مفهوم التجربة العشوائية وطرق حلها

تعريف التجربة العشوائية

تعرف التجربة العشوائية (بالإنجليزية: Random Experiment) بأنها تجربة يُمكن إعادتها عدد من المرات وفي كلّ مرة تكون نتيجتها عشوائية ومنفصلة عن باقي المرات، كما أنّ الفضاء العيني والتجربة العشوائية مفهومين مترابطين، فالفضاء العيني يختلف تبعًا لاختلاف التجربة العشوائية، ويمكن تعريفه باختصار بأنّ جميع الاحتمالات ممكنة الحدوث عند إجراء تجربة ما.

و تتبع التجارب العشوائية وغير العشوائية لقوانين الاحتمالات في الرياضيات عمومًا، إلّا أنّ الفرق الأساسي بين التجربة العشوائية وغير العشوائية هو أن التجربة العشوائية في الإحصاء غير متحيّزة؛ أي لا تتعمد اختيار عينة ما، واحتمالات ظهور العيّنات متساوية.

أمثلة على التجربة العشوائية

قبل البدء بالأمثلة لا بدّ من الإشارة إلى القانون الآتي:

احتمالية وقوع حادث ما= عدد عناصر الحادث/ عدد عناصر الفضاء العيني (العدد الإجمالي للاحتمالات)

ومن أشهر الأمثلة على التجارب العشوائيّة ما يأتي:

إلقاء قطع نقد معدنية

تُعدّ تجربة إلقاء عملة نقدية (بالإنجليزية: Coin Tossing) أحد الأمثلة المتعارف عليها عند الحديث عن التجارب العشوائيّة، واحتمالات هذه التجربة هي إمّا ظهور صورة أو كتابة، وهي أحد أوجه عملة النقد، أما احتمالية الحصول على إحدى هاتين النتيجتين فيُحسب كما يأتي:

• تحديد الفضاء العيني في هذه التجربة وهو {صورة، كتابة}، وعدد عناصره= 2.
• تحديد العناصر الممكنة عند رمي قطعة النقد لمرة واحدة وهي إمّا صورة أو كتابة، إذًا عددها= 1 في كل مرة.
• إذًا، احتمالية الحصول على صورة أو كتابة= 1/2.

إلقاء حجر نرد منتظم متماثل

يجب أن يكون النرد متماثل الأوجه تحريًا للعدل في الحصول على جميع النتائج الممكنة في تجربة إلقاء حجر النرد (بالإنجليزية: Rolling a Die)، وهي ظهور أحد الأرقام الآتية: 1، 2، 3، 4، 5، 6، ومن الجدير بالذكر بأنّ لجميع هذه الأرقام الاحتمالية ذاتها في الظهور والتي لا يُمكن الجزم بها قبل الرمي على الإطلاق، أمّا احتمالية الحصول على أحد هذه الأرقام فيُحسب كما يأتي:

• تحديد الفضاء العيني في هذه التجربة وهو: {1، 2، 3، 4، 5، 6}، وعدد عناصره= 6.
• عدد العناصر الظاهرة عند رمي النرد لمرة واحدة= 1.
• إذًا، احتمالية الحصول على أحد هذه الأرقام= 1/6.

التصويب على هدف

يعد التصويب على هدف (بالإنجليزية: Hitting the target) أحد الأمثلة على التجارب العشوائية، وهو تجربة عناصرها مستقلة، فلا يعتمد حدوث أحدها على الآخر، وقد يكون أحد الحادثين احتماليته أعلى من الآخر، فمثلًا قد يكون احتمال إصابة الهدف 0.6، ومنه يُمكن حساب احتمالية عدم إصابة الهدف من خلال اتّباع الآتي:

• طرح احتمال إصابة الهدف والتي تختلف من تجربة لأخرى من العدد 1.
• تكون احتمالية عدم إصابة الهدف= 1- 0.6= 0.4.

أمثلة التجارب العشوائية عديدة ولا يمكن حصرها، ومن أهمها وأكثرها شيوعًا: تجربة رمي قطعة النقد والتي تعتمد على ظهور احتمالين، هما: الصورة أو الكتابة، وتجربة إلقاء حجر النرد والتي تعتمد على ظهور أحد الأرقام من 1-6 على أحد الأوجه، إضافةً لتجربة التصويب على هدف ذات الاحتمالات المستقلّة.

تمارين على التجربة العشوائية

فيما يأتي عدد من التمارين الإحصائية على التجربة العشوائية، إذ تعد التجربة العشوائية مبدأ من مبادئ الإحصاء ، وإذا كان الطفل يواجه صعوبة في فهم الرياضيات يمكن اتباع العديد من الطرق التي قد تساعده كما يمكن تدريبه على أكبر قدر من الأمثلة كما يأتي:

تمارين على تحديد الفضاء العيني

مثال: حدد الفضاء العيني المتوقّع في كل تجربة عشوائية مما يلي:

• تجربة سحب كرة من مجموعة كرات ملوّنة بالألوان: أحمر، أخضر، أصفر.
• تجربة اختيار بطاقات تحمل أسماء فصول السنة.
• تجربة اختيار بطاقة من مجموعة بطاقات يحمل كم منها رقم من الأرقام (1-12).

الحل:

• الفضاء العيني للتجربة الأولى = {أحمر، أخضر، أصفر}.
• الفضاء العيني للتجربة الثانية = {شتاء، ربيع، صيف، خريف}.
• الفضاء العيني للتجربة الثالثة = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12}.

تمارين لتحديد احتمالية حدوث حادث ما

مثال 1: ما احتمالية فوز شخص ما عند سحب اسم واحد من صندوق يحتوي على 150 اسمًا مختلفًا؟

• الحل:
  • عدد عناصر الفضاء العيني= 150.
  • عدد عناصر الحادث= 1.
  • احتمالية وقوع الحادث= 1/150.

مثال 2: ما احتمال الحصول على الأرقام الزوجية عند رمي حجر نرد؟

• الحل:
  • عدد عناصر الفضاء العيني= 6.
  • عناصر الحادث وهي الأعداد الموجبة= {2، 4، 6}، ومنه عدد عناصر الحادث= 3.
  • احتمالية وقوع الحادث= 3/6= 1/2.

مثال 3: في صندوق ما وُضع عدد من الصناديق الصغيرة المتماثلة، في كل منها نوع فاكهة معين، إذا كانت عدد الصناديق الصغيرة الكلية 6، وكان عدد الصناديق التي بداخلها موز= 2، وعدد الصناديق التي بداخلها تفاح= 4، فما احتمالية الحصول على موز، وما احتمالية الحصول على تفاح إذا كانت التجربتان منفصلتين؟

• الحل:
  • احتمالية الحصول على موز:
    • عدد عناصر الفضاء العيني= 6.
    • عدد عناصر الحادث= 2.
    • احتمالية وقوع الحادث= 2/6 = 1/3.
  • احتمالية الحصول على تفاح:
    • عدد عناصر الفضاء العيني= 6.
    • عدد عناصر الحادث= 4.
    • احتمالية وقوع الحادث= 4/6= 2/3.

مثال 4: في تجربة التصويب على هدف، إذا كانت احتمالية إصابة الهدف 0.75 فما احتمالية عدم إصابته؟

• الحل: احتمالية عدم إصابة الهدف= 1- 0.75= 0.25.

مثال 5: في تجربة إلقاء حجر نرد، ما احتمالية الحصول على عدد من مضاعفات العدد 3؟

• الحل:
  • عدد عناصر الفضاء العيني= 6.
  • عناصر الحادث= {3،6}، ومنه عدد عناصر الحادث= 2.
  • احتمالية وقوع الحادث= 2/6= 1/3.

مثال 6: في تجربة اختيار بطاقة عشوائية من مجموعة بطاقات تحمل ألوان الطيف السبعة، ما احتمال الحصول على البطاقة ذات اللون الأخضر؟

• الحل:
  • عدد عناصر الفضاء العيني= 7
  • عدد عناصر الحادث= 1.
  • احتمالية وقوع الحادث= 1/7.

التجربة العشوائية هي أحد المفاهيم الإحصائية والتي تتضمّن تجربة لا يمكن التنبؤ بمخرجاتها، فكل حوادثها تملك نفس الاحتمالية في الحدوث، كما أنّه يُمكن تكرارها شرط إجرائها بشكل منفصل في كل مرة، أمّا الفضاء العيني لتجربة ما فهو مجموعة عناصر جميع الحوادث الممكنة في التجربة العشوائية، إضافة إلى ذلك فيُمكن حساب احتمالية وقوع حادث ما من خلال تحديد عدد عناصر الحادث وقسمتها على عدد عناصر الفضاء العيني.