الفرق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة

المعادلات التفاضلية المتجانسة

نظام المعادلات المتجانسة الخطية هو النظام الذي يكون فيه الحد الثابت يساوي صفر كالآتي:

كما أنه عند حل المعادلة المتجانسة على الأقل يكون لها حل واحد، وتمثل المعادلة التفاضلية مساواة بين طرفين يحتويان على مقادير جبرية، وتسمى المعادلة تفاضلية عندما تحتوي على اقتران وإحدى مشتقاته، يتم حل المعادلات التفاضلية المتجانسة من خلال فصل المتغيرات ومن ثم استخدام التكامل من أجل الحصول على حل المعادلة الأخير.

المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية

تسمى المعادلة التفاضلية المتجانسة من الرتبة الثانية عندما تكون أعلى مشتقة بها، مشتقة من الدرجة الثانية، وهناك عدة أنواع للمعادلة الخطية المتجانسة من الرتبة الثانية ومن بينها المعادلات الخطية المتجانسة من الرتبة الثانية، والتي يتم استعمالها في قوانين علم الفيزياء كثيراً، ويمكن وصف المعادلة بشكل عام بالصورة التالية:

المعادلات التفاضلية غير المتجانسة

نظام المعادلات غير المتجانسة الخطية هو النظام الذي يكون فيه الاقتران الذي يختلف عن اقتران المعادلة الأصلي لا يساوي صفراً سواء أكانت المعادلة من الرتبة الأولى أو الثانية كالآتي:

الفرق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة

تختلف المعادلة التفاضلية المتجانسة عن المعادلة التفاضلية غير المتجانسة في أن أحد أطراف المساواة سواء على يمين المساواة أم يسارها يجب أن يساوي صفراً، أو بلغة أخرى الحد الثابت يجب أن يكون صفراً، أما بالنسبة للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة فإنه يجب تواجد اقتران غير صفري (لا يساوي صفراً) على يمين أو يسار المساواة.

بالإضافة إلى أنه عند حل المعادلة التفاضلية غير المتجانسة يكون حلها عبارة عن جزء من حل المعادلة المتجانسة بالإضافة إلى حل المعادلة غير المتجانسة.

تتكون المعادلة التفاضلية المتجانسة من مشتقات الاقتران y واحد يحتوي على المتغير y، ولكن ليس شرطاً أن تقتصر المعادلة على المتغير y، فمن الممكن أن تكون المعادلة بدلالة متغير آخر مثل x، ومثال على ذلك:

تتشابه المعادلة التفاضلية غير المتجانسة مع شكل المعادلة التفاضلية المتجانسة، ولكنها تختلف بوجود حد آخر يحتوي على متغير يختلف عن المتغير الموجود في مشتقات الاقتران ومثال على ذلك:

أهمية المعادلات التفاضلية في حياتنا

تأتي أهمية المعادلات التفاضلية من حيث استخدامها في مجالات الهندسة والفيزياء، حيث يتم معرفة كيفية دوران الكواكب ومن ذلك دوران كوكب الأرض حول الشمس ، بالإضافة إلى استخدامها في إشارات الهاتف الجوال.

يتعجب أغلب الطلاب من أهمية المعادلات التفاضلية عندما يعلمون أنّ صوت الأدوات الموسيقية والموجات التوافقية البسيطة يتم التعبير عنها من خلال تلك المعادلات، أو كيفية سير السيارة، وطوفان المركب فوق سطح الماء يتم دراسته من خلال المعادلات التفاضلية، كما أن التعبير عن عمليات الشراء وقياس الجينات و الأبحاث العلمية يتم دراستها من خلال تلك المعادلات.