التغير الطردي والتغير المشترك
في الرياضيات ، نتعامل عادة مع نوعين من الكميات، الكميات المتغيرة ويطلق عليها اسم (المتغيرات) والكميات الثابتة ويطلق عليها اسم (الثوابت)، بحيث إذا بقيت قيمة الكمية دون تغيير في حالات مختلفة، فإنها تسمى ثابتًا مثل (رقم 2)، أما إذا تغيرت قيمة الكمية في ظل حالات مختلفة، يطلق عليها اسم المتغير مثل (المتغير س).
العلاقة بين المتغيرات
في علم الجبر ، تنشأ علاقات بين المتغيرات، بحيث قد يرتبط متغيران أو أكثر ببعضهما البعض وفق مجموعة من العلاقات من هذه العلاقات:
- التغير الطردي: في التغير الطردي يتغير المتغيران بشكل متناسب، أي إذا زاد أحد المتغيرين يزيد الاحر وإذا نقص أحدهما ينقص الآخر بشكل متناسب.
- التغير العكسي: هو تغير يحدث بحيث عندما يزيد إحدى المتغيرات، يتناقص الآخر.
- التغير المشترك: هو تغير يحدث بين متغير مقابل متغيرين، بحيث يتغير متغر طرديا مع حاصل ضرب متغيرين، مثلا ترتبط مساحة المثلث بعلاقة التغير المشترك مع ارتفاع وقاعدة هذا المثلث.
- التغير المركب: هو تغير يحدث عندما يتغير متغير ما طردياً أو عكسياً أو كليهما معاً مع متغيرين آخرين أو أكثر.
التغير الطردي
التغير الطردي هو علاقة تجمع متغيرين بحيث إذا زاد أحد المتغيرين سوف يزيد المتغير الآخر بنسبة ثابتة، كذلك إذا نقص أحد المتغيرين سوف ينقص المتغير الآخر بنسبة ثابتة، هذه النسبة تسمى ثابت التناسب، وإذا أردنا تمثيل العلاقة بين متغيرين بينهم العلاقة طردية من خلال الرسم البياني سوف ينتج عن هذه العلاقة خط مستقيم، مثلاً إذا كان المتغير س يتناسب طرديا مع المتغير ص فإن: ص/ س = م، حيث إن (م) هو ثابت التناسب.
التغير المشترك
تغير يحدث بين متغير مع متغيرين بحيث يتناسب إحدى المتغيرات طرديا مع حاصل ضرب المتغيرين الآخرين، وهذا التناسب يكون بنسبة ثابتة بحيث نستطيع التعبير عن ثابت التناسب (م) بقسمة إحدى المتغيرات على حاصل ضرب المتغيرين الآخرين مثلا: يتغير المتعير ع طرديا مع حاصل ضرب المتغيرين (س، ص) فإن م=ع/ (س*ص).
أمثلة على التغير الطردي
مثال (1): إذا كانت العلاقة بين المتغير (ص) والمتغير(س) علاقة طردية، فأوجد ثابت التناسب إذا كان ص= 24، س=3.
الحل: بما أن العلاقة بين ص وس علاقة هي طردية، فإن ص/ س = م، حيث إن م هي ثابت التناسب
إذا 24/3= 8، إذا ثابت التناسب يساوي 8.
مثال (2): إذا كانت العلاقة بين المتغير (ص) والمتغير(س) علاقة طردية، وكانت قيمة ص= 30 عندما تكون س=6، فأوجد قيمة ص عندما تكون س=100.
الحل: بما أن العلاقة بين ص وس هي علاقة طردية، فإن ص/ س = م، حيث إن م هي ثابت التناسب
إذا 30/6=5، إذا ثابت التناسب يساوي 5
وإذا كان ص/ س= م، وإذا ضربنا طرفي المعادلة ب "س"، ستصبح (ص= م*س)
إذا: ص = 5 * 100 = 500، إن قيمة ص=500 عندما تكون س= 100
مثال (3): إذا كانت العلاقة بين المتغير (ن) والمتغير(ك) علاقة طردية، كان ثابت التناسب يساوي (5/3) فأوجد قيمة ن عندما تكون ك=9.
الحل: بما أن العلاقة بين ن و ك هي علاقة طردية، فإن ن/ ك = م، حيث إن م هي ثابت التناسب ويساوي في هذا المثال (5/3)
إذا: ن/ 9 = 5/3، وبضرب طرفي المعادلة بالرقم 9 تصبح المعادلة كالتالي:
ن= (5*9) /3 = 45/3 =15
أذان=15 عندما ك=9.
مثال على التغير المشترك
مثال: إذا كانت العلاقة بين المتغير (ع) و المتغيرين( س) و(ص) علاقة مشتركة، وكان ع=6 عندما كون ص=4 و س= 3 ، فأوجد قيمة ع عندما تكون ص=4 و س=7.
الحل: بما أن العلاقة بين ع و (ص، س) هي علاقة مشتركة، فان ع/ (س*ص) = م ، حيث أن م هي ثابت التناسب.
اذا م = 6/ (4*3) = 6/12 =2 ، اذا ثابت التناسب يساوي 2
2=ع / (4 * 7 ) ، وعند ضرب طرفي المعادلة ب 28
28*2=ع ، ع=56
