الخصائص العامة للمثلثات
يُمكن تعريف المثلث (بالإنجليزية: Triangle) على أنّه مُضّلع له ثلاثة أضلاع، وثلاث زوايا، وثلاث رؤوس، ويُمكن تلخيص أهمّ خصائص المُثلث العامّة على النحو الآتي:
- مجموع زوايا المُثلث الثلاثة يساوي 180 درجة.
- مجموع طول أيّ ضلعين من أضلاع المُثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
- الفرق بين طول أيّ ضلعين من أضلاع المُثلث أقلّ من طول الضلع الثالث.
- الضلع المُقابل للزاوية الكبرى في المُثلث هو الضلع الأطول.
- الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليّتين البعيدتين، وتُعرف هذه الخاصية باسم (خاصية الزاوية الخارجية).
- يتشابه المثلثان إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل من المثلثين مُتطابقة وأطوال أضلاعهما مُتناسبة.
- قانون مساحة المثلث ومحيط المثلث هما النحو الآتي:
- مساحة المثلث=½×القاعدة×الارتفاع.
- محيط المثلث =مجموع جميع أضلاعه الثلاثة.
- يُعرف المُثلث الذي يكون قياس جميع زواياه أقل من 90 درجة بالمُثلث حادّ الزوايا (بالإنجليزية: Acute angle triangle).
- يُعرف المُثلث الذي يمتلك زاوية واحدة قياسها أكبر من 90 درجة بالمُثلث مُنفرج الزاوية (بالإنجليزية: Obtuse angle triangle).
لمزيد من المعلومات حول المثلثات يُمكنك قراءة المقالات الآتية: بحث رياضيات عن المثلثات ، بحث عن تشابه المثلثات ، انواع المثلثات ، حساب زوايا المثلث .
لمزيد من المعلومات حول كيفية حساب مساحة ومحيط المثلث يُمكنك قراءة المقالات الآتية: كيف أحسب مساحة المثلث ، قانون محيط المثلث
خصائص متوسط المثلث
يُعرف خطّ المتوسط للمُثلث (بالإنجليزية: Median of Triangle) على أنّه الخطّ المُمتد من إحدى الزوايا إلى مُنتصف الضلع الذي يقابلها، وللخط المتوسط عدّة خصائص منها ما يأتي:
- يُنصّف المتوسط زاوية الرأس المحصورة بين ضلعين متساويين إلى زاويتين متساويتين تماماً في كلٍّ من المثلث متساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع.
- يمتلك المثلث 3 خطوط متوسطة تتقاطع في نقطة تُسمّى بالنقطة المركزيّة (بالإنجليزية: Centroid)، تقسم كل خطّ متوسط من الخطوط المتوسطة الثلاث بنسبة 2:1.
- يُنصّف كل متوسط المثلث إلى مثلثين متساويين بالمساحة.
- يُمكن حساب طول المتوسط عن طريق نظرية أبولونيوس:
- م أ=((2بَ² 2جَ²-أَ²)÷4)√، أو م ب=((2أَ² 2جَ²-بَ²)÷4)√، أو م ج=((2بَ² 2أَ²-جَ²)÷4)√؛ حيث:
- م أ: طول خط المتوسط النازل من الرأس أ، أَ: طول الضلع المقابل للرأس أ.
- م ب: طول خط المتوسط النازل من الرأس ب، بَ: طول الضلع المقابل للرأس ب.
- م ج: طول خط المتوسط النازل من الرأس ج، جَ: طول الضلع المقابل للرأس ج.
خصائص ارتفاع المثلث
يُعرّف الارتفاع (بالإنجليزية: Altitude) على أّنه العمود الممتد من رأس المثلث إلى الضلع المقابل له، والذي يُسمّى بالقاعدة، وللارتفاع عدّة خصائص منها ما يأتي:
- ارتفاع المثلث قد يقع داخله أو خارجه.
- لكل مثلث 3 ارتفاعات محتملة، واحد ممتد من كل رأس.
- الارتفاع هو أقصر مسافة من الرأس إلى الضلع المقابل له في المثلث.
- تلتقي الارتفاعات الثلاثة دائماً في نقطة واحدة بغض النظر عن شكل المثلث تُسمّى بملتقى الارتفاعات (بالإنجليزية: Ortho-centre of the triangle).
خصائص المثلث قائم الزاوية
يُمكن تعريف المثلث قائم الزاوية (بالإنجليزية: Right-angle triangle) على أنه المثلث الذي يمتلك زاوية قائمة قياسها 90 درجة، وتكون باقي زواياه حادّة، ويُسمّى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر (بالإنجليزية: Hypotenuse) وهو أطول ضلع من أضلاع المثلث، ويُمكن حساب طوله باستخدام نظرية فيثاغورس، حيث يساوي مربع طول الوتر مجموع مربع كل ضلع من أضلاع المثلث الأخرى: (الوتر)²=(الضلع الأول)² (الضلع الثاني)²، وبالرموز: أ²=ب² ج²؛ حيث:
- أ: طول وتر المثلث قائم الزاوية.
- ب، ج: أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية الأخرى.
وللمثلث قائم الزاوية عدّة خصائص يُمكن تلخيصها على النحو الآتي:
- يُمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية متساوي الساقين إذا تساوى طول الضلعين اللذين يحصران الزاوية القائمة بينهما.
- لا يُمكن للمثلث قائم الزاوية أن يكون متساوي الأضلاع؛ لأن طول الوتر دائماً أكبر من أطوال الأضلاع الأخرى.
- يُنصّف المتوسط الممتد من الوتر المثلث قائم الزاوية إلى مثلثين متطابقين يكون كلّ منها متساوي الساقين.
- يكون طول المتوسط المرسوم من الزاوية القائمة مساوياً لطول نصف الوتر.
- يملك المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين زاوية قائمة وزاويتين حادّتين قياس كلّ منهما 45 درجة، ويكون طول الضلعين الآخرين فيه متساوياً.
- يمنلك المثلث قائم الزاوية ومختلف الأضلاع زاوية قائمة وزاويتين حادّتين قياس كلّ منهما مختلف عن الآخر، وتكون أطوال الأضلاع مختلفة أيضاً.
لمزيد من المعلومات حول المثلث قائم الزاوية يُمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون المثلث قائم الزاوية ، قانون مساحة المثلث قائم الزاوية ، كيفية حساب محيط المثلث القائم ، كيفية حساب أضلاع المثلث القائم .
خصائص المثلث متساوي الأضلاع
يُمكن تعريف المثلث متساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral triangle) على أنه المثلث الذي تكون أضلاعه الثلاثة متساوية في الطول، وبالتالي ينتج أن جميع زواياه الداخليّة أيضاً متساوية في القياس، ويبلغ قياس كلّ منها 60 درجة، وللمثلث متساوي الأضلاع عدّة خصائص يُمكن تلخيصها على النحو الآتي:
- يكون كلّ من الارتفاع، وخط المتوسط، ومُنصّف الزاوية، والمُنصّف العمودي لكل ضلع من الأضلاع وزاوية من الزوايا هو الخط نفسه، ويكون طولها متساوياً لجميع الأضلاع، ويساوي: (3√×س)÷2؛ حيث س: طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع، وعليه تكون أطوال خط المتوسط الثلاثة في المثلث متساوي الأضلاع دائماً متساوية.
لمزيد من المعلومات حول المثلث متساوي الأضلاع يُمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع .
خصائص المثلث متساوي الساقين
يُمكن تعريف المثلث متساوي الساقين (بالإنجليزية: Isosceles triangle) على أنه مثلث يتساوى طول ضلعين من أضلاعه، ويختلف الضلع الثالث في الطول عنهما، ويكون قياس الزاويتين المقابلتين للأضلاع المتساوية في الطول متساوياً في القياس (زوايا القاعدة)، وللمثلث متساوي الساقين عدّة خصائص يُمكن تلخيصها على النحو الآتي:
- تكون قاعدة المثلث متساوي الساقين هي الضلع الثالث الذي لا يساوي طوله طول الضلعيين الآخرين.
- يُنصّف الارتفاع المُمتد من رأس المثلث متساوي الساقين القاعدة إلى قسمين متساويين، و يُنصّف زاوية الرأس إلى قسمين متساويين أيضاً.
- يُنصّف الارتفاع المُمتد من رأس المثلث متساوي الساقين المثلث إلى مثلثين متطابقين قائمي الزاوية.
- الارتفاع في المثلث متساوي الساقين هو نفسه الخط المتوسط.
- يتساوى طول خطوط المتوسط المرسومة من الزوايا المتساوية في المثلث متساوي الساقين.
لمزيد من المعلومات حول المثلث متساوي الساقين يُمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص المثلث متساوي الساقين ، قانون محيط المثلث متساوي الساقين ، قانون مساحة المثلث متساوي الساقين .
خصائص المثلث مختلف الأضلاع
يُمكن تعريف المثلث مختلف الأضلاع (بالإننجليزية: Scalene triangle) على أنه مثلث تختلف أطوال أضلاعه الثلاثة وقياس زواياه عن بعضها البعض، وللمثلث مختلف عدّة خصائص يُمكن تلخيصها على النحو الآتي:
- لا يمتلك المثلث مختلف الأضلاع أضلاعاً متساويةً في الطول.
- لا يمتلك المثلث مختلف الأضلاع زوايا متساوية في القياس.
- يُمكن أن تكون زوايا المثلث مختلف الأضلاع حادّة، أو منفرجة، أو قائمة.
- لا يمتلك المثلث مختلف الأضلاع خط تناظر.
- لا يمتلك المثلث مختلف الأضلاع نقطة تماثل.
- تكون أطوال خط المتوسط الثلاثة في المثلث مختلف الأضلاع دائماً مختلفة.
أمثلة متنوعة على خصائص المثلث
- المثال الأول: إذا كان المثلث أب ج مثلث قائم الزاوية في ج، وكانت د نقطة على الوتر أب، وكان ج د يُعامد أب، وقياس الزاوية دأج=°65، فما هو قياس كلّ من الزاويا: أج د، أب ج؟الحل:
- مجموع زوايا المثلث ∆أج د=180، ومنه ∠أد ج ∠دأج ∠أج د=180، 90 65 ∠أج د=180، ومنه ∠أج د=°25.
- بما أن أج يُعامد أج فإن الزاوية أج ب=90 درجة، وهي تساوي ∠ب ج د ∠أج د، ومنه: ∠ب ج د ∠25=90، ومنه ∠ب ج د=°65.
- مجموع زوايا المثلث ∆ب دج=180، ومنه ∠ج ب د ∠ب دج ∠ ب ج د=180، ∠ج ب د 90 65=180، ومنه ∠ج ب د=°25، والزاويتان ∠أب ج=∠ج ب د=°25.
- المثال الثاني: إذا كان المثلث أب ج مثلث متساوي الساقين حيث أب=أج، وكان قياس الزاوية أ=100°، ما هو قياس الزاوية ج؟الحل:
- بما أن المثلث أب ج مثلث متساوي الساقين فقياس الزاويتين ⦣ب=⦣ ج.
- مجموع زوايا المثلث ∆أب ج=180، ومنه ∠أ ∠ب ∠ج=180، 100 ⦣ ج ⦣ ج =180، ومنه 100 2×⦣ ج=180، ومنه ⦣ ج=(180-100)÷2، ومنه ⦣ ج=°40.
- وبما ان ⦣ب=⦣ ج بالتالي قياس ⦣ب=°40.
- المثال الثالث: هل من الممكن أن يكون هناك مثلث أطوال أضلاعه هي: 5 سم، 6 سم، 4 سم؟الحل:
- إذا كان مجموع أطوال أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث، فإن هذه الأضلاع تشكّل مثلثاً، وعليه: 5 6>4، 5 4>6، 4 6>5، إذن يُمكن أن لهذه الأضلاع أن تشكّل مثلثاً.
- المثال الرابع: تم تقصير أطوال أضلاع مثلث متساوي الأضلاع ليقل كل ضلع منها في طوله: 12سم، 13سم، 14سم، على الترتيب، وعليه أصبح هذا المثلث قائم الزاوية، جد طول كل ضلع من الأضلاع قبل تقصيرها؟الحل:
- نفترض أن س هو طول الأضلاع قبل تقصيرها، وعليه يكون طول أضلاع المثلث الأصلي بعد التقصير: (س-12)، (س-13)، (س-14).
- بما أنه تشكّل لدينا مثلث قائم الزاوية بعد تقصير الأضلاع، فإنه وبعد افتراض أن الضلع (س-12) هو الوتر؛ لأنه أطول الأضلاع، يمكن التعويض في نظريّة فيثاغورس لينتج أن: أ²=ب² ج²، (س-12)²= (س-14)² (س-13)²، ومنه س²-24س 144= (س²-28س 196) ( س²-26س 169)، وبجمع الحدود المتشابهة ينتج أن: س²-30س 221، ومنه ينتج (س-13)(س-17)=0، وعليه قيمة س=17؛ لأنه لا يُمكن لاحد الأضلاع أن يكون سالباً، وذلك عند تعويض القيم فيما بعد.
- تعويض قيمة (س) للحصول على أطوال الأضلاع لينتج أن:
- س-12= 17-12 = 5سم.
- س-13 = 17-13 =4سم.
- س-14= 17-14 = 3سم.
- المثال الخامس: هل يُمكن أن لزوايا مثلث أن يكون قياسها 90°، 60°، 30°؟الحل:
- يجب أن يكون مجموع زوايا المثلث=180، فبجمع زوايا المثلث 90 60 30 ينتج أن مجموعها يساوي 180°، بالتالي يُمكن للمثلث أن يمتلك هذه الزوايا.
- المثال السادس: مثلث زاويته الثانية أكبر بمقدار 5 درجات من الزاوية الأولى، والزاوية الثالثة أكبر بمقدار 5 درجات من الزاوية الثانية ما هو قياس الزوايا الثلاث؟الحل:
- نفرض أن قياس الزاوية الأولى=س، وقياس الزاوية الثانية=س 5، وقياس الزاوية الثالثة=5 (س 5)=س 10.
- مجموع زوايا المثلث =180، وبالتالي: س (س 5) (س 10)=180، ومنه 3س 15=180، وبالتالي س=(180-15)÷3، فينتج أن قياس الزاوية الأولى س=55.
- تعويض قيمة س لإيجاد قياس باقي الزوايا، قياس الزاوية الثانية=س 5=55 5=60، وقياس الزاوية الثالثة= س 10=55 10=65، بالتالي ينتج أن قياس الزوايا هو: (55°، 60°، 65°).
- المثال السابع: إذا كان قياس زوايا مثلث هي ثلاثة اعداد صحيحة موجبة متتالية، ما هو قياس هذه الزوايا؟الحل:
- نفرض أن قياس الزاوية الأولى=س، وقياس الزاوية الثانية=س 1، وقياس الزاوية الثالثة=س 2.
- مجموع زوايا المثلث =180، وعليه: س (س 1) (س 2)=180، ومنه: 3س 3=180، بالتالي س=(180-3)÷3، فينتج أن قياس الزاوية الأولى س=59.
- تعويض قيمة س لإيجاد قياس باقي الزوايا، قياس الزاوية الثانية=س 1=59 1=60، وقياس الزاوية الثالثة=س 2=59 2=61، بالتالي ينتج أن قياس الزوايا هو: (59°، 60°، 61°).
- المثال الثامن: مثلث قائم الزاوية قياس زواياه غير القائمتين هو: س 1، 2س 5، ما هو قياس هذه الزوايا بالدرجات؟الحل:
- مجموع زوايا المثلث =180، وعليه: 90 (س 1) (2س 5)=180، ومنه 3س 96=180، وبالتالي س=(180-96)÷3، فينتج أن قيمة س=28.
- تعويض قيمة س لإيجاد قياس الزوايا، وعليه قياس الزاوية الثانية=س 1=28 1=29، وقياس الزاوية الثالثة=2س 5=(2×28) 5=61، وبالتالي ينتج أن قياس الزوايا الأخرى هو: (29°، 61°).
