قانون محيط الدائرة
يُمكن حِساب محيط الدائرة من خلال أحد القوانين الآتية :
- محيط الدائرة= قُطر الدائرة×π
وبالرموز:
ح=ق×π
- محيط الدائرة= 2×نصف قُطر الدائرة×π
وبالرموز:
ح=2×نق×π
- محيط الدائرة= الجذر التربيعي للقيمة (4×مساحة الدائرة×π)
وبالرموز:
ح= (4×م×π)√
حيث أن:
- م: مساحة الدائرة .
- ح: محيط الدائرة.
- نق: نصف قطر الدائرة، وهو المسافة الواصلة بين المركز وأية نقطة على محيط الدائرة.
- ق: طول قطر الدائرة، وهو يعادل المسافة الواصلة بين أية نقطتين على محيط الدائرة عند مرورها في المركز.
- π: الثابت باي، وتساوي قيمته: 3.14، أو 22/7.
قانون مساحة الدائرة
يُمكن حِساب مساحة الدائرة من خلال أحد القوانين الآتية :
- مساحة الدائرة= مربع نصف قُطر الدائرة×π
وبالرموز:
م=نق²×π
- مساحة الدائرة= (مربع قُطر الدائرة/4)×π
وبالرموز:
م=(ق²×π)/ 4
- مساحة الدائرة= مربع محيط الدائرة/(4π)
وبالرموز:
م=(ح²/ 4π)
حيث أن:
- م: مساحة الدائرة.
- ح: محيط الدائرة.
- نق: نصف قطر الدائرة.
- ق: طول قطر الدائرة.
- π: الثابت باي، وتساوي قيمته: 3.14، أو 22/7.
أمثلة متنوعة على حساب مساحة ومحيط الدائرة
وفيما يأتي أمثلة متنوعة على حساب مساحة ومحيط الدائرة:
- المثال الأول: احسب مساحة ومحيط دائرة نصف قطرها يساوي 3سم.
الحل:
- باستخدام القانون: مساحة الدائرة= نق²×π
- ينتج أن: م=3²×3.14=28.26سم²
- باستخدام القانون: محيط الدائرة= 2×نق×π
- ينتج أن: ح=2×3×3.14=18.84سم.
- المثال الثاني: احسب مساحة ومحيط دائرة قطرها يساوي 16سم.
الحل:
- باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(ق²×π)/ 4
- م=(16²×3.14)/4=200.96سم².
- باستخدام القانون: محيط الدائرة=ق×π
- المثال الثالث: احسب مساحة ومحيط حوض دائري الشكل للزهور قطره يساوي 9م.
الحل:
- باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(ق²×π)/ 4
- باستخدام القانون: محيط الدائرة=ق×π
- المثال الرابع: إذا كان نصف قطر إطار عربة ما 6 سم، جد المسافة المقطوعة من قبل العربة بعد دوران العجل مرة واحدة فقط.
الحل: المسافة المقطوعة من قبل الإطار بعد دورانه مرة واحدة تعادل محيط هذا الإطار، وباستخدام القانون: محيط الدائرة=2×نق×π، ينتج أن محيط الدائرة=2×6×3.14= 37.68سم، وبالتالي فإن المسافة المقطوعة من قبل هذا الإطار بعد دورانه مرة واحدة=37.68سم تقريباً.
- المثال الخامس: جد مساحة الدائرة التي يبلغ قياس محيطها 30م.
- الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(مربع محيط الدائرة/ 4π)، ومنه مساحة الدائرة=(30²/ 4×3.14)=71.65م².
- المثال السادس: إذا كانت مساحة الدائرة 314.159م²، جد طول نصف قطرها.
الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: 314.159=نق²×3.14، ومنه: نق=10م.
- المثال السابع: إذا كان نطاق تغطية أحد الهواتف النقّالة محصوراً ضمن دائرة نصف قطرها 3كم، جد مساحة المنطقة التي يغطيها الهاتف.
الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: مساحة الدائرة=3²×3.14 =28.26كم².
- المثال الثامن: إذا كان عرض الإطار المحيط بصورة دائرية الشكل 4سم، وكان نصف قطر هذه الصورة 12سم، جد مساحة هذا الإطار.
الحل:
- حساب مساحة الدائرة الخارجية: والتي يبلغ نصف قطرها=نصف قطر الدائرة الداخلية عرض الإطار= 12 4=16سم، وباستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: مساحة الدائرة=16²×3.14=803.84سم².
- حساب مساحة الصورة: باستخدام القانون: مساحة الدائرة= نق²×π، ومنه مساحة الدائرة= 12²×3.14= 452.16سم².
- حساب مساحة الإطار: والتي تساوي: مساحة الإطار= مساحة الدائرة الخارجية-مساحة الصورة =803.84 -452.16=351.68 سم².
- المثال التاسع: إذا كانت مساحة الدائرة 200م²، جد نصف قطرها.
الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: 200=نق²×3.14، ومنه: نق=8م.
- المثال العاشر: جد مساحة الدائرة التي يبلغ قياس محيطها 40م.
الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(محيط الدائرة²/ 4π)، ومنه: مساحة الدائرة=(40²/ 4×3.14)=127.4م².
- المثال الحادي عشر: إذا كان الفرق بين محيط إحدى الدوائر وقطرها 5سم، جد نصف قطر هذه الدائرة.
الحل: محيط الدائرة هو: ح=ق×π، ووفق معطيات السؤال فإن: محيط الدائرة-قطر الدائرة = 5، أي أن ق×π-ق=5، وبحل المعادلة ينتج أن قطر الدائرة=2.34سم، أما نصف قطرها فيساوي=قطر الدائرة/2=2.34/2=1.166سم.
- المثال الثاني عشر: أرادت هبة تغيير شكل سلك تم تشكيله على شكل دائرة نصف قطرها 49سم وتحويله إلى مربع، جد طول ضلع المربع الناتج.
الحل:
- باستخدام قانون محيط الدائرة: محيط الدائرة=2×نق×π، ينتج أن ح=2×49×3.14=307.72سم، وهو ذاته محيط المربع.
- باستخدام قانون محيط المربع= طول الضلع×4، ينتج أن 307.72/4=طول ضلع المربع=77سم.
فيديو عن الدائره ومساحتها ومحيطها
للتعرف على المزيد عن هذا الشكل الهندسي تابع الفيديو:
