كيفية حساب الانحراف المعياري

كيفية حساب الانحراف المعياري

قوانين حساب الانحراف المعياري

يمكن تعريف الانحراف المعياري (بالإنجليزية: Standard Deviation) بأنه مقدار بُعد البيانات وانتشارها بالنسبة للوسط الحسابي، أما رمز الانحراف المعياري فهو الرمز (σ)، ويمكن إيجاده عن طريق حساب الجذر التربيعي للتباين، ويختلف الانحراف المعياري عن التباين من ناحية أن الانحراف المعياري يقيس تشتت البيانات ومقدار اختلافها عن المتوسط الحسابي، أما التباين فيصف اختلافها، ويحدد مقدار انتشار البيانات وبعدها عن بعضها البعض وعن المتوسط الحسابي.

يتم تحديد كل من المتوسط الحسابي والانحراف المعياري معاً شكل المنحنى الطبيعي لمجموعة البيانات؛ فالمتوسط الحسابي يحدد مركز هذه البيانات أو منتصفها، ومقدار ارتفاع المنحنى الطبيعي، أما الانحراف المعياري فيحدد مقدار عرض ذلك المنحنى، ويجدر بالذكر أنه كلما اقترب الانحراف المعياري من القيمة (0)، فذلك يعني أن القيم الموجودة أكثر قرباً للمتوسط الحسابي، وفي المقابل تُشير القيم الكبيرة من الانحراف المعياري إلى بعد القيم عن المتوسط الحسابي.يجدر بالذكر هنا أن هناك نوعين من الانحراف المعياري، هما:

الانحراف المعياري لعينة من المجتمع

(بالإنجليزية: Sample Standard Deviation) ويُرمز له بالرمز (S)، ويستخدم إذا كانت البيانات المستخدمة في حساب الانحراف المعياري لا تمثّل كامل البيانات في المجتمع أو الدراسة، وإنما عينة منها، بسبب كثرة عدد أفراد أو أعضاء الدراسة أو المجتمع، ويُحسب الانحراف المعياري في هذه الحالة باستخدام العلاقة الآتية:

  • الانحراف المعياري للعينة = [مجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)]√، حيث:
    • ن: عدد القيم، (ن-1) تعرف بأنها تصحيح بسل (Bessel's correction).
    • س: القيم المشمولة في الدراسة.

الانحراف المعياري للمجتمع

(بالإنجليزية: Population Standard Deviation) ويُرمز له بالرمز (σ)، ويُستخدم عند استخدام كافة أفراد المجتمع أو الدراسة كبيانات حساب الانحراف المعياري، وذلك كما في المثال السابق:

  • الانحراف المعياري للمجتمع = [مجموع (س-μ)²/ن]√، حيث
  • ن: عدد القيم.
  • س: القيم المشمولة في الدراسة.
  • μ : المتوسط الحسابي للقيم.

الانحراف المعياري للجداول التكرارية

يحسب الانحراف المعياري من خلال حساب المتوسط الحسابي، وهو: المتوسط الحسابي= (مركز الفئة×التكرار)/مجموع التكرارات

  • حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية = [مجموع (التكرار×(مركز الفئة - المتوسط الحسابي)²)/مجموع التكرارات]√

خطوات حساب الانحراف المعياري

  • الخطوة الأولى هي إيجاد الوسط الحسابي للقيم، وذلك باستخدام القانون الآتي الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها.
  • الخطوة الثانية هي طرح الوسط الحسابي من كل قيمة من القيم، وتربيع القيمة الناتجة.
  • الخطوة الثالثة هي إيجاد مجموع القيم المربعة السابقة.
  • الخطوة الرابعة هي قسمة المجموع السابق على عدد القيم.
  • الخطوة الخامسة هي إيجاد الجذر التربيعي لهذه القيمة

أمثلة متنوعة على حساب الانحراف المعياري

يمثل الآتي بعض التمارين على الانحراف المعياري:

  • المثال الأول: يوضح حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية:

إذا كان عدد الطلاب اللذين تتراوح علاماتهم بين 4، و8 هو 3 طلاب، وعدد الطلاب الذين تتراوح علاماتهم بين 8، و12 هو 6 طلاب، وعدد الطلاب الذين تتراوح علاماتهم بين 12، و16 هو 4 طلاب، وعدد الطلاب الذين تتراوح علاماتهم بين 16، و20، فما هو الانحراف المعياري لهذه القيم؟

الحل:

الفئة مركز الفئة (الحد الأعلى للفئة الحد الأدنى للفئة)/2 التكرار
4-8 6 3
8-12 10 6
12 - 16 14 4
16 - 20 18 7
  • لحساب الانحراف المعياري يجب أولاً حساب المتوسط الحسابي، وهو: المتوسط الحسابي= (مركز الفئة×التكرار)/مجموع التكرارات، ويساوي: الوسط الحسابي = (3×6 6×10 4×14 7×18)/ 20 = 13.
  • حساب الانحراف المعياري = [مجموع (التكرار×(مركز الفئة - المتوسط الحسابي)²)/مجموع التكرارات]√، وبالتالي:
    • الانحراف المعياري = [(3×(6-13)² 6×(10-13)² 4×(14-13)² 7×(18-13)²)/20]√ = [(147 54 4 175)/20 ]√= 19√ = 4.36.
  • المثال الثاني: ما هو الانحراف المعياري للقيم الآتية: 6، 2، 3، 1؟

الحل:

قانون الانحراف المعياري = [مجموع (س-μ)²/ن]√.

الخطوة الأولى هي إيجاد المتوسط الحسابي:

المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها= (6 2 3 1)/4= 12/4 = 3.

إن أفضل طريقة لإيجاد الانحراف المعياري هي عمل جدول، وتطبيق القانون عليه كما يلي:
القيمة القيمة - المتوسط الحسابي ( القيمة - المتوسط الحسابي)²
6 6-3 =3 9
3 3-3 = 0 0
2 2-3 = -1 1
1 1 -3 = -2 4
المجموع - 14

وبالتالي فإن الانحراف المعياري = (14/4)√ = 1.87 تقريباً.

  • المثال الثالث: ما هو الانحراف المعياري للقيم الآتية التي تمثل عينة من أحد المجتمعات: 4، 6، 2، 2، 1؟

الحل:

الانحراف المعياري للعينة = [مجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)]√. 

الخطوة الأولى هي إيجاد الوسط الحسابي كما يلي:

المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها = (6 4 2 2 1)/5 = 15/5 = 3.

إن أفضل طريقة لإيجاد الانحراف المعياري هي عمل جدول، وتطبيق القانون عليه كما يلي:
القيمة القيمة - المتوسط الحسابي ( القيمة - المتوسط الحسابي)²
1 1 - 3 =-2 4
2 2 - 3 = -1 1
2 2 - 3 = -1 1
4 4 - 3 = -1 1
6 6 - 3 = 3 9
المجموع - 16

وبالتالي فإن الانحراف المعياري= [16/(5-1)]√ =2.

  • المثال الرابع: ما هو الانحراف المعياري للقيم الآتية: 4، 9، 11، 12، 17، 5، 8، 12، 14؟

الحل:

الانحراف المعياري = [مجموع (س-μ)²/ن]√.

الخطوة الأولى هي إيجاد المتوسط الحسابي كما يلي:

المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها = 4 9 11 12 17 5 8 12 14 = 92/9 = 10.222 تقريباً.

إن أفضل طريقة لإيجاد الانحراف المعياري هي عمل جدول، وتطبيق القانون عليه كما يلي:
القيمة القيمة - المتوسط الحسابي ( القيمة - المتوسط الحسابي)²
4 4 - 10.222 = -6.222 38.7
9 9 - 10.222 = -1.222 1.49
11 11 - 10.222 = 0.778 0.6
12 12 - 10.222 = 1.778 3.16
17 17 -10.222 = 6.778 45.9
5 5 - 10.222 = -5.222 27.3
8 8 - 10.222 = -2.222 4.94
12 12 - 10.222 = 1.778 3.16
14 14 - 10.222 = 3.778 14.3
المجموع - 139.55

وبالتالي فإن الانحراف المعياري = [139.55/9]√ = 3.94.

1تعليم
مزيد من المشاركات
كيفية استخدام السدر للشعر

كيفية استخدام السدر للشعر

السدر السّدر، يُسمّى باللهجة المصريةِ النّبق، وهو عبارةٌ عن شجرةٍ ذات أوراقٍ خضراء كثيفة وبيضاوية الشكل، وتنبت في الصّحراء والمناطق الجبلية، وتشتهر بها دول منطقة حوض البحر الأبيض المتوسط. عرفها الإنسان منذ القدم، ومن فوائد أوراق السّدر معالجة المشاكل الجلدية كالجرب، وبثور الوجه، وعلاج ألم المفاصل، وتنقية وتوحيد لون البشرة، وتقوية شعر الرّأس وتطويله، والمحافظة على نقائه ولمعانه. سنتعرّف خلال هذا المقال على خلطاتٍ يُستخدم فيها السّدر للشعر. طريقة استخدام السّدر للشعر خلطة السّدر لتنعيم الشّعر
عبارات جميلة عن فراق الأصدقاء

عبارات جميلة عن فراق الأصدقاء

فراق الأصدقاء الأصدقاء مصدر السعادة والحب والأمل، هم الشمعة التي تنير طريقنا واليد التي تطوّقنا بكل حب، هم كما الأخوة تماماً يشاركوننا لحظات الحزن قبل الفرح والتعب قبل الراحة، ومع ذلك قد نفارقهم لظروف عديدة، حينها نشعر بألم يغشى قلوبنا وحياتنا، وفي هذا المقال سنقدم عبارات جميلة عن فراق الأصدقاء. عبارات عن فراق الأصدقاء ابتعدنا وكأنّ الفراق سحب بساط السعادة من تحت أقدامنا. المسافات التي نبقيها بيننا وبين بعض البشر، لا تعني الغرور أبداً بقدر ما تعني الرغبة في الاستمرار والاحترام. لا تحزن ولا
ما هو قانون الكثافة

ما هو قانون الكثافة

قانون الكثافة تُعرف الكثافة بأنها النسبة بين كتلة جسم ما وحجمه، أو كتلة هذا الجسم لكل وحدة حجم، وتعبر الكثافة عن مقدار الأشياء الموجودة في وحدة الحجم، وتُعرف الكتلة بأنها مقدار الأشياء التي يحتويها جسم ما، بينما يُعرف الحجم بأنه الحيز الذي يشغله جسم ما في الفضاء ثلاثي الأبعاد، والصيغة العامة لقانون الكثافة هي الكتلة مقسومة على الحجم، حيث إن وحدة قياس الكتلة هي الغرام أو الكيلوغرام، ووحدة قياس الحجم متر مكعب أو سنتيمتر مكعب. مثال على قانون الكثافة لتوضيح كيفية إيجاد كثافة جسم ما، يُمكن الافتراض
هل النودلز يسمن

هل النودلز يسمن

النودلز النودلز هي معكرونة سريعة التحضير مطبوخة مسبقاً، تعد من الأطعمة رخيصة الثمن إلى حدٍ ما، ويتناولها الأشخاص بكثرةٍ حول العالم، إذ بلغ عدد الحصص المتناوَلة من النودلز حول العالم حوالي 97 بليون حصة لعام 2015، كما يُعتبر الطحين، والملح، وزيت النخيل من أهم مكوناتها، وعادةً ما تحتوي عبوات النكهة الصغيرة على التوابل، والملح، والغلوتامات أحادية الصوديوم (بالإنجليزية: monosodium glutamate). حقائق غذائية عن النودلز تُعدّ النودلز من الأطعمة قليلة السّعرات الحرارية ، والألياف، والبروتين، ولكنها
ما هو سبب عدم انتظام دقات القلب

ما هو سبب عدم انتظام دقات القلب

عدم انتظام دقات القلب عند حدوث نبضات كهربائية غير طبيعية في القلب فإنّ الدقات الطبيعية الناتجة لا تنتظم، وهذا ما يقلق الكثير من المصابين. هذا النبض أما أن يكون خفيفاً أو يسرعة شديدة، وأن عدم انتظام ضربات القلب غير مألوف ومن الممكن أن يسبب الإصابة بجلطة دموية، أو حدوث سكتة قلبية لدى الشخص الذي يعاني من ذلك. عدم الانتظام هذا يكون أكثر خطورة بالنسبة للأشخاص الذين يعانون من قصور أو أمراض قلبية، وهناك عدة أعراض يعاني منها المصاب بعدم انتظام دقات القلب، منها: شعور الشخص المصاب بدوخة ودور، وصعوبة في
ما هو علاج التهاب مجرى البول

ما هو علاج التهاب مجرى البول

التهاب المسالك البولية يُعرف التهاب أو عدوى المسالك البولية (بالإنجليزية: Urinary tract infection) بأنّه أي التهاب يحدث في الجهاز البولي سواء كان ذلك في الكليتين، أو في الحالب، أو المثانة، ومن الجدير بالذكر أنّ المناطق السُّفلية في الجهاز البولي أكثر عرضة للإصابة بالتهاب المسالك البولية، وتشير الاحصائيات إلى أنّ التهاب المسالك البولية يُعدّ من المشاكل الصحية الشائعة، وتُعتبر النساء أكثر عرضة للإصابة بالتهاب المسالك البولية. وغالباً ما تكون البكتيريا هي المسبب الرئيسي للالتهاب، وفي بعض الأحيان
طريقة العجة بالبيض والخضار

طريقة العجة بالبيض والخضار

العجة العجّة أو كما يطلق عليها البعض الأومليت هي إحدى وجباتِ الإفطار الشهيّة والمميّزة التي تختلفُ طريقة تحضيرها من بلدٍ إلى آخر، فتتكوّنُ في الأساس من البيض والملح، وتُنكّه بأصنافٍ كثيرة كالأعشاب، والتوابل، والخضار، والجبن الذي يضيف لها طعماً لا يقاوم. تأخذُ العجّة الشكلَ الدائريّ دائماً، إلا أنّها تختلفُ في الحجمِ والسُّمك، فكلٌ يصنعُها حسْبَ رغبته، وعادةً ما تُقدّم بجانب طبقٍ مشكّل من الخضار الطازجة، خاصّة إذا لم تكن محضّرة بها، وهناك من يحبُّ تناولَها مع اللبنة، وسنذكرُ في هذا المقال
بحث عن دور المواطن في المحافظة على الأمن

بحث عن دور المواطن في المحافظة على الأمن

دور المواطن في المحافظة على الأمن يُعدّ دور المواطن في المحافظة على الأمن أمراً أساسياً في الدولة، ومن أهم الأمور التي يجب أن يقوم بها المواطن للحفاظ على الأمن ما يأتي: التبليغ الفوري عن الجرائم. مُحاصرة المجرم إن أمكن حتّى يصل رجال الأمن. الإدلاء بشهادة صادقة ضدّ المجرم في المحكمة. مراقبة المحال والمنشآت والتبليغ عن أيّة حركات مريبة. المساعدة في البحث عن المفقودين أو الهاربين من العدالة. الالتحاق والمساعدة في الوِرَش التوعوية التي تقوم بها الأجهزة الأمنية في المدارس. مساعادة أجهزة الأمن في