كيفية حساب حجم المخروط الناقص
يجب إيجاد الفرق بين حجم المخروط الكامل، والجزء المقطوع، لحساب حجم المخروط الناقص، وذلك من خلال تحديد الارتفاع الإجمالي للمخروط الكامل والذي يرمز له بالرمز (H’) والتي تُكتب معادلته كتالي : H’ = H h
حيث (h) هو ارتفاع المخروط المقطوع، ثم تحديد الارتفاع المائل (L) والذي يساوي:
L = l1 l2
حيث l1 هو الارتفاع المائل للمخروط المائل، وl2 هو الارتفاع المائل للمخروط المقطوع، ثم تحديد نصف قطر المخروط (R)، ونصف قطر المخروط المقطوع (r)، وبالتالي فإن حجم المخروط الكلي يساوي:
π R H’ = ⅓ π R(H h) ⅓
بالإضافة إلى ذلك، يُحسب حجم المخروط المقطوع بالمعادلة التالية:
حجم المخروط المقطوع = π R (H h) ⅓
لإيجاد حجم المخروط الناقص يجب إيجاد الفرق بين المخروطين، وذلك من خلال المعادلة التالية:
= π R H’ - ⅓ πr h ⅓
= π R (H h) - ⅓ πr h ⅓
= π [ R (H h)-r h ] ⅓
ثم تبسيط جميع هذه المعادلات للوصول إلى المعادلة النهائية وهي:
حجم المخروط الناقص (V) = π H (R Rr r) ⅓
أمثلة على حساب حجم المخروط الناقص
فيما يأتي مسائل على حجم المخروط :
المثال الأول: إذا كان قطر المخروط الناقص يساوي 45 سانتيمتر، وأنصاف أقطاره هما 28 سانتي متر و7 سانتيمتر، وإجمالي ارتفاعه هو 45 سنتيمتراً، فما هو حجم المخروط الناقص؟
الحل:
الخطوة الأولى: تحديد المعطيات:
H = 45 cm
R = 28 cm
r = 7 cm
الخطوة الثانية: تعويض المعطيات في المعادلة:
حجم المخروط الناقص (V) = π H (R Rr r ) ⅓
حجم المخروط الناقص (V) = π (45) (28 (28 x 7) 7 ) ⅓
= x π x 1029 x 45 ⅓
= 48510 سانتي متر مكعب.
المثال الثاني: كان ارتفاع المخروط الكامل 36 ميليمتراً، وارتفاع جزءه المفقود 12 ميلمتر، كما أنّ نصف قطر المخروط هو 15 ميليمتراً، ونصف قطر المخروط الناقص هو 5 ميليمتر ما هو حجم المخروط الناقص؟
الحل:
الخطوة الأولى: حساب حجم المخروط الكامل، وذلك باستخدام المعادلة التالية:
π x 15 x36 = 8397.4 mm3 ⅓
الخطوة الثانية: حساب حجم المخروط المقطوع، وذلك باستخدام المعادلة التالية:
π x 5 x 12 = 311 mm3 ⅓
الخطوة الثالثة: حساب الفرق بين حجم المخروط الكامل، وحجم المخروط المقطوع، وذلك من خلال التالي:
8397.4 – 311 =
8086.4 ميليمتر مكعب.
ما هو المخروط الناقص؟
يمكن تشكيل المخروط الناقص (Frustum) عند قطع المخروط من رأسه بشكل أفقي أو عامودي على ارتفاعه، فيصبح المخروط مكوناً من دائرتين، أو قاعدتين، قاعدة دائرية علوية، وقاعدة دائرية سفلية.
وحدة قياس حجم المخروط الناقص
يُعرّف حجم المخروط الناقص بمقدار مساحة المخروط التي يشغلها، ويُقاس حجم المخروط الناقص بالوحدات المكعبة، مثل Cm3، وm3، وإلخ.
