كيفية ترتيب الأعداد الصحيحة
تعرف الأعداد الصحيحة (بالإنجليزية: Integers Numbers) بأنها الأعداد التي لا تحتوي على أجزاء كسريّة، وقد تكون موجبة أو سالبة أو صفر، وتنتمي الأعداد الصحيحة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، إن ترتيب الأعداد وطرحها وجمعها تعد من أساسيات الرياضيات ، وفيما يلي شرح لترتيب الأعداد الصحيحة:
ترتيب الأعداد الصحيحة تصاعديًا
تُرتب الأعداد الصحيحة تصاعديًا من العدد الأقل قيمة إلى العدد الأعلى قيمة، وفيما يلي شرح الترتيب التصاعدي للأعداد الصحيحة:
- ترتيب الأعداد الصحيحة باستخدام خط الأعداد.
- تزداد قيمة الأعداد الصحيحة على خط الأعداد كلما اتجهنا من اليسار إلى اليمين، أي العدد الذي يقع على اليمين أكبر من العدد الذي على يساره.
- الأعداد الصحيحة الموجبة دائمًا أكبر من الأعداد الصحيحة السالبة، إذ تقع الأعداد الصحيحة الموجبة على يمين الصفر على خط الأعداد، بينما تقع الأعداد الصحيحة السالبة على يسار الصفر.
- عند ترتيب الأعداد من الأصغر للأكبر توضع الأعداد السالبة، ثم الصفر، ثم الأعداد الموجبة.
- إذا كانت الأعداد الصحيحة مكونة من عدّة منازل، تُرتّب باستخدام القيمة المكانيّة لكل رقم أي باستخدام منازل الأعداد بالخطوات التالية:
- العدد الذي يحتوي على عدد منازل أكثر يكون هو العدد الأكبر.
- إذا كانت عدد المنازل متساوية بين الأعداد نقارن حسب قيمة كل منزلة، ونبدأ من اليسار إلى اليمين، إذ تقل قيمة المنازل كلما اتجهنا من اليسار إلى اليمين.
- نبدأ بمنزلة الألوف، وإذا تساوت قيمة الألوف بين الأعداد، ننتقل إلى منزلة المئات وإذا تساوت القيم ننتقل إلى منزلة العشرات وهكذا.
- العدد الموجب ذو الأبعد عن الصفر هو الأكبر، أما العدد السالب الأبعد عن الصفر هو الأقل، على سبيل المثال: العدد 42 أكبر من العدد 10، أما الأعداد المقابلة لها من الأعداد السالبة سيكون ترتيبها بالعكس أي؛ 42- أصغر من 10-.
ترتيب الأعداد الصحيحة تنازليًا
تُرتب الأعداد تنازليًا من العدد الأعلى قيمة إلى العدد الأقل قيمة، وتُرتّب بنفس خطوات الترتيب التصاعدي إلّا أنّه هنا يُعاد ترتيب الأرقام في النهاية من الأكبر إلى الأصغر، وتوضع الأرقام الموجبة في البداية، ثم الصفر، ثم الأرقام السالبة.
أمثلة متنوعة على ترتيب الأعداد الصحيحة
فيما يلي تمارين على الترتيب التصاعدي والتنازلي للأعداد الصحيحة:
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 5 / 7 / -6 / 3- / 0
الحل:
- نُمثل الأعداد الصحيحة على خط الأعداد.
-
- 7 6 5 4 3 2 1 0 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7-
- نُحدد الأعداد المراد ترتيبها على خط الأعداد
-
- 7 6 5 4 3 2 1 0 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7-
- تزداد الأرقام من اليسار إلى اليمين، نجد أنّ أول عدد على اليمين هو العدد 7، إذًا العدد 7 هو أكبر عدد، ثم يليه العدد 5، ثم العدد 0، ثم العدد 3-، ثم العدد 6-.
- بما أنّ الأعداد الموجبة أكبر من الصفر والصفر أكبر من الأعداد السالبة.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 6- .
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 51 / 32 / 324 / 3-
الحل:
- نُلاحظ أن هناك عددًا سالبًا والأعداد السالبة أصغر من الأعداد الموجبة، إذًا العدد 3- هو أصغر عدد.
- نضع الأعداد الموجبة فوق بعضها.
- 51
- 32
- 324
- نُلاحظ أنّ العدد 324 يحتوي على 3 منازل بينما العددين المتبقيين يمتلكان منزلتين، إذًا العدد 324 هو الأكبر بين الأعداد الموجبة.
- نقارن بين العددين 51، 32، نقارن بين منزلة العشرات، نجد أن الرقم 5 في العدد 51 أكبر من الرقم 3 في العدد 32.
- وبالتالي نرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 3- .
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 0 / 415 / 77 / 9-
الحل:
- نُلاحظ أن هناك عددًا سالبًا والأعداد السالبة أصغر من الأعداد الموجبة، إذًا العدد 9- هو أصغر عدد.
- العدد 0 أكبر من الأعداد السالبة، إذًا العدد 0 أكبر من 9-.
- نقارن بين العددين الموجبين 415 و77، نجد أن العدد 415 يتكون من 3 منازل بينما العدد 77 يتكون من منزلتين، إذًا العدد 415 أكبر من 77.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر فنجد: 415 > 77 > 0 > 9-.
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 38 / 63- / 32 / 9-
الحل:
- نقارن بين الأعداد الموجبة وهما العددان 38 و32، كلا العددين يمتلكان نفس عدد المنازل، لذا ننتقل للمقارنة بين منزلة العشرات ونجد أنّ العددين يمتلكان نفس القيمة، بعدها ننتقل إلى الآحاد نجد أن الرقم 8 في العدد 38 أكبر من الرقم 2 في العدد 32، إذًا العدد 38 أكبر من 32.
- نقارن بين الأعداد السالبة وهما 63- و 9-، نجد أن العدد 63 يمتلك منزلتين بينما العدد 9 يمتلك منزلة واحدة ولأن الأعداد السالبة عكس الموجبة، إذًا العدد 63- أصغر من 9-.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر فنجد: 38 > 32 > 9- > 63-.
قد تصعب المفاهيم قليلًا على الطالب كمفهوم الجمع أو الطرح أو الضرب أو ترتيب الأعداد ، ويُعرف ترتيب الأعداد بوضع الأعداد بتسلسل إما تصاعديًا أي من العدد الأصغر للعدد الأكبر، وإما تنازليًا أي من العدد الأصغر للعدد الأكبر، وتُرتب الأعداد الصحيحة باستخدام خط الأعداد بحيث تزداد قيمة العدد كلما اتجهنا من اليسار إلى اليمين، والأعداد الصحيحة هي الأعداد الموجبة والسالبة والصفر والتي تُكتب دون استخدام الكسور العشرية.
كيفية ترتيب الأعداد العشرية
تعرف الأعداد العشرية (بالإنجليزية: Decimal Number) بأنها الأعداد التي تتكون من الجزء الصحيح والجزء العشري ويُفصل بينهما الفاصلة العشرية، وفيما يلي شرح لترتيب الأعداد العشرية:
ترتيب الأعداد العشرية تصاعديًا
تُرتب الأعداد العشرية تصاعديًا من العدد الأقل قيمة إلى العدد الأعلى قيمة، ولمعرفة كيفية ترتيب الأعداد العشريّة تصاعديًا يُمكن اتّباع الخطوات التالية:
- فصل الأعداد الموجبة والسالبة، حيث أنّ الأعداد الموجبة أكبر من الأعداد السالبة.
- مقارنة الجزء الصحيح لكل عدد، إذ يُقارن بنفس الخطوات التي ذُكرت سابقًا للأعداد الصحيحة، وتُرتب الأعداد حسب ذلك.
- إذا كان العدد الصحيح لكل الأرقام متساوٍ، ننتقل لمقارنة الجزء العشري لكل عدد.
- قيمة الأعداد في الجزء العشري تكون أقل من واحد، لذا يتكون الجزء العشري من منزلة جزء من العشرات، وجزء من المئات، وجزء من الألوف وما إلى ذلك.
- تبدأ المقارنة من أقصى اليسار؛ أي من منزلة جزء من الآحاد أو جزء من العشرات وإن تساوت القيم يُنتقل إلى منزلة جزء من المئات وهكذا.
- ترتيب الأعداد الموجبة من الأصغر إلى الأكبر.
- مقارنة الأعداد السالبة بنفس الطريقة، ثم ترتب من الأصغر إلى الأكبر.
- تُرتب الأعداد السالبة، ثم الأعداد الموجبة.
ترتيب الأعداد العشرية تنازليًا
تُرتب الأعداد العشرية تنازليًا من العدد الأعلى قيمة إلى العدد الأقل قيمة، وتُرتّب بنفس خطوات الترتيب التصاعدي إلّا أنّه هنا يُعاد ترتيب الأعداد من الأكبر إلى الأصغر وتوضع الأعداد الموجبة في البداية، ثم الأعداد السالبة.
أمثلة متنوعة على ترتيب الأعداد العشرية
فيما يلي تمارين على الترتيب التصاعدي والتنازلي للأعداد العشرية:
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 5.3/ 6.3- / 12.3
الحل:
- نلاحظ أنّ هناك عددًا سالبًا وهو العدد 6.3-، إذًا هو أصغر عدد.
- نقارن بين الأعداد الموجبة، نبدأ بمقارنة الجزء الصحيح نجد أنّ العدد 12.3 يمتلك جزءه الصحيح على منزلتين بينما يمتلك العدد 5.3 في جزئه الصحيح منزلة واحدة، إذًا العدد 12.3 أكبر من العدد 5.3.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 6.3- .
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 3.2 / 3.7 / 4.3
الحل:
- نقارن بين الجزء الصحيح لكل عدد، نجد أنّ جميع الأعداد تمتلك نفس عدد المنازل وهي منزلة الآحاد، عند المقارنة بينهم نجد أنّ العدد 4.3 يمتلك أكبر رقم في جزئه الصحيح، والعددان المتبقيان يمتلكان نفس الرقم (3)، إذًا العدد 4.3 أكبر عدد.
- نقارن بين الجزء العشري للعددين 3.7 و3.2، نقارن بين منزلة جزء من العشرات نجد أنّ العدد 3.7 يمتلك الرقم 7 وهو أكبر من الرقم 2 في العدد 3.2، إذًا العدد 3.7 أكبر من 3.2.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 3.2 .
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 3.26-/ 3.21- / 4.23-
الحل:
- نقارن بين الجزء الصحيح لكل عدد، نجد أنّ جميع الأعداد تمتلك نفس عدد المنازل وهي منزلة الآحاد، نقارن بينهم نجد أنّ العدد 4.23 يمتلك أكبر رقم في جزئه الصحيح، والعددان المتبقيان يمتلكان نفس الرقم (3)، إذًا العدد 4.23 أكبر عدد.
- نقارن بين الجزء العشري للعددان 3.21 و3.26، نقارن بين منزلة جزء من العشرات نجد أنّ كلا العددين يمتلكان نفس القيمة، ننتقل إلى منزلة جزء من المئات نجد أنّ العدد 3.26 يمتلك الرقم 6 وهو أكبر من الرقم 1 في العدد 3.21، إذًا العدد 3.26 أكبر من 3.21.
- ولأن الأعداد السالبة عكس الأعداد الموجبة في قيمها، نعكس الترتيب.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 3.21- > 3.26- > 4.23-.
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 6.1-/ 6.3- / 8.7
الحل:
- نلاحظ أنّ هناك عددًا موجبًا وهو العدد 9.7 إذًا هو أكبر عدد.
- نقارن بين الجزء الصحيح بين العدد 6.1 والعدد 6.3، نجد أنّ العددين متساويان في الجزء الصحيح.
- نقارن بين الجزء العشري، إذ نبدأ المقارنة بين منزلة جزء من العشرات، ونجد أنّ العدد 6.3 يمتلك الرقم 3 وهو أكبر من الرقم 1 في العدد 6.1، إذًا العدد 6.3 أكبر من 6.1، ولأن العدد السالب عكس الموجب نعكس الترتيب، إذًا العدد 6.3- أصغر من 6.1-.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 9.7 > 6.1- > 6.3-.
ربما يصل الأطفال إلى صفوف متوسطة وهم لا يعرفون الأرقام أو كيفية ترتيبها ، إذ تُعد عملية ترتيب الأعداد من أهم الأساسيات التي يجب تعلمها، فتُرتّب الأعداد العشرية تصاعديًا وتنازليًا بمقارنة الجزء الصحيح في البداية لكل عدد، وإن تساوت القيم في الجزء الصحيح ننتقل لمقارنة الجزء العشري لكل عدد، والعدد الذي يمتلك الرقم الأكبر في منازله يكون هو العدد الأكبر وتُرتب الأعداد وفقًا لذلك.
كيفية ترتيب الأعداد النسبية
تعرف الأعداد النسبية (بالإنجليزية: Rational number) بأنها الأعداد الكسرية التي تُكتب على صورة كسر مكون من بسط ومقام، بحيث يكون البسط والمقام أعدادًا صحيحة والمقام لا يساوي صفر، وفيما يلي شرح لترتيب الأعداد النسبية:
ترتيب الأعداد النسبية تصاعديًا
تُرتب الأعداد النسبية تصاعديًا من العدد الأقل قيمة إلى العدد الأعلى قيمة، وفيما يلي شرح الترتيب التصاعدي للأعداد الصحيحة:
- توحيد المقامات بين جميع الأعداد النسبية.
- إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين الأعداد وتوحيد المقامات.
- بعد توحيد المقام يجب المقارنة بين أرقام البسط، بنفس خطوات المقارنة بين الأعداد الصحيحة التي ذُكرت سابقًا.
- العدد الذي يمتلك أكبر رقم في البسط يكون العدد الأكبر.
- ترتيب الأعداد حسب نتيجة مقارنة أرقام البسط.
- تذكر أنّ الأعداد الموجبة أكبر من الأعداد السالبة، لذا توضع الأعداد السالبة، ثم الأعداد الموجبة.
ترتيب الأعداد النسبية تنازليًا
تُرتب الأعداد النسبية تنازليًا من العدد الأعلى قيمة إلى العدد الأقل قيمة، وتُرتب بنفس خطوات الترتيب التصاعدي، إلّا أنّه هنا يُعاد ترتيب الأعداد من الأكبر إلى الأصغر وتُوضع الأعداد الموجبة في البداية، ثم الأعداد السالبة.
أمثلة متنوعة على ترتيب الأعداد النسبية
فيما يلي تمارين على الترتيب التصاعدي والتنازلي للأعداد النسبية:
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 1/2، 6/5-، 1/6
الحل:
- نلاحظ أنّ هناك عددًا سالبًا، إذًا العدد 6/5- هو أصغر عدد.
- نقارن بين العددين 1/2 و1/6.
- نلاحظ أنّ المقام 6 من مضاعفات المقام 2، لذا نحتفظ بالعدد النسبي 1/6 ونضرب مقام وبسط العدد 1/2 في 3 للحصول على نفس المقام الموحد (6).
- يُصبح العددان بعد الضرب: 3/6، 1/6.
- نقارن بين البسط نجد أنّ العدد 3 أكبر من العدد 1.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 6/5-
- يكون ترتيب الأرقام الأصلية على النحو الآتي: 6/5-
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 5/3، 2/9، 1/18
الحل:
- نلاحظ أنّ المقام 18 من مضاعفات الأرقام 3 و9، لذا نحتفظ بالعدد النسبي 1/18 ونضرب مقام وبسط العدد 5/3 في 6 للحصول على نفس المقام الموحد (18)، ونضرب مقام وبسط العدد 2/9 في 2 للحصول على نفس المقام الموحد (18).
- تُصبح الأعداد بعد توحيد المقامات: 30/18، 4/18، 1/18.
- نقارن بين البسط، نجد أنّ العدد 30 يمتلك منزلتين إذًا هو أكبر عدد، ونجد أنّ العدد 4 أكبر من العدد 1.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 1/18 .
- يكون ترتيب الأرقام الأصلية على النحو الآتي: 1/18
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 4/7-، 9/7-، 6/7-
الحل:
- نُلاحظ أنّ جميع المقامات موحدة.
- نقارن بين البسط، نجد أنّ العدد 4- يقع على يمين العدد 6- في خط الأعداد، إذًا العدد 4- أكبر من العدد 6-.
- ونجد أنّ العدد 6- يقع على يمين العدد 9-، إذًا العدد 6- أكبر من 9-.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 4/7- > 6/7- > 9/7-.
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 31/5، 647/5، 37/5
الحل:
- نُلاحظ أنّ جميع المقامات موحدة.
- نقارن بين البسط، نجد أنّ العدد 647 يمتلك 3 منازل إذًا هو أكبر عدد.
- نقارن بين بسط العدد 31/5 والعدد 37/5، نجد أن كلا العددين يمتلكان نفس عدد المنازل، نقارن بين منزلة العشرات نجد أنّ كلا العددين لهما نفس القيمة وهي 3، نقارن بين الآحاد، نجد أن الرقم 1 في العدد 31 أصغر من الرقم 7 في العدد 37، إذًا العدد 37/5 أكبر من العدد 31/5.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 647/5 > 37/5 > 31/5.
الأعداد النسبية هي الأعداد التي تُكتب على صورة كسر ويكون البسط والمقام أعدادًا صحيحة والمقام لا يساوي صفر، ولترتيب الأعداد النسبية يجب التأكد من أنّ المقامات موحدة بين الأعداد، ثم تُقارن أرقام البسط، ولأنّ البسط رقم صحيح فإنّ الترتيب يكون بنفس طريقة ترتيب الأعداد الصحيحة.
