجليزية: Radius) على أنه المسافة من مركز الدائرة إلى محيطها الخارجي، بينما يُعرف قطرها (بالإنجليزية: Diameter) على أنه الخط الممتد عبر الدائرة ماراً بمركزها، أما محيط الدائرة فهو المصطلح الذي يُعبّر عن المسافة المقطوعة حول الدائرة مرة واحدة، ومن الحقائق المعروفة عن الدائرة أن ناتج قسمة المحيط على قطر الدائرة يُساوي قيمة ثابتة وهي 3.14، وهي القيمة التي تُسمى باي ورمزها (π)، أي أن الدائرة التي قطرها (1)، محيطها يساوي 3.14، والقوانين التي يمكن استخدامها لحساب طول نصف قطر الدائرة هي:
باستخدام طول القطر
يُمكن معرفة قياس نصف قطر الدائرة بمعرفة قطرها، من خلال القانون الآتي:
نصف القطر= طول القطر/2
وبالرموز:
نق=ق/2
حيث أنّ:
- نق = نصف القطر.
- ق = قطر الدائرة.
باستخدام قانون محيط الدائرة
يُمكن استخدام قيمة محيط الدائرة المعلوم لحساب قيمة نصف قطر الدائرة؛ حيث ينص قانون محيط الدائرة على أنّ:
المحيط= 2×π×نصف القطر
وبترتيب المعادلة الآتية ينتج أنّ:
نصف القطر= محيط الدائرة/(2×π)
وبالرموز:
نق=ح/(2×π)
حيث أنّ:
- نق: نصف قطر الدائرة.
- π: الثابت باي، وهو قيمة ثابتة تساوي تقريباً 3.14.
- ح: محيط الدائرة.
باستخدام قانون مساحة الدائرة
يُمكن حساب نصف قطر دائرة ما باستخدام مساحتها، حيث أنّ قانون مساحة الدائرة يساوي:
المساحة= π×مربع نصف القطر
وبترتيب المعادلة ينتج أنّ:
نصف القطر= الجذر التربيعي للقيمة (المساحة/π)
وبالرموز:
نق=(م/π)√
حيث أنّ:
- م: مساحة الدائرة.
- نق: نصف قطر الدائرة.
- π: الثابت باي، وهو قيمة ثابتة تساوي تقريباً 3.14.
باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري
ينص قانون مساحة القطاع الدائري لدائرة ما على أنّ:
مساحة القطاع الدائري=مربع نصف القطر×π×(قياس الزاوية المركزية للقطاع/360)
وبترتيب المعادلة ينتج أنّ:
نصف القطر= الجذر التربيعي للقيمة ((مساحة القطاع الدائري×360)/(π× قياس الزاوية المركزية للقطاع))
وبالرموز:
نق=((مساحة القطاع الدائري×360)/(π×هـ))√
حيث أنّ:
- نق: نصف قطر الدائرة.
- هـ: قياس زاوية القطاع الدائري.
- π: الثابت باي، وهو قيمة ثابتة تساوي تقريباً 3.14.
أمثلة متنوعة على حساب نصف قطر الدائرة
المثال الأول: إذا كان محيط الدائرة يساوي 20سم، جد قيمة نصف قطرها.
الحل:
- باستخدام القانون: نق=ح/(2×π)
- ينتج أن: نق=20/(2×3.14)=3.18سم.
المثال الثاني: إذا كان محيط الدائرة يساوي 21.98سم، جد قيمة نصف قطرها.
الحل:
- باستخدام القانون: نق=ح/(2×π).
- ينتج أن: نق=21.98/(2×3.14)=3.5سم.
المثال الثالث: جد نصف قطر الدائرة التي يبلغ قياس قطرها 19سم.
الحل:
- باستخدام القانون: نق= ق÷2
- ينتج أن نق=19/2=9.5سم.
المثال الرابع: جد نصف قطر الدائرة إذا كان قطرها 30م.
الحل:
- باستخدام القانون: نق=ق÷2
- ينتج أن نق=30/2=15م.
المثال الخامس: احسب نصف قطر الدائرة إذا كانت مساحتها 50.24م².
الحل:
- باستخدام القانون: نق=(م/π)√،
- ينتج أن: (50.24/3.14)√=4م.
المثال السادس: إذا كانت مساحة القطاع الدائري 50م²، وقياس زاوية القطاع 120 درجة، جد قيمة نصف قطر الدائرة.
الحل:
- باستخدام القانون: نق=((مساحة القطاع الدائري×360)/(π×هـ))√
- ينتج أن: نق=((50×360)/(3.14×120))√، ومنه نق=6.91م.
المثال السابع: أراد أحمد حراثة حقل دائري الشكل، مساحته 144πم²، وبدأ بالحراثة انطلاقاً من مركزه نحو طرفه، ثم سار على محيطه مسافة تعادل ربع المسافة الكلية المحيطة به، ثم استدار وعاد مرة أخرى نحو المركز، جد المسافة الكلية المقطوعة من قبل أحمد.
الحل:
- المسافة المقطوعة من قبل أحمد من المركز وحتى طرف الحقل هي طول نصف قطر الحقل الدائري، ولحسابها يجب استخدام القانون: نق=(م/π)√
- لينتج أن نصف قطر الحقل=(π/144π)√ =12م.
- حساب محيط الحقل كاملاً عن طريق استخدام قانون محيط الدائرة=2×π×نصف القطر=2×3.14×12=75.36م
- قسمة المحيط كاملاً على العدد 4؛ لأن أحمد سار مسافة ربع الحقل قبل أن يلتف ويعود مرة أخرى نحو المركز، وعليه 75.36/4=18.84م، وهي المسافة التي سارها أحمد على طول محيط الحقل.
- المسافة الكلية المقطوعة من قبل أحمد= نصف قطر الحقل (المسافة الأولى من المركز وحتى طرف الحقل) المسافة المقطوعة على المحيط نصف قطر الحقل (المسافة الثانية عند العودة من طرف الحقل نحو المركز)=12 18.84 12=42.84م.
المثال الثامن: إذا كان محيط دائرتين متحدتي المركز 4π،10π على التوالي، جد الفرق بين نصفي قطري الدائرتين.
الحل:
- باستخدام القانون: نق=ح/(2×π)، ينتج أن: نق=(10π)/(2×π)، ومنه نصف قطر الدائرة الأولى=5سم.
- وباستخدام القانون: نق=ح/(2×π)، ينتج أن: نق=(4π)/(2×π)، ومنه نصف قطر الدائرة الأولى=2سم
- حساب الفرق بين نصفي القطر=5-2=3سم.
المثال التاسع:إذا كان محيط المستطيل أب ج د= 40سم، وتشكّل قاعدته القطر لنصف دائرة تقع داخله بالكامل، والتي تبلغ مساحتها 18πسم²، جد مساحة هذا المستطيل.
الحل:
- ضرب مساحة نصف الدائرة بالعدد 2، للحصول على مساحة الدائرة كاملة، وعليه فإن مساحة الدائرة كاملة= 2×18π، ومنه مساحة الدائرة كاملة=36πسم²
- باستخدام القانون: نق=(م/π)√، ينتج أن نصف قطر نصف الدائرة=(36π/π)√، ومنه نصف القطر=6سم.
- حساب طول القطر عن طريق ضرب نصف القطر بالعدد (2) لينتج أن طول قطر الدائرة=2×6=12سم، وهو يساوي طول قاعدة المستطيل.
- بناء على معطيات السؤال فإن محيط المستطيل=40سم، وهو يساوي 2×(الطول العرض)، وبتعويض القيم في القانون ينتج أن: 40= 2×(12 العرض)، ومنه عرض المستطيل=8سم.
- حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون: مساحة المستطيل=الطول×العرض=12×8=96سم²
المثال العاشر: إذا تم تقسيم إحدى الدوائر إلى ثلاثة أقسام متساوية مساحة كل منها 12πسم²، جد نصف قطرها.
الحل:
- الزاوية المركزية لكل جزء من أجزاء الدائرة الثلاثة تساوي=360/3=120درجة
- باستخدام القانون: نق=((مساحة القطاع الدائري×360)/(π×هـ))√،
- ينتج أن: نق=((12π×360)/(π×120))√، ومنه نصف قطر الدائرة=6سم.
