تعريف الخط المستقيم

تعريف الخط المستقيم

يمكن تعريف الخط المستقيم (بالإنجليزية: Straight Line) بأنه عبارة عن شكل هندسي مستقيم تماماً وغير منحنٍ، وليس له سُمك، وله بعد واحد فقط، ويمكن أن يمتد في أيٍّ من الاتجاهات إلى المالانهاية، ويتميز بأن له ميل ثابت، وتجدر الإشارة بأن الخط المستقيم يمثّل دائماً أقصر مسافة بين أي نقطتين، وهناك عدة أنواع من الخطوط، وذلك كما يلي:

• الخطوط العمودية: (بالإنجليزية: Vertical Straight Lines) هي الخطوط التي تمتد بشكل عمودي إما للأعلى، أو للأسفل.
• الخطوط الأفقية: (بالإنجليزية: Horizontal Straight Lines) هي الخطوط التي تمتد بشكل أفقي إما لليسار، أو لليمين.
• الخطوط المتوازية: (بالإنجليزية: Parallel Straight Lines) هي الخطوط التي تبتعد عن بعضها البعض نفس المسافة عند جميع النقاط، ويكون لها نفس الميل، ولا يمكن أن تتقاطع أبداً.
• الخطوط المتعامدة: (بالإنجليزية: Perpendicular Straight Lines) هي الخطوط التي تتقاطع مع بعضها البعض بشكل عمودي، وينتج عن هذا التقاطع أربع زوايا قائمة.
• الخطوط المائلة: (بالإنجليزية: Slanted Straight Lines) وهي التي تصنع زاوية غير قائمة مع الخط الأفقي تماماً.

خصائص الخط المستقيم

هناك عدة خصائص للخط المستقيم، ومنها:

• له بعد واحد فقط.
• يمكن أن يكون أفقياً، أو عمودياً، أو قطرياً؛ أي مائلاً.
• جميع الزوايا التي تقع على الخط المستقيم مجموعها 180 درجة.
• يمكن لأطراف أي خط مستقيم أن تمتد إلى المالانهاية من الاتجاهين؛ وفي الرياضيات والهندسة يتم التعامل عادة مع أجزاء من الخطوط المستقيمة، وهي:
  • القطعة المستقيمة: وهي تشكّل جزءاً محدداً له بداية ونهاية من الخط المستقيم اللانهائي.
  • الأشعة المستقيمة: وهي عبارة عن قطعة مستقيمة تبدأ من نقطة محددة على الخط المسقيم ثم تمتد إلى المالانهاية.
• تكون الخطوط المستقيمة متوازية في الحالتين الآتيتين:
  • الحالة الأولى: خطان مستقيمان معادلة الأول: ص = أس ب، ومعادلة الثاني: ص = دس جـ، فإذا كانت قيمة أ = د يكون الخطان متوازيين؛ فالخطوط المتوازية تكون متساوية في الميل.
  • الحالة الثانية: خطان مستقيمان معادلة الأول: ص = أس ب ص جـ، ومعادلة الثاني ص = د س ل ص ع، فإذا كانت قيمة (أ/ د) = قيمة (ب/ ل) يكون الخطان متوازيين.
• تكون الخطوط المستقيمة متعامدة في الحالتين الآتيتين:
  • الحالة الأولى: خطان مستقيمان معادلة الأول: ص = أس ب، ومعادلة الثاني: ص = دس جـ، فإذا كانت قيمة أ×د= -1؛ يكون الخطان متعامدين.
  • الحالة الثانية: خطان مستقيمان معادلة الأول: ص = أس ب ص جـ، ومعادلة الثاني: ص = د س ل ص ع، فإذا كانت قيمة (أ×د) (ب×ل)=0 يكون الخطان متعامدين.

رسم وتسمية الخط المستقيم

يمكن تسمية الخط المستقيم عن طريق تسمية أية نقطتين واقعتين عليه؛ بحيث تكون النقطة الأولى في بداية الخط المستقيم، والنقطة الثانية في نهايته، وتكون التسمية من اليمين إلى اليسار في العربية، ومن اليسار لليمين بالإنجليزية؛ فمثلاً يمكن تسمية المستقيم بالمستقيم (أ ب)، أو المستقيم (جـ د)، أو أية تسمية أخرى، ولرسم أي خط مستقيم فإننا نحتاج إلى اتباع الخطوات البسيطة الآتية:

• رسم نقطتين على الورقة مع ترك مسافة فاصلة بينهما.
• استخدام القلم والمسطرة لرسم خط مستقيم يصل بينهما.
• مد الخط باستقامة من النقطتين ورسم سهمين على نهايتيه.

معادلة الخط المستقيم

تُعرف معادلة الخط المستقيم (بالإنجليزية: Straight Line Equation) بالمعادلة الخطية، وتعتبر من المعادلات الرياضية الأساسية التي تستخدم بشكل كبير سواء في علم الرياضيات، أو العلوم الأخرى؛ ففي علم الرياضيات يتم عادة تحويل المعادلات الرياضية غير الخطية التي يصعب فهمها إلى معادلات خطية حتى يصبح من السهل فهمها، والتعامل معها، وتصف المعادلة الخطية بشكل عام العلاقة بين المتغيرين س، وص؛ بحيث ينطبق ذلك على جميع النقاط الواقعة على الخط المستقيم، والصورة العامة لها هي:

• أس ب ص جـ = 0، حيث إن: أ، ب، جـ هي قيم ثابتة.

أشكال معادلة الخط المستقيم

هناك عدة أشكال لمعادلة الخط المستقيم بيانها على النحو الآتي:

• المعادلة التي تمثل العلاقة بين الميل، والإحداثي الصادي، وهي:
  • ص = م س ب، حيث:
    • م: هو ميل الخط المستقيم، ويساوي ظاα؛ حيث α: هي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم، ومحور السينات الموجب.
    • ب: هو المقطع الصادي وهو قيمة ص عندما س تساوي صفر، أي عندما يقطع الخط المستقيم محور الصادات.

• معادلة الخط المستقيم الموازي لمحور السينات: هو الخط المستقيم الذي يكون أفقياً بحيث يقطع محور الصادات، ويوازي محور السينات ولا يقطعه أبداً، ومعادلته هي:
  • ص = ب؛ حيث:
    • ب: هي النقطة التي يقطع عندها المستقيم محور الصادات.

• معادلة الخط المستقيم الموازي لمحور الصادات: هو الخط المستقيم الذي يكون عمودياً بحيث يقطع محور السينات، ويوازي محور الصادات ولا يقطعه أبداً، ومعادلته هي:
  • س = أ؛ حيث:
    • أ هي النقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم محور السينات.

• معادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل: معادلة الخط المستقيم هي: ص= م س ب كما ذُكر سابقاً؛ وعند مرور الخط المستقيم بنقطة الأصل فإن قيمة ب تكون مساوية لصفر؛ لأن الخط المستقيم لا يقطع محور الصادات أبداً، وبالتالي فإن معادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل هي:
  • ص =م س؛ حيث:
    • م: هو ميل الخط المستقيم، وكلما كانت قيمة الميل أكبر فإن الخط المستقيم يكون أقرب إلى محور الصادات، وكلما كانت أقل فإنه يكون أقرب إلى محور السينات.

• مثال: مستقيم مار بنقطة الأصل ومعادلته ص= 4س؛ فهذا يعني أن قيمة ص تساوي أربعة أضعاف قيمة س، فمثلاً إذا كانت قيمة س= 3، فإن قيمة ص= 4×3= 12، وبالتالي فإن النقطة (12،3) تقع عليه، والأمر نفسه ينطبق على جميع النقاط الواقعة عليه، وميل هذا المستقيم هو 4.

لمزيد من المعلومات حول معادلة الخط المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هي معادلة الخط المستقيم .

كتابة معادلة الخط المستقيم

يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم بعدة طرق بناء على المعلومات المُعطاة عن الخط المستقيم، وذلك كما يلي:

• معادلة الخط المستقيم الذي يعرف ميله، ونقطة واقعة عليه:
  • ص = ص1 م×(س-س1)، حيث:
    • م: هو ميل الخط المستقيم
    • (س1، ص1): هي نقطة تقع على الخط المستقيم.

• معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين، وهي:
  • (ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)، حيث:
    • (س1، ص1)، و(س2، ص2) هما نقطتان تقعان على الخط المستقيم المراد إيجاد ميله.

وقد تم اشتقاق المعادلة السابقة من معادلة الخط المستقيم الذي يُعرف ميله، ونقطة واقعة عليه، وذلك كما يلي:

• ص-ص1 = م×(س - س1)، وبما أن الميل (م) = ص2 - ص1/س2 - س1، وبتعويض هذه القيمة للميل في المعادلة، ينتج أن:
  • ص-ص1 = [(ص2-ص1) / (س2-س1)] × (س-س1)، وبترتيب المعادلة ينتج أن:
  • (ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)

• مثال: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (1، -2)، و(-3، 0)؟
  • الحل:
    • معادلة الخط المستقيم: (ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)، وبالتعويض في هذه المعادلة فإن:
    • (ص-(-2)) / (0-(-2)) = (س-1) / (-3-1)، ومنه: (ص 2)/2 = (س-1) /-4، وبضرب الطرفين بـ (2) ينتج أن: ص 2 = (س-1)/-2، وبضرب الطرفين بـ (-2) ينتج أن:
    • -2ص-4 = س-1، وبجمع (4) للطرفين: -2ص = س 3، وبقسمة المعادلة على (-2) ينتج أن معادلة الخط المستقيم:
    • ص = -(1/2)س - (3/2).

ميل الخط المستقيم

يمكن إيجاد ميل الخط المستقيم باستخدام العلاقة الآتية:

• ميل الخط المستقيم = ظاα = (ص2-ص1) / (س2-س1)، ويُلاحظ من هذه العلاقة أنه لحساب الميل يجب معرفة أحد ما يلي:
  • نقطتان تقعان على الخط المستقيم؛ بحيث تمثل النقطة الأولى (س1، ص1)، والنقطة الثانية (س2، ص2)، أو:
  • الزاوية α، وهي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات.

ملاحظة: إذا كان الميل موجباً فإن الخط المستقيم يكون متزايداً أي يرتفع إلى الأعلى بالتوجه من اليسار لليمين، وإذا كانت قيمة الميل سالبة فإن الخط المستقيم يكون متناقصاً أي ينخفض نحو الأسفل بالتوجّه من اليسار لليمين.

• ما هو ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2،2)، (-3، -2)؟
  • يمكن افتراض أي من النقطتين لتكون (س1، ص1)، والنقطة الأخرى لتكون (س2، ص2)؛ فمثلاً يمكن افتراض أن: (س1، ص1) هي (-3، -2)، و(س2، ص2) هي (2،2)، ومنه:
  • الميل = (ص2-ص1) / (س2-س1)= (2-(-2)) / (2-(-3)) = (2 2) / (2 3) = 5/4.

لمزيد من المعلومات حول ميل الخط المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون ميل الخط المستقيم .

قوانين الخط المستقيم

هناك العديد من القوانين المتعلقة بالخط المستقيم، ومنها:

• حساب بعد نقطة عن الخط المستقيم: يمكن إيجاد بعد النقطة (س1، ص1) عن المستقيم الذي معادلته أس ب ص جـ= 0 باستخدام العلاقة الآتية:
  • بعد نقطة عن الخط المستقيم = |أ×س1 ب×ص1 جـ| / (أ² ب²)√، وتجدر الإشارة إلى أن هذا الرمز | | يعني قيمة مطلقة، وذلك لأنه لا يمكن للمسافة أن تكون سالبة.

• حساب الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين: يمكن حساب الزاوية المحصورة (ي) بين أي مستقيمين إذا كانت معادلة الأول: أس ب ص جـ = 0، ومعادلة الثاني: دس ل ص ع=0 باستخدام أحد القوانين الآتية:
  • ظا(ي) = (ميل المستقيم الثاني- ميل المستقيم الأول)/ (1 ميل المستقيم الأول×ميل المسقيم الثاني).
  • جتا(ي) = [(أ×د) (ب×ل)] / [(أ² ب²)√×(د² ل²)√].

• تحديد نقطة تقاطع الخطين المستقيمين: يمكن إيجاد نقطة تقاطع المستقيمين (س1، ص1) إذا كانت معادلة المستقيم الأول: ص = أس ب ص جـ، ومعادلة المستقيم الثاني: ص= د س ل ص ع، باستخدام العلاقة الآتية:
  • س1 = [(-جـ×ل) (ع×ب)] / [(أ×ل) - (د×ب)].
  • ص1= [(-أ×ع) (د×جـ)] / [(أ×ل) - (د×ب)].

يمكن بدلاً من استخدام العلاقة السابقة معرفة نقطة تقاطع المستقيمين من خلال مساواة المعادلتين ببعضهما، وإيجاد قيمة س، ثم التعويض في أي من المعادلتين لإيجاد قيمة ص، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

• مستقيمان معادلة الأول ص= 3س-3، ومعادلة الثاني ص = 2.3س 4، فما هي نقطة تقاطع المستقيمين؟
  • عند نقطة التقاطع تتساوى قيمة كل من س، وص في المستقيمين، وبالتالي: 3س-3 = 2.3س 4، وبجمع (3) للطرفين، وطرح (2.3س) ينتج أن: 3س-2.3س = 4 3، ومنه: 0.7س = 7، وبقسمة الطرفين على (0.7) ينتج أن: س= 10.
  • بتعويض قيمة س في أي من المعادلتين فإن: ص= (3×10)-3= 27.
  • وبالتالي فإن نقطة التقاطع هي: (10، 27).

• حساب المسافة بين خطين متوازيين: مستقيمان متوازيان معادلة الأول: أس ب ص جـ1=0، ومعادلة الثاني: أس ب ص جـ2=0 يمكن إيجاد البعد بينهما باستخدام العلاقة الآتية:
  • البعد بين المستقيمين المتوازيين = |جـ1- جـ2| / (ب² أ²).

ملاحظة: تم اشتقاق هذه العلاقة باستخدام قانون بعد نقطة عن خط مستقيم، حيث تم افتراض وجود نقطة على أحد المستقيمين، وحساب بعدها عن المستقيم الآخر.

أمثلة متنوعة حول الخطوط المستقيمة

• المثال الأول: ما هو الميل، والمقطع الصادي لكل من المعادلات الآتية: أ) ص = 3س 2، ب) ص = 5س - 2، جـ) ص = -2س 4؟
  • الحل: بما أن المعادلات جميعها على صورة ص = م س ب، فإن الميل هو معامل س، وهو: م، والمقطع الصادي هو ب، وذلك كما يلي:
  • ص= 3س 2: الميل يساوي 3، والمقطع الصادي 2.
  • ص= 5س-2: الميل يساوي 5، والمقطع الصادي -2.
  • ص= -2س 4: الميل يساوي -2، والمقطع الصادي 4.

• المثال الثاني: إذا كانت الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم ص= م س ب، فما هي معادلة كل من الخطوط المستقيمة الآتية: أ) خط مستقيم ميله 5، ومقطعه الصادي 3. ب) خط مستقيم ميله 3، ويمر بالنقطة (0،0). جـ) خط مستقيم ميله (1/3)، ويمر بالنقطة (0، 1)؟
  • الحل:
    • أ) ص= 5س 3.
    • ب) ص= 3س، وذلك لأن معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل هي م×س؛ حيث م تمثل الميل.
    • جـ) ص= (1/3)س 1، وذلك لأن المقطع الصادي هو قيمة ص عندما س تساوي صفر، وبالتالي فإن المقطع الصادي في هذه الحالة 1.

• المثال الثالث: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي ميله 1/3، ويمر بالنقطة (1، 2)؟
  • الحل: معادلة الخط المستقيم الذي يًعرف ميله، ونقطة واقعة عليه: ص-ص1 = م×(س-س1)، وبالتعويض فيها ينتج أن:
    • ص-2 = 1/3×(س-1)، وبفك الأقواس وجمع (2) للطرفين ينتج أن: ص= 1/3س 5/3.

• المثال الرابع: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (4، -2) و (-1، 3)؟
  • الحل:
  • معادلة الخط المستقيم ص= م س ب، حيث م هو ميل الخط المستقيم، وب هو المقطع الصادي.
    • لحساب الميل (م) يمكن استخدام القانون الآتي: م= (ص2-ص1)/(س2-س1) = (3-(-2))/(-1-4)= -1.
    • إيجاد قيمة ب، وذلك بتعويض أي من النقطتين في المعادلة، فمثلاً بتعويض النقطة (4، -2) فإن:
    • ص= م س ب، ومنه: -2=(-1)×(4) ب، ومنه: ب= 2.
  • وبالتالي فإن معادلة الخط المستقيم: ص= -س 2.

• المثال الخامس:خطان متوازيان معادلة الأول 3س-أ ص-1 = 0، ومعادلة الثاني (أ 2)س -ص 3=0، فما هي قيمة أ؟
  • الحل:
  • يمكن إيجاد ميل كل من المستقيمين كما يلي:
    • الميل للمستقيم الأول: 3س- أص-1=0 يساوي (3/أ).
    • الميل للمستقيم الثاني: (أ 2)س-ص 3=0 يساوي (أ 2).
  • عندما يكون الخطان متوازيان فإن الميل يكون متساوياً لكل من الخطين، وبالتالي:
    • أ 2 = 3/أ، وبضرب الطرفين بـ (أ)، وطرح (3) من الطرفين ينتج أن: أ² 2×أ-3=0، وبحل هذه المعادلة التربيعية (أ-1)(أ 3)=0 ينتج أن هناك قيمتان لـ أ، وهما: أ=1، و أ= 3-.

• المثال السادس: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يوازي المستقيم الذي معادلته 3س-4ص 2 = 0، ويمر بالنقطة (-2، 3)؟
  • الحل:
  • معادلة الخط المستقيم الموازي للمستقيم 3س-4ص 2=0، هي: 3س-4ص ل=0، ولإيجاد قيمة ل يمكن تعويض النقطة (-2،3) في المعادلة كما يلي:
    • (3×-2)-(4×3) ل=0، وبحل هذه المعادلة فإن: ل= 18.
  • وبالتالي فإن معادلة هذا الخط المستقيم هي: 3س-4ص 18=0.

• المثال السابع: هل المعادلة الآتية تمثّل معادلة خط مستقيم ص= 5-2/س؟
  • الحل:
    • لا يمكن بأي شكل كتابة هذه المعادلة على الصورة ص=أس ب، وبالتالي فهي ليست معادلة خط مستقيم، وفي الحقيقة هذه المعادلة للقطع الزائد.

• المثال الثامن: هل المعادلة الآتية تمثل معادلة خط مستقيم: 4س-2ص 7 =0؟
  • الحل: يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة وكتابتها على الصورة ص= أس ب كما يلي: ص=2س (7/2)، وبالتالي فهي معادلة خط مستقيم.
    • الميل لهذه المعادلة يساوي 2، والمقطع الصادي 7/2.

• المثال التاسع: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (1، 2)، و(3، 1)، وما هو ميله، ومقطعه الصادي؟
  • الحل:
  • معادلة الخط المستقيم: (س-س1) = م (ص-ص1)، حيث م هو الميل.
  • يمكن إيجاد الميل كما يلي:
    • الميل = (ص2-ص1)/ (س2-س1) = (2-1) / (1-3)= -2/1.
  • بتطبيق معادلة الخط المستقيم على النقطة (1، 2) فإن:
    • (ص-2)/(س-1) = -(2/1)، ومنه: ص = -س/2 (5/2).
    • من المعادلة فإن المقطع الصادي = 5/2، والميل = -2/1.

• المثال العاشر: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (1، 1)، و يتعامد مع المستقيم ص = -2س 2؟
  • الحل:
  • بما أن الخطان المستقيمان متعامدين فإنه يمكن إيجاد ميل المستقيم المراد معرفة معادلته كما يلي: حاصل ضرب ميلي الخطين المتعامدين= -1، ومنه: ميل المستقيم المطلوب = -2/-1 ويساوي 1/2.
  • تطبيق معادلة الخط المستقيم الذي يُعرف ميله، ونقطة تمر فيه كما يلي:
    • ص-ص1 = م(س-س1)، ومنه:
    • ص-1 = (2/1)(س -1)، ومنه:
    • ص = س/2 2/1.

• المثال الحادي عشر: ما هو البعد بين المستقيمين المتوازيين 5س 3ص 6=0، و 5س 3ص-6=0؟
  • الحل: بتطبيق قانون البعد بين المستقيمين فإن البعد بين المستقيمين المتوازيين= |جـ1- جـ2| / (ب² أ²)، وذلك كما يلي:
    • على اعتبار أن قيمة جـ1= 6، وقيمة جـ2= -6، وقيمة أ= 5، وقيمة ب= 3، فإن البعد = | 6-(-6)| / (5² 3²)
    • ومنه البعد بين هذين الخطين= 34√/12.

• المثال الثاني عشر: ما هو البعد بين المستقيم الذي معادلته س/5 ص/2 1= 0، والنقطة (2، 3)؟
  • الحل:
  • ضرب معادلة المستقيم بالعدد (10) للتخلص من الكسور، لتصبح: 2س 5ص 10=0، وبتطبيق قانون بعد نقطة عن خط مستقيم فإن:
    • بعد نقطة عن الخط المستقيم = |أ×س1 ب×ص1 جـ| / (أ² ب²)√، وعلى اعتبار أن: أ = 2، وب = 5، وجـ = 10، وس1= 2، وص1= 3، فإن بعد النقطة عن الخط المستقيم هو:
    • البعد = |2×2 5×3 10| / (2² 5²)√= 29√ وحدة.

• المثال الثالث عشر: إذا كانت إحداثيات النقطة أ (-2، 1)، والنقطة ب (2، 3)، والنقطة جـ (-2، -4)، فما هي الزاوية بين الخط المستقيم أ ب، والخط المستقيم ب جـ؟
  • الحل:
  • يمكن إيجاد ميل الخط المستقيم أب كما يلي، وسوف نرمز له بالرمز م(1):
    • م(1) = (3-1) / (2 -(-2)) = 2/4 = 1/2.
  • يمكن إيجاد ميل المستقيم الثاني ب جـ كما يلي، وسوف نرمز له بالرمز م(2):
    • م(2) = (-4-3) / (-2-2) = 7/4.
  • يمكن إيجاد الزاوية (θ) بين المستقيمين أب، وب جـ كما يلي:
    • ظا(ي) = (ميل المستقيم الثاني- ميل المستقيم الأول)/ (1 ميل المستقيم الأول× ميل المسقيم الثاني) = ((7/4)-(1/2)) / (1 (7/4)×(1/2))= 2/3، وبالتالي الزاوية بين المستقيمين= 33.7 درجة.