طرق تعليم الأطفال جمع الكسور وطرحها

تعليم الأطفال جمع الكسور

الكسور هي طريقة للتعبير عن جزء من الكل (جزء من عدد صحيح)، ويمكن تقسيم الكل إلى العديد من القطع حسب الرغبة، وعليه يكون الكل هو المقام، والجزء هو البسط ، بمعنى آخر البسط هو الرقم العلوي من الكسر، والمقام هو العدد السفلي من الكسر. ولتبسيط المعلومة أكثر نضرب الأمثلة التالية:

• الكسر 3/6: الرقم العلوي 3 والرقم السفلي 6، وعليه يكون البسط هو 3، والمقام هو 6.
• الكسر 12/4: الرقم العلوي 12 والرقم السفلي 4، وعليه يكون البسط هو 12 والمقام هو 4.

تختلف أنواع الكسور في الرياضيات ، وبالتالي تختلف طرق جمعها، وفيما يأتي تفصيل لذلك:

جمع الكسور عند تساوي المقامات

في حالة تساوي المقامات فإنّ الجمع يكون فقط للبسط، مع ثبات المقام، فيكون الحل باتّباع الخطوات التالية:

1. التأكد من أنّ الأرقام السفلية للكسر (القواسم ) متساوية.
2. جمع الأرقام العلوية (البسط ) فقط، ثم وضع ناتج الجمع فوق خط الكسر، مع ثبات قيمة المقام.
3. تبسيط الكسر إن توفر فيه شرط التبسيط (إذا لزم الأمر).

جمع الكسور عند اختلاف المقامات

في حالة جمع الكسور ذات المقامات المختلفة تكون أوّل خطوة في الحل هي توحيد المقامات للحصول على الناتج الصحيح لعملية الجمع، وهناك 3 طرق للحل:

عندما تكون قيم المقام والبسط صغيرة

أي 15 فأقل، فمثلاً لجمع (2/5 1/3) يكون الحل باتباع الخطوات التالية:

1. الضرب التبادلي للحصول على بسط الحل، أي ضرب كل بسط بمقام الكسر الآخر، وهنا (5×1) (2×3) = 5 6 = 11، وعليه تكون قيمة البسط 11.
2. ضرب المقامين معًا للحصول على مقام الحل، أي ضرب مقام الكسر الأول بمقام الكسر الثاني، فيكون الحل 5×3 = 15، وعليه يكون المقام الموحّد هنا لكلا الكسرين هو 15.
3. وعليه تكون الإجابة النهائية 2/5 1/3 = 11/15.

أمّا في حالة جمع أكثر من كسرين بمقامات مختلفة، مثلاً لجمع (1/2 3/5 4/7) يكون الحل باتباع نفس الخطوات السابقة:

• استخراج بسط الحل: كما يلي:

1. ضرب بسط الكسر الأول في مقامات جميع الكسور الأخرى، أي (1×5×7) = 35.
2. ضرب بسط الكسر الثاني في مقامات جميع الكسور الأخرى، أي (3×2×7) = 42.
3. ضرب بسط الكسر الثالث في مقامات جميع الكسور الأخرى، أي (4×2×5) = 40.
4. جمع جميع القيم الناتجة مع بعضها للحصول على بسط الحل أي؛ 35 42 40 = 117، وعليه يكون بسط الحل هو 117.

• استخراج مقام الحل: ويكون بضرب مقامات جميع الكسور بعضها ببعض أي؛ 2×5×7= 70، وعليه يكون مقام الحل هو 70.
• كتابة بسط الحل ومقام الحل على شكل كسر: كنتيجة لحل المعادلة أي (1/2 3/5 4/7= 117/70).

عندما يكون أحد المقامات من مضاعفات المقام الآخر

أي أن الناتج من قسمة قيمة المقام الأكبر على قيمة المقام الأصغر تساوي عدد صحيح دون باقي، ولحل المعادلة (11/12 19/24) يمكن اتباع الخطوات التالية:

1. المقام 12 هو أحد مضاعفات 24، أي قسمة 24 على 12 تساوي 2، وهو عدد صحيح دون باقي.
2. بالاعتماد على نتيجة الخطوة السابقة، يجب رفع قيمة المقام الأصغر لتساوي قيمة المقام الأكبر، أي ضرب الكسر ذي المقام الأصغر (بسط، ومقام) بالعدد 2 وعليه تصبح قيمة الكسر ذو المقام الأصغر كما يلي: (11×2= 22؛ وهي قيمة البسط الجديدة) و(12×2=24؛ وهي قيمة المقام الجديدة).
3. تكتب المعادلة بعد توحيد المقامات كما يلي (19/24 11/24 = 40/24)، وهنا يجدر الإشارة إلى جمع البسطين معًا فقط لأن المقامات موحدة.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين المقامات

وتستخدم فقط في حال عدم التمكّن من استخدام الطريقتين السابقتين، وتعتمد على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين المقامين، فمثلاً لجمع (3/4 7/10) يكون الحل باتباع الخطوات التالية:

• إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين المقامين: باستخدام طريقة الضرب كما يلي:

1. مضاعفات المقام الأول 10: لأن المقام 10 نزيد عشرة لكل خانة لمضاعفة العدد فتكون المضاعفات هي؛ 40،30،20،10
2. مضاعفات المقام الثاني 4: هنا المقام 4، وللحصول على مضاعفاته نزيد 4 عليه، وعلى كل نتيجة، فتكون المضاعفات هي؛ 20،16،12،8،4
3. نستمربكتابة المضاعفات لكلا المقامين للوصول إلى أوّل تساوي في الأرقام بين مضاعفات العددين، وهنا يكون المضاعف المشترك الأصغر بين المقامين هو 20.
4. رفع قيمة كلا المقامين للعدد 20 للحصول على مقام موحّد.
5. وعليه يكون الحل (10×؟ =20، الجواب هو 2، وهنا يُضرب بسط ومقام الكسر الأول بـ 2 فيصبح الكسر الجديد 14/20).
6. تطبق نفس الطريقة للحصول على قيمة الكسر الثاني (4×؟=20، الجواب هو 5، وعليه يُضرب بسط ومقام الكسر الثاني بـ 5، ليصبح الكسر الثاني الجديد 15/20).

• تعوض قيمة الكسور الجديدة ذات المقامات الموحدة: ويكون الحل بجمع البسط فقط أي (14/20 15/20= 29/20)

جمع الكسور عندما تكون الكسور مختلطة

الكسور المختلطة هي التي تتكون من عدد صحيح وكسر، ولجمعها يجب تحويلها إلى كسر مركّب، فمثلاً لجمع (2 3/4    3 1/2 ) يكون الحل:

• الخطوة الأولى:
  • يُحوّل الكسر المختلط إلى كسر غير صحيح، في المثال ( 3/4 2= 11/4 ) بضرب العدد الصحيح (2) بالمقام (4) ثم جمع الناتج للبسط (3) للحصول على البسط الجديد، مع ثبات المقام ليكون الجواب(11/4).
  • وبنفس الطريقة يحوّل الكسر المختلط الثاني إلى كسر غير صحيح إذ يُضرب العدد الصحيح (3) بالمقام (2) ثم يُجمع الناتج إلى البسط للحصول على البسط الجديد مع ثبات المقام، وعليه ( 1/2 3= 7/2 ).

• الخطوة الثانية: توحيد المقامات، وهنا أحد المقامات من مضاعفات المقام الثاني، أي (4) من مضاعفات العدد (2)، وعليه يجب رفع الكسر ذي المقام (2) إلى (4)، بضرب الكسر بـ (2)، وعليه يضرب الكسر (المقام والبسط) بـ 2 ليصبح (14/4)، بمعنى أدق إيجاد القاسم المشترك الأصغر.
• الخطوة الثالثة: تصبح المعادلة (14/4 11/4) = 25/4، وبتبسيط الكسر يعود لكسر مختلط ليصبح الناتج 1/4 6، باستعمال طريقة القسمة الطويلة.

أمثلة متنوعة على جمع الكسور

وفيما يلي أمثلة متنوعة على جمع الكسور:

جمع الكسور عند تساوي المقامات

• مثال1: كم ناتج جمع الكسرين 2/10 و3/10؟
  • الحل: 2/10 3/10 = 5/10، وبتبسيط الكسر يكون الناتج 1/2.

• مثال1: كم ناتج جمع الكسرين 6/4 و2/4؟
  • الحل: 6/4 2/4 = 8/4، وبتبسيط الكسر يكون الناتج 2.

جمع الكسور عند اختلاف المقامات

• مثال1: جد ناتج جمع الكسرين 1/3 و3/5.
  • الحل: بتوحيد المقامات، بضرب مقام كل كسر بالكسر الآخر:
  • 1/3 3/5= (5×3 / 5×1) (3×5 / 3×3)
  • ( 5/15 9/15) = 14/15

• مثال2: جد ناتج جمع الكسرين 3/5 و1/2.
  • الحل: بتوحيد المقامات، بضرب مقام كل كسر بالكسر الآخر:
  • 3/5 1/2= (2×5 / 2×3) (5×2 / 5×1)
  • 6/10 5/10 = 11/10

أمثلة على جمع الكسور المختلطة

• مثال1: جد ناتج جمع الكسرين 1/2 3 و4/6 2.
  • الحل: بتحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي (بسط ومقام):
  • 1/2 3 4/6 2= [(3×2) 1] [(6×2) 4] =7/2 16/6
  • توحيد المقامات بضرب الكسر 7/2 بالعدد 3، ليصبح المقام 6؛ [(3×2) / (3×7)] 16/6
  • 21/6 16/6 = 37/6

• مثال2: جد ناتج جمع الكسرين 4/2 3 و6/7 4.
  • الحل: بتحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي (بسط ومقام):
  • 4/2 3 6/7 4 = [(2×3) 4] [(7×4) 6] = 10/2 34/7
  • توحيد المقامات بضرب كل كسر بمقام الكسر الآخر، ليصبح المقام 14؛ [(7×2/ 7×10)] [(2×7 / 2×34)]
  • 70/14 68/14 = 138/14

يوجد العديد من القوانين التي تعد عامة وأساسية في الرياضيات ، وما يهم هنا هو القوانين الخاصة بجمع الكسور، إذ هناك قوانين خاصة لجمع الكسور متساوية المقامات، وأخرى تحكم جمع الكسور ذات المقامات المختلفة، وأخرى تطبّق عند جمع الكسور المختلطة، وجميعها يعتمد على توحيد المقامات للتمكّن من الحصول على نتيجة صحيحة.

فالطريقة المستخدمة لجمع المقامات المختلفة، تختلف عن تلك المستخدمة لجمع المقامات المتساوية، ففي هذه الأخيرة تُنقل المقامات كما هي والجمع يكون فقط للبسط، بينما هناك أكثر من طريقة لجمع المقامات المختلفة.

 تعليم الأطفال طرح الكسور

تعد عملية طرح الكسور عملية عكسية لجمع الكسور، وبنفس المفاهيم إذ يكون العدد أعلى خط الكسر هو البسط، والعدد أسفل خط الكسر هو المقام، وعملية طرح الكسور تمر بثلاث خطوات أساسية هي:

• التأكّد من أن المقامات للكسرين هي نفسها.
• طرح البسط الأول من البسط الثاني مع ثبات المقام نفسه للحصول على البسط الجديد لنفس مقام الكسرين الذي هو نفسه في كليهما.
• تبسيط الكسر إذا لزم الأمر.

طرح الكسور عند تساوي المقامات

في طرح الكسور ذات المقامات المتساوية الشرط الأول المذكور في الفقرة السابقة وهو تساوي المقامات متحقّق، فننتقل للخطوة التالية مباشرةً وهي طرح بسط الكسر الأول من بسط المقام الثاني، وتثبيت المقام، كما يلي:

أمثلة توضيحية:

• 7/5 - 3/5 = 4/5
• 6/3 - 4/3 = 2/3
• 15/5 - 10/5 = 5/5 = 1

طرح الكسور عند اختلاف المقامات

تُطرح الكسور ذات القواسم المختلفة باتّباع إحدى الطريقتين التاليتين لتوحيد المقامات:

• طريقة إيجاد العامل المشترك: باتباع الخطوات التالية:

1. توحيد المقامات، ولهذا الهدف يجب البحث عن القاسم المشترك الأصغر، وبالمثال؛ 2/3 - 2/6 = 6 من مضاعفات العدد 3، وبالتالي 2 هو القاسم المشترك الأصغر.
2. يجب إيجاد الكسر المكافئ، بضرب القاسم المشترك الأصغر بالكسر ذو المقام الأصغر، لرفع مقام الكسر الأول إلى 6 بهدف توحيد المقامات، وفي المثال يُضرب 2 في بسط الكسر ذو المقام الأصغر أي (3×2/ 2×2)، وهذا يعطينا كسرًا مكافئًا 4/6، مع بقاء الكسر الثاني ثابت كما هو.
3. يُطرح بسط الكسر الأول من بسط الكسر الثاني، مع بقاء المقامات ثابتة وهي 6، وبالمثال (4/6 - 2/6) = 2/6
4. تبسيط الإجابة (إذا لزم الأمر)، وفي هذا المثال يمكن تبسيط الكسر، الخطوة الأخيرة هي تبسيط الكسر،عن طريق إيجاد العامل المشترك الأكبر الذي يتقاسمه كلا الجزأين من الكسر وقسمتهما عليه، وفي المثال العامل المشترك الأكبر هو 2، وعليه يكون 2/6= (6 ÷ 3) / (2 ÷ 2)= 1/3، وعليه فإن الكسر المبسط هو 1/3.

• توحيد المقامات بالضرب التبادلي: باتباع الخطوات التالية:

1. يُضرب الكسرين بالتبادل، أي يُضرب بسط الكسر الأول بمقام الكسر الثاني، وبسط الكسر الثاني بمقام الكسر الأول، وبالمثال: 1/3 - 1/4 = (4×1) - (3×1) = (4 - 3)؛ إذ يكون العدد (4) هو بسط الكسر الأول، والعدد (3) هو بسط الكسر الثاني لتصبح المعادلة (4/3 - 3/4).
2. توحيد المقامات عن طريق ضرب مقام الكسر الأول بمقام الكسر الثاني للحصول على مقام الإجابة الموحّد، بالمثال؛ (3×4)= 12 وهو مقام الإجابة.
3. تصبح المعادلة 4/12 - 3/12 = 1/12، وهنا يجب الملاحظة أنه بعد توحيد المقامات يكون الطرح فقط للبسط مع تثبيت المقام.

طرح الكسور عندما تكون الكسور مختلطة

الكسور المختلطة هي التي تتكون من عدد صحيح وكسر، و طرح الكسور المختلطة نفس طريقة جمعها، فيكون حل المثال؛ 3/4 15- 5/6 8 باتباع الخطوات التالية:

1. تحويل الكسر المختلط إلى كسر غير صحيح: في المثال؛ للحصول على بسط الإجابة للكسرالمختلط الأول (3/4 15) يُضرب العدد الصحيح (15) بالمقام (4) ثم يُجمع الناتج للبسط (3)، مع تثبيت نفس المقام، فيصبح الكسر الأول؛ 63/4، وتكرّر نفس الخطوات لتحويل الكسر المختلط الثاني لكسر غير صحيح وذلك بضرب العدد الصحيح (8) بالمقام (6) ثم جمع الناتج للبسط (5) فيكون الحل؛ 5/6 8= 53/6.
2. توحيد المقامات: وهنا ليس أي من المقامين من مضاعفات الآخر، لذلك نلجأ لإخراج العامل المشترك الأصغر للمقامين وهو (3)، وعليه يُضرب بسط ومقام الكسر الأول بـ 3، وأيضًا يُضرب بسط ومقام الكسر الثاني بـ 3، فتكون النتيجة 189/12 - 106/12
3. طرح بسط الكسر الأول من بسط الكسر الثاني: مع ثبيت المقام نفسه (12) لكلا الكسرين، وفي المثال 12/ (189-106)=83/12
4. تبسيط الكسر: ليصبح 83/12 = 11/12 6، باستخدام القسمة الطويلة؛ بوضع ناتج القسمة كعدد صحيح، والباقي يوضع كبسط، مع تثبيت المقام.

أمثلة متنوعة على طرح الكسور

وفيما يلي أمثلة متنوعة على طرح الكسور:

طرح الكسور عند تساوي المقامات

• مثال1: جد ناتج طرح الكسرين 3/4 و1/4.
  • الحل: المقامات متساوية، لذا نطرح قيم البسط للكسرين مع ثبات قيمة المقام:
  • 3/4 - 1/4= 2/4 =1/2

• مثال2: جد ناتج طرح الكسرين 2/5 و1/5.
  • الحل: المقامات متساوية، لذا نطرح قيم البسط للكسرين مع ثبات قيمة المقام:
  • (2/5 - 1/5)= 1/5

طرح الكسور عند اختلاف المقامات

• مثال1: جد ناتج طرح الكسرين 3/5 و1/2.
  • الحل: بتوحيد المقامات، بضرب مقام كل كسر بالكسر الآخر:
  • 3/5 - 1/2= [(2×5)/ 2×3)] - [(5×2) / (5×1)]
  • 6/10 - 5/10 =1/10

• مثال2: جد ناتج طرح الكسرين 3/5 و1/3.
  • الحل: بتوحيد المقامات، بضرب مقام كل كسر بالكسر الآخر:
  • 3/5 - 1/3= [(3×5)/ 3×3)] - [(5×3) / (5×1)]
  • ( 9/15 - 5/15) = 4/15

طرح الكسور المختلطة

• مثال1: جد ناتج طرح الكسرين 1/2 3 و4/6 2.
  • الحل: بتحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي (بسط ومقام):
  • 1/2 3- 4/6 2= [(3×2) 1] - [(6×2) 4] = 7/2 - 16/6
  • بتوحيد المقامات، بضرب الكسر الأول بالعدد 3 ليصبح المقام مساويًا ل6؛ [(3×2) / (3×7)] - 16/6
  • ومنه؛ 21/6 - 16/6= 5/6

• مثال2: جد ناتج طرح الكسرين 1/2 3 و4/6 2.
• الحل: بتحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي (بسط ومقام):
  • 4/2 3- 6/7 4= [(2×3) 4] - [(7×4) 6]= 10/2 - 34/7
  • بتوحيد المقامات، بضرب كل كسر بمقام الآخر، ليصبح المقام مساويًا ل14، [(7×2/ 7×10) - (2×7 / 2×34)]
  • 70/14 - 68/14 = 2/14 = 1/7

هناك قوانين خاصة لطرح الكسور متساوية المقامات، وأخرى تحكم طرح الكسور ذات المقامات المختلفة، وأخرى تطبّق عند طرح الكسور المختلطة، وجميعها يعتمد على توحيد المقامات للتمكّن من الحصول على نتيجة صحيحة.

فالطريقة المستخدمة لطرح المقامات المختلفة، تختلف عن تلك المستخدمة لطرح المقامات المتساوية، ففي هذه الأخيرة تُنقل المقامات كما هي والطرح يكون فقط للبسط، بينما هناك أكثر من طريقة لطرح المقامات المختلفة.

مهارات على الطفل اكتسابها لفهم جمع وطرح الكسور

يوجد مهارات رياضية يجب على الطفل اكتسابها لتسهيل فهم جمع وطرح الكسور، وإيجاد الحلول لهذه المسائل بوقت قصير، وفيما يلي أهم هذه المهارات:

• التأكد من أن الطفل الصغير يدرك معنى الأرقام، والرموز، والعمليات الحسابية؛ لأنه إن لم يكن كذلك فالرياضيات بالنسبة له عبارة عن أرقام وعمليات حسابية ليس لها معنى.
• مساعدته ليتقن الأساسيات الرياضية المهمة، إذ إن الطفل يجب أن يجيب على السؤال خلال 30 ثانية، سواء أكان السؤال التعرف على رقم معين؛ أو إجراء عملية حسابية بسيطة.
• من المهم أن يكتب الطفل الكسور على خط الأعداد بالترتيب الصحيح.
• مادة الرياضيات مادة تراكمية، وهذا يعني أنه إذا فقد الطفل إدراك أحد المفاهيم الأساسية لن يستطيع أن يتابع الدرس الذي يليه، فمثلاً إذا لم يفهم الكسور بشكلها النسبي (2/ 1) لن يفهمها بشكلها العشري (0.5).
• اعتماد الأساليب الحديثة لتعليم الطفل الرياضيات وخاصة الكسور مثل؛ خطوط الأرقام والنماذج، أو قطع الورق بحسب الكسر، بدلاً من الأساليب القديمة التي تعتمد على المخططات الدائرية.
• عندما يتمكن الطفل من الأساسيات الرياضية، يجب البدء بتعليمه كيف يحل بعض المسائل في ذهنه دون استخدام القلم والورق.
• سيشعر الطفل بأهمية الرياضيات له إذا ربطِّها بحياته اليومية، مثل عمليات الشراء والبيع للحلوى.
• التأكد من أن الطفل يستطيع التمييز بين الكسر والعدد الصحيح.
• التأكد من أن الطفل يُتقن عمليات الطرح والجمع، والضرب والقسمة، لأنها تؤثّر بالتأكيد على نتيجة جمع أو طرح الكسور.