شرح درس مقارنة الأعداد الكسرية وترتيبها

مقارنة أعداد كسرية لها نفس المقام

تعرف الأعداد الكسرية بأنها الأعداد التي تُكتب على صورة كسر بحيث يكون البسط والمقام أعداد صحيحة والمقام لا يساوي صفر، و تعد الأعداد الكسرية من الأعداد الحقيقية في الرياضيات ، وتتم عملية المقارنة في الرياضيات باستخدام الرموز أكبر من (>)، أو أصغر من ( [٢] ويُمكن مقارنة الأعداد الكسرية التي لها نفس المقام بالخطوات التالية:

• المقارنة بين البسط لكل عدد كسري.
• العدد الذي يمتلك أكبر رقم في البسط هو العدد الأكبر.
• إذا كان البسط سالبًا يكون العدد الذي يمتلك أكبر رقم في البسط هو العدد الأصغر.
• العدد الكسري الموجب أكبر من العدد الكسري السالب.

تدريبات على المقارنة

يوجد عدة طرق لتحسين المهارات في مادة الرياضيات ، ومن أفضل الطرق هي التدريب المستمر على حل المسائل والتمارين، وفيما يلي تمارين الأعداد الكسرية التي لها نفس المقام:

مقارنة أعداد كسرية لها نفس البسط

ويُمكن مقارنة الأعداد الكسرية التي لها نفس البسط بالخطوات التالية:

• المقارنة بين المقام لكل عدد كسري.
• العدد الذي يمتلك أكبر رقم في المقام هو العدد الأصغر.
• تجاهل إشارة السالب إذا كان البسط سالبًا، والمقارنة بين المقامين بنفس مقارنة المقام الموجب، أي العدد الذي يمتلك أكبر رقم في المقام هو العدد الأصغر، ثم عكس نتيجة المقارنة.
• العدد الكسري الموجب أكبر من العدد الكسري السالب.

تدريبات على المقارنة

وفيما يلي تمارين الأعداد الكسرية التي لها نفس البسط:

مقارنة أي عدد كسري مع الرقم واحد

يُمكن مقارنة العدد الكسري مع الرقم واحد بالخطوات التالية:

• يكون العدد الكسري أكبر من واحد إذا كان بسطه أكبر من مقامه.
• يكون العدد الكسري أصغر من واحد إذا كان بسطه أصغر من مقامه.
• يكون العدد الكسري يساوي واحد إذا كان بسطه يساوي مقامه.

تدريبات على المقارنة

وفيما يلي تمارين مقارنة الأعداد الكسرية مع الرقم 1:

يمكن اتباع عدة طرق لفهم الرياضيات وليسهل على الطفل تعلم أساسيتها، مثل مقارنة الأعداد وترتيبها، بحيث تُحدد عملية المقارنة إذا كان العدد أكبر أو أصغر أو يساوي عددًا آخر، وللمقارنة بين الأعداد الكسرية إذا كان العددان لهما نفس المقام نُقارن بين البسط والعدد ذو البسط الأكبر هو الأكبر، وإذا كان العددان لهما نفس البسط نُقارن بين المقام والعدد ذو المقام الأكبر هو الأصغر، وإذا كان العدد الكسري بسطه أكبر من مقامه فهو أكبر من 1، وإذا كان بسطه أقل من مقامه فهو أقل من 1.

طريقة توحيد مقامات الكسور

ويُمكن توحيد المقامات للأعداد الكسرية بالخطوات التالية:

• إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين.
• يُمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لكل رقم من خلال كتابة مضاعفات كل عدد.
• البحث بين مضاعفات كل عدد عن أصغر مضاعف مشترك بينهما.

تدريبات على توحيد المقامات

وفيما يلي بعض التدريبات على توحيد المقالات في الأعداد الكسرية:

كيف يُمكن توحيد المقام بين العدد 1/2 والعدد 1/5 للمقارنة بينهما؟

• نجد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين لتوحيد المقالات.
• مضاعفات العدد 2 هي: 2، 4، 6، 8، 10.
• مضاعفات العدد 5 هي: 5، 10، 15.
• نُلاحظ أن أصغر مضاعف مشترك بين العددين هو العدد 10.
• نضرب بسط ومقام العدد 1/2 بالرقم 5 فيُصبح 5/10.
• نضرب بسط ومقام العدد 1/5 بالرقم 2 فيُصبح 2/10.
• الحل: 5/10 > 2/10.

كيف يُمكن توحيد المقام بين العدد 1/18 والعدد 7/9 للمقارنة بينهما؟

• نجد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين.
• مضاعفات العدد 18 هي: 18، 36.
• مضاعفات العدد 9 هي: 9، 18.
• نُلاحظ أن أصغر مضاعف مشترك بين العددين هو العدد 18.
• نحتفظ بالعدد الكسري 1/18 كما هو.
• نضرب بسط ومقام العدد 7/9 بالرقم 2 ليصبح مقامه 18، فيُصبح 14/18.
• الحل: 1/18 > 14/18.

كيف يُمكن توحيد المقام بين العدد 2/3 والعدد 5/6 للمقارنة بينهما؟

• نجد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين.
• مضاعفات العدد 3 هي: 3، 6.
• مضاعفات العدد 6 هي: 6، 12.
• نُلاحظ أن أصغر مضاعف مشترك بين العددين هو العدد 6.
• نحتفظ بالعدد الكسري 5/6 كما هو.
• نضرب بسط ومقام العدد 2/3 بالرقم 2 ليصبح مقامه 6، فيُصبح 4/6.
• الحل: 4/6

الترتيب التصاعدي والتنازلي للكسور

تُرتب الأعداد الكسرية تصاعديًا أي من الأصغر للأكبر، وتنازليًا من الأكبر للأصغر، وذلك حسب الخطوات التالية:

• نوحد مقامات جميع الأعداد الكسرية.
• نجد المضاعف المشترك الأصغر بين جميع الأعداد.
• بعد توحيد المقامات نُقارن بين قيمة البسط لكل عدد.
• العدد الذي يحتوي على قيمة البسط الأصغر يكون العدد الأصغر.
• نرتب من الأصغر إلى الأكبر للترتيب التصاعدي.
• نرتب من الأكبر إلى الأصغر للترتيب التنازلي.

تدريبات على الترتيب التصاعدي

وفيما يلي بعض التدريبات على الترتيب التصاعدي للأعداد الكسرية:

رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 5/3، 1/9، 7/18.

• الحل:
  • نوحد مقامات جميع الأعداد الكسرية، من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين جميع الأعداد.
  • مضاعفات العدد 3 هي: 3، 6، 9، 12، 15، 18.
  • مضاعفات العدد 9 هي: 9، 18.
  • مضاعفات العدد 18 هي: 18، 36.
  • نُلاحظ أن أصغر مضاعف مشترك بين الأعداد هو 18.
  • نحتفظ بالعدد الكسري 7/18، ونضرب بسط ومقام العدد 5/3 بالرقم 6 ليساوي مقامه العدد 18، فيُصبح 30/18، ونضرب بسط ومقام العدد 1/9 بالرقم 2 ليساوي مقامه الرقم 18، فيُصبح 2/18.
  • تُصبح الأعداد بعد توحيد المقامات: 7/18، 30/18، 2/18.
  • نقارن بين البسط نجد أنّ العدد 30 أكبر من 7 أكبر من 2.
  • إذًا 30/18 أكبر من العدد 7/18 وأكبر من 2/18.
  • وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 1/9 .

رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 7/5، 3/5، 4/5-.

• الحل:
  • المقامات موحدة بين جميع الأعداد.
  • العدد السالب أصغر من العدد الموجب، إذًا العدد 4/5- أصغر عدد.
  • نُقارن بين بسط العددين 7/5 و3/5، نجد أنّ 7 أكبر من 3.
  • وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 4/5- .

تدريبات على الترتيب التنازلي

وفيما يلي بعض التدريبات على الترتيب التنازلي للأعداد الكسرية:

رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 1/6-، 7/6-، 5/6-.

• الحل:
  • نُلاحظ أنّ جميع المقامات موحدة.
  • نقارن بين بسط كل عدد، نجد أنّ العدد 1- أكبر من 5- وأكبر من 7-.
  • وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 1/6- > 5/6- > 7/6-.

رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 7/6، 1/6، 9/2.

• الحل:
  • نوحد مقامات جميع الأعداد الكسرية.
  • نجد المضاعف المشترك الأصغر بين جميع الأعداد.
  • مضاعفات العدد 2 هي: 2، 4، 6، ..
  • مضاعفات العدد 6 هي: 6، 12، ..
  • نُلاحظ أن أصغر مضاعف مشترك بين الأعداد هو 6.
  • نحتفظ بالعددين الكسريين 7/6 و1/6، ونضرب بسط ومقام العدد 9/2 بالرقم 3؛ ليساوي مقامه الرقم 6، فيُصبح 27/6.
  • تُصبح الأعداد بعد توحيد المقامات: 7/6، 1/6، 27/6.
  • نقارن بين البسط نجد أنّ العدد 27 أكبر من 7 أكبر ومن 1.
  • وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 9/2 > 7/6 > 1/6.

تُرتب الأعداد الكسرية ترتيبًا تصاعديًا أي من الأصغر للأكبر، وترتيبًا تنازليًا أي من الأكبر للأصغر بعد توحيد مقامات جميع أعدادها بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينها، ثم مقارنة قيمة بسط كل عدد، والعدد ذو البسط الأكبر هو العدد الأكبر.