الدالة التربيعية

الدالة التربيعية

الدالة التربيعية

الدالة التربيعية تعبير جبري متعدد الحدود ، ذات متغير واحد أو أكثر، يكون فيها الأس الأعلى للمتغير من الدرجة الثانية، ويمكن كتابتها بالصورة العامة كالتالي:

ق(س) = أ × س² ب ×س ج.

حيث تمثل الأعداد أ , ب , ج ثوابت المعادلة وهي أعداد حقيقية، وهنا أ لا تساوي صفرًا.

رأس الدالة التربيعية

شكل رأس الدالة التربيعية هو:

ص = أ × (س - هـ )2  ك

حيث تمثل أ , هـ , ك أعداد حقيقية و أ لا تساوي صفرًا .

حيث أن:

هـ = - (ب \ 2 أ )

ك = ق (هـ )

وإذا كانت إشارة أ موجبة فهو الحد الأدنى للرأس، وأما إذا كان سالبًا فهو أقصى قمة.

المجال والمدى للدالة التربيعية

مجال الدالة التربيعية هو قيم س التي تجعل الدالة محددة، ومدى الدالة التربيعية هو قيم ص التي تحققها الدالة عن طريق تعويض قيم س المختلفة.

وبتوضيح أكثر فالمجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ح ويمكن كتابتها بالصورة (-∞، ∞)، أما مدى الدالة التربيعية فهو يعتمد على جوانب المنحنى ورأسه، لذلك نبحث عن قيم ق (س) الأدنى و الأعلى في الرسم البياني .

طرق حل الدالة التربيعية

هناك ثلاثة طرق لحل المعادلة التربيعية وهي؛ عن طريق التحليل أو باستخدام القانون العام أو بإكمال المربع، والجدير بالذكر أن الدالة التربيعية لها جذور قد تكون هذه الجذور حقيقية أو خيالية، وفيما يلي تفصيل لتلك الطرق:

طريقة التحليل

وبهذه الطريقة يتم وضع جميع الحدود من جانب واحد وترك الصفر بعد إشارة المساواة من الجانب الاخر، ثم تحليل المعادلة إلى عواملها، ثم حل المعادلة.

مثال: حل المعادلة التالية س² - 6 س = 16

الحل:

  1. ضع جميع الحدود من جانب واحد واترك الصفر في الجانب الآخر بعد إشارة المساواة لتصبح المعادلة بالشكل التالي: س² - 6 س - 16 = 0
  2. حلل الدالة التربيعية إلى العوامل: (س -8) (س 2) = 0
  3. حل كل عامل لوحده عن طريق مساواته بالصفر: (س - 8 )= 0 أو ( س 2 )= 0
  4. ومنه؛ س = 8، وس = - 2
  5. يتم التحقق من الحلول بتعويضها في المعادلة الاصلية، وبالتالي (8 , -2) تعتبر حلولًا للدالة التربيعية س² - 6 س = 16.

باستخدام القانون العام

نلجأ إلى استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية س = ((- ب) ± (ب×2 - 4 ×أ × ج)1/2)) / (2 × أ)، وذلك عندما تكون جذور المعادلة أرقام غير منطقية، وهنا الثوابت ,أ , ب ,ج، أرقامًا مأخوذة من المعادلة التربيعية في شكلها أ × س² ب× س ج = 0.

ومن الضروري أيضًا الانتباه إلى المميز (ب×2 - 4 ×أ × ج)1/2) اذا كان يساوي صفرًا، فهناك جذر حقيقي واحد، أما إذا كان موجبًا فهناك جذرين حقيقين مختلفين، وأما إذا كان سالبًا فلا يوجد جذر حقيقي.

مثال: حل المعادلة التربيعية : س² - 5 س = - 6.

الحل:

  1. ضع كافة المتغيرات في جابب واحد وساويها بالصفر: س² - 5 س- 6 = 0
  2. استخدم القانون العام: س = ((- ب) ± (ب×2 - 4 ×أ × ج)1/2)) / (2 × أ).
  3. س = ((-5) ± ( 5 × 2 - 4 × (1) × 6)1/2) \ (2 × (1))
  4. س = (5 ± 1) \ 2
  5. ومنه؛ س =3 أو س = 2.
  6. وبالتالي 3 ,2 تعتبران حلًا للمعادلة التربيعية، وهنا يجب الانتباه إلى أن المميز موجبًا، لذا كان هناك حلان للدالة التربيعية.

بطريقة إكمال المربع 

لحل المعادلات التربيعية التي تعمل مع الجذور الحقيقية والخيالية بطريقة إكمال المربع نتبع الخطوات الآتية:
  1. وضع المعادلة بصورة : أ × س² ب×س = - ج
  2. التأكد هنا بأن معامل س² هو 1، وإذا لم يكن كذلك نقوم بضرب طرفي المعادلة ب( 1\ أ ) قبل البدء بالحل.
  3. إضافة ( ب \ 2 )² لطرفي المعادلة لتكوين مربع كامل.
  4. إيجاد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.
  5. حل المعادلة.

مثال: حل الدالة التربيعية التالية : س² - 6 س 5 =0

الحل:

  1. ضع الدالة التربيعية بصورة: س² - 6 س = - 5
  2. تأكد من أن معامل س² هو 1.
  3. أضف قيمة (ب /2 )² إلى طرفي المعادلة وهو تربيع (-6 /2) أي 9.
    1. س² - 6 س 9= - 5 9
    2. س² - 6 س 9=4
    3. (س -3 ) ² = 4
  1. خذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين: س - 3 = ± 2
  2. حل المعادلة: (س - 3 ) = - 2 أو (س - 3) = 2
  3. ومنه؛ س = 5/ س = 1
  4. 5 , 1 تمثل حلولًا للدالة التربيعية.
2023-12-1438تعليم
مزيد من المشاركات
مدينة بغداد

مدينة بغداد

معلومات حول مدينة بغداد تُعد مدينة بغداد (بالإنجليزية: Baghdad city) العاصمة الرسميّة لجمهورية العراق، و كلمة بغداد كلمة مركبة فارسية الأصل، تشمل المقطع (Bag)، والذي يعني الإله، والمقطع (dād) الذي يعني الهِبة والعطية، والاسم المركب يعني (هبة أو عطية من الله)، كما كان يُطلق عليها قديمًا اسم مدينة السلام، وفيما يأتي معلومات أكثر عنها: الموقع والمساحة يُعد موقع بغداد إستراتيجيًا، حيث تقع في وسط العراق على نهر دجلة على بُعد 40 كم من نهر الفرات، وعلى بُعد حوالي 530 كم من منابع الخليج العربي، في
منحة البطالة في فرنسا

منحة البطالة في فرنسا

منحة البطالة في فرنسا هي عبارة عن راتب مؤقت مقدم من طرف الحكومة الفرنسية للأشخاص الذين فقدوا عملهم تحت ظروف معينة، وهي جزء من الضمان الاجتماعي الفرنسي، ويستفيد حوالي 8 ملايين موظف من هذه المنحة، وتتكفل الدولة بما يُقارب 95% من الرواتب والمبلغ المتبقي يتكفل به صاحب العمل، ويتم توزيع هذه المنحة عن طريق جهة مستقلة ممثلة في اتحادات العمال، وتشمل هذه المنطقة معظم مناطق فرنسا باستثناء جزيرة مايوت التي لديها نظامها الخاص. شروط الحصول على منحة البطالة في فرنسا توضح النقاط الآتية بعضًا من الشروط الواجب
وصفات تخسيس الأرداف

وصفات تخسيس الأرداف

تخسيس الأرداف تعتبر مشكلة سمنة وترهل الأرداف من أهم المشاكل التي تسبب الحرج والإزعاج لصاحبها، والتي تؤدي في كثيرٍ من الأحيان إلى ضعف ثقته بنفسه وتقليل جاذبيته وجماله، كما أنّ هذه المشكلة تجبر الشخص على ارتداء الملابس الواسعة والفضفاضة طيلة الوقت، إلا أنّ هذه المشكلة يمكن التخلص منها وحلها عن طريق اتباع نظام صحي سليم، والالتزام بالوصفات الطبيعية المخصصة لتخسيس الأرداف. أسباب تراكم الدهون في الأرداف زيادة معدلات هرمون الأنوثة عن المعدل الطبيعي، مما يؤدي إلى ظهور مشكلة السمنة، وتراكم الدهون في
دعاء الرحمة

دعاء الرحمة

دعاء طلب الرحمة رحمة الله من أعظم المقاصد التي يسعى الإنسان إلى نيلها، والله تعالى كريم وسعت رحمته كل شيء، ولطلب الرحمة من الله تعالى وردت العديد من الأدعية في القرآن الكريم في السنة الشريفة لهذا الغرض، وأي صيغة أخرى يلهج بها لسان العبد تقع فيها الاستجابة بإذن الله. والأدعية التي وردت في القرآن والسنة لطلب الرحمة عديدة وهي كالتالي: (رَبَّنَا لَا تُؤَاخِذْنَا إِن نَّسِينَا أَوْ أَخْطَأْنَا رَبَّنَا وَلَا تَحْمِلْ عَلَيْنَا إِصْرًا كَمَا حَمَلْتَهُ عَلَى الَّذِينَ مِن قَبْلِنَا رَبَّنَا وَلَا
نشأة دولة الموحدين

نشأة دولة الموحدين

دولة المُوحّدين هي دولة إسلاميّة تأسَّست في عام 515هـ/1121م على يَد (ابن تومرت)، وتُنسَب إلى جماعة إسلاميّة تُؤمن بأنَّ الله -تعالى- هو وحده فوق التشبيه، وهم يُنزِّهونه عن كلِّ تشبيه له بالخَلْق، وقد ضمَّت دولة المُوحّدين في أَوْج ازدهارها مساحة جغرافيّة كبيرة؛ حيث شملت المغرب العربيّ، وامتدَّت من مصر إلى الأطلسيّ، بالإضافة إلى الأندلُس (إسبانيا حاليّاً)، واستمرَّ عهد الدولة إلى عام 674هـ/1275م. نشأة دولة المُوحّدين نشأت الدولة المُوحِّدية، أو دولة المُوحِّدين في القرن السادس الهجريّ، وكان ذلك
آيات عن حفظ اللسان

آيات عن حفظ اللسان

آيات عن حفظ اللسان أنعم الله تعالى على الإنسان باللسان الذي يُبيّن من خلاله ما يحب ويكره، ويُعبّر من خلاله عن مشاعره، ويتواصل مع الآخرين، وعلى الإنسان حفظه وصونه من الغيبة والنميمة ، والسخرية، والاستهزاء، والكذب، وتجنُّب قول أيّ شيء يُغضب الله، وهناك الكثير من الآيات الكريمة التي تدعو إلى حفظ اللسان عن كلّ ذلك، وتحثّ على القول الحسن، وتحذّر من قول الخطأ، ما يأتي ومنها: آيات تحذّر من آفات اللسان هناك عدّة آيات كريمة حذّرت المسلم من الكذب، و السخرية ، والنميمة، وقول السوء، ومنها ما يأتي: قوله
شعراء الغزل العذري في العصر الأموي

شعراء الغزل العذري في العصر الأموي

شعراء الغزل العذري في العصر الأموي برز الغزل العذري في العصر الأموي بشكل كبير، وظهر مجموعة من الشعراء الذين استطاعوا من خلال كلماتهم أن يُسطروا الغزل في أسمى تجلياته، ومن بينهم ما يأتي: قيس بن الملوح لم تأتِ المصادر بشكل دقيق على تاريخ ولادة قيس بن الملوح إلّا أنّ وفاته كانت في عام 65هـ أو 68هـ، إذ نشأ في حي بني عامر، وذلك في وادي الحجاز ما بين مكة المكرمة والمدينة المنورة، تفتح قلبه على الحب وهو ما يزال صبيًا صغيرًا ثم كبر وكبرت تلك العاطفة معه لتنطلق على لسانه من خلال شعر عذب نقي يشد الألباب
مدن كينيا

مدن كينيا

مدن كينيا تتكون كينيا من المدن التي سنذكرها كما يأتي: نيروبي: تقع نيروبي بين خط العرض -1.28 وخط الطول 36.82، كما أنّها تمتد إلى إرتفاع 1684 متراً فوق مستوى سطح البحر، كما يبلغ عدد السكان في نيروبي 2.750.547 نسمة، وينتمي إليها مطار جومو كينياتا الدولي. مومباسا: تقع بين خط العرض -4.05 وخط الطول 39.66، وتمتد إلى ارتفاع 20 متراً فوق مستوى سطح البحر، كما يبلغ عدد السكان في مومباسا 799.668 نسمة. ناكورو: تقع ناكورو بين خط العرض -0.28 وخط الطول 36.07، وهي تمتد إلى ارتفاع 1848 متراً فوق مستوى سطح