ما هو علم الجبر في الرياضيات

مفهوم علم الجبر

يُعرف علم الجبر بأنه أحد أهم فروع علم الرياضيات، ويقوم على مبدأ المُعادلات التي تتكون من مجموعة من المُتغيّرات والثوابت؛ بحيث تكون الثوابت عبارة عن أرقام ذات قيمة مُحددة لا تتغير، مثلاً الرقمين 3، و14.98 عبارة عن قيم ثابتة، بينما يُعرف المتغير بأنه رقم له قيمة غير ثابتة، وعادةً ما تُستخدَم أحرف اللغة للتعبير عن هذه المتغيرات في المعادلات، وقد تحتمل المتغيرات أحياناً أكثر من قيمة واحدة، وفي معادلاتٍ أخرى ليس لها إلا قيمة واحدة.

مؤسس علم الجبر

بدأ محمد بن موسى الخوارزمي الذي يُعتبر مؤسّس علم الجبر مسيرته في بيت الحكمة في بغداد وعمل فيها كمترجم للنصوص الرياضية والفلكية، من اليونانية والهندية إلى العربية، وبعدها بفترة وجيزة نال ترقيةً ليصبح مدير بيت الحكمة.

عمل الخوارزمي في الترجمة جعله يطلع على جميع النظريات والقواعد، وأدرك بعدها أنّه قد تكون هناك طريقة أبسط لحل المشكلات، واتبع بذلك نهجين؛ أولهما: التحول إلى النظام العددي الهندوسي (1-9 و 0) الذي من شأنه تبسيط اللغة المستخدمة لتبسيط المسائل، وثانيهما: تطوير طريقة أكثر شمولية لتحليل المسائل بلغة رياضية، وهو ما يُسمّى الجبر.

أضاف الخوارزمي إلى علم الجبر في عام 830 م ثلاثة أساليب أساسية لحل المعادلات الرياضية المعقدة، وهي كالآتي:

• الاختزال: ويعني تبسيط كتابة العبارات الرياضية، وإعادة صياغتها بطريقة سهلة مبسطة.
• الإكمال: ويعني نقل الطرف السالب من أحد طرفي المعادلة للجانب الآخر، وقلب علامة الجانب الآخر، فإن كانت سالبة تُقلب موجبة، والعكس صحيح.
• الموازنة: وتعني حل المعادلة من خلال إجراء عملية التساوي بين طرفي المعادلة.

كان علماء الرياضيات الصينيون يعتمدون طرقاً معقدةً لا يمكن فهمها بسهولة ل حلّ المعادات التربيعية ، ولكن بعد الاستنتاجات والأساليب التي توصل لها الخوارزمي أصبح من السهل حل مثل هذه المعادلات، الأمر الذي أحدث ثورةً في هذا المجال في تلك الفترة، حيث أصبحت أساليبه لاحقًا الأساس الذي تعتمد عليه الخوارزميات -الذي سمًيت نسبةً له- المستخدمة في البرمجة والتقنيات الحديثة.

أهمية علم الجبر

قد يعتقد البعض أن علم الجبر تنتهي أهميته بانتهاء الدراسة، في حين أنه يُشكل أساساً من أساسيات الحياة، بدءاً من دفع إيصالات الدفع وإدارة الميزانيات، مروراً بتكاليف الرعاية الصحية، وانتهاءً بالتخطيط للاستثمارات المُستقبلية، حيث إن كل هذه الأمور السابقة تحتاج فهماً أساسياً لعلم الجبر.

ينطوي فهم ودراسة المفاهيم الأساسية لعلم الجبر على العديد من الأمور التي تعود بالفائدة على الفرد؛ فهي تعمل على تطوير التفكير النقدي والمنطق ومهارة حل المشكلات وتطوير مهارتَي الاستنتاج والاستدلال، والأهم من ذلك هي تطبيقات الحياة الحقيقية التي تحتاج إلى مبادئ علم الجبر وأهمها في مكان العمل.

حيث يحتاج الموظفون لتحديد قيم العديد من المتغيرات، وفي النهاية يمكن القول إنه كلما كان المرء مُتمكناً أكثر من علم الرياضيات زادت فرصته في النجاح في مختلف مجالات الهندسة و الفيزياء والبرمجة والمجالات المُتعلقة بالتكنولوجيا.

فروع علم الجبر

ينقسم علم الجبر إلى العديد من الأقسام الفرعية، ومن أبرزها ما يأتي:

• الجبر الابتدائي: (بالإنجليزية: Elementary Algebra) ، ويُطلق عليه البعض اسم الجبر 1، ويشمل المفاهيم التي تدخل في إطار الجبر الأولي؛ المتغيرات، والمعادلات، وخصائص المساواة وعدم المساواة، وحل المعادلات الجبرية، والمعادلات الخطية التي تحتوي على متغير واحد أو متغيرين، والتعبير عن الكلمات بالأرقام، والعمليات الحسابية الأربعة.

• الجبر المتقدم: (بالإنجليزية: Advanced Algebra) ، ويُطلق عليه البعض اسم الجبر 2، وهو المستوى المتوسط من الجبر الذي يُعالج ويتطرّق إلى مستوى عالٍ من المعادلات، مثل :
  • المعادلات مع عدم المساواة.
  • المصفوفات .
  • حلّ نظام المعادلات الخطية.
  • علم المثلثات.
  • التمثيل البياني للاقترانات والمعادلات الخطية.
  • المقاطع المخروطية.
  • معادلة كثيرة الحدود.
  • الاقترانات التربيعية مع عدم المساواة.
  • كثيرات الحدود والعبارات مع الجذور المتتاليات والمتسلسلات.
  • التعابير العقلانية.
  • الرياضيات المتقطعة والاحتمالات.

• الجبر المجرد: (بالإنجليزية: Abstract Algebra)، وهو الفرع الذي يهتم بدراسة البنى والهياكل الجبرية الآتية:
  • المجموعات: تُطلق على مجموعة من العناصر التي يجمعها خصائص متشابهة تكون هي المُحَدّد والمميّز للمجموعة.
  • العمليات الثنائية: تُعتبر الأساس لمعظم الهياكل الجبرية، فهي تتكون من مجموعتين في مدخلاتها، لينتج عنها مجموعة واحدة مبسطة.
  • العنصر المحايد: وهما الرقمان 1 و0، إذ يُعتبر الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع، والعدد 1 هو العنصر المحايد لعملية الضرب.
  • العنصر المعاكس: وهو نظير الرقم ولكن بإشارة سالبة في عملية الجمع، وهو مقلوب العدد في عملية الضرب.
  • الترابطية: وتعني تطابق عمليتين رياضيتين، والمعادلة التالية تبسّط المفهوم أكثر: (3 2) 4 = 3 (2 4)

• الجبر الخطي: (بالإنجليزية: Linear Algebra)، وهو فرع من فروع الجبر الذي ينطبق على كلّ من الرياضيات البحتة والتطبيقية، ويُستخدم في مجالات عديدة من أهمها ما يأتي:
• المعادلات الخطية .
• مسافات المتجهات.
• العلاقات.
• المصفوفات وتحليلها.

• الجبر التبادلي: (بالإنجليزية: Commutative algebra)، وهو أحد فروع الجبر التي تدرس كلّ ما يتعلق بالحلقات التبادلية وهي الحلقات التي يكون فيها الضرب تبادلي أي a×b = b×a.

مساهمة العلماء في علم الجبر

شهدت الحِقبة الإسلامية الذهبية، والتي امتدت من منتصف القرن السابع وحتى منتصف القرن الثالث عشر- الكثير من الإنجازات والمُساهمات العلمية؛ فخلال هذه الفترة تم إدخال الرياضيات الهندية واليونانية إلى العالم الإسلامي، وكان الخوارزمي أحد أبرز العلماء المسلمين الذين ساهموا في إثراء مُحتوى علم الجبر، ففي العام 820 م ألّف الخوارزمي كتابه المُعنوَن بالجبر والمقابلة أو الكتاب المُختصر في حساب الجبر والمقابلة.

كما طوّر الخوارزمي طرقًا سريعةً لمضاعفة الأرقام وقسمتها، والتي تُعرف بالخوارزميات، وإليه يُنسب اختراع الصفر؛ إذ قام باقتراح وضع دائرة صغيرة في الحسابات إذا لم يظهر عدد في منزلة العشرات، ولأول مرة في تاريخ علم الجبر انتقلت الممارسة في حل المعادلات من الأساليب التجريبية، إلى أساليب الإثبات والاشتقاق باستخدام علم الهندسة وأسلوب إجراء العمليات الحسابية لكل طرف من أطراف المُعادلة، ومن الجدير بالذكر أنّ الخوارزمي كان يؤكد على ضرورة شرح المعادلة هندسياً تماماً كما يتم شرحها بالأرقام.

وفيما يأتي توضيح لأشهر العلماء الذين كان لهم دور بارز في نشأة وتطور علم الجبر :

• إقليدس (Euclid).
• أرخميدس ( Archimedes).
• أبولونيوس ( Apollonius).
• بطليموس ( Ptolemy).
• أبو كامل ( Abu Kāmil).
• ليوناردو فيبوناتشي (Leonardo Pisano).
• نيكولاس تشوكيه (Nicolas Chuquet).
• رافائيل بومبيلي (Rafael Bombelli).
• ميشال ستيفل (Michal Stiffel).
• جوهانس شوبيل ( Johannes Scheubel ) .
• كريستوف رودولف (Christoff Rudolff).
• إسحاق بارو ( Isaac Barrow).
• إسحاق نيوتن ( Isaac Newton).
• سيمون ستيفين (Simon Stevin).
• لودوفيكو فيراري (Ludovico Ferrari).
• جوليس فويلمين (Jules Vuillemin). 
• باولو روفيني (Paolo Ruffini) .
• فرانسو فييت (François Viète) .
• ستيفل ( Stifel) .
• نيلس هنريك أبيل (Niels Henrik Abel) .
• إيفاريست غالوا (Evariste Galois) .
• رينيه ديكارت (René Descartes) .
• ألبرت جيرارد (Albert Girard) .
• يوهانس هود (  Johann Hudde ) .
• كاردانو (Cardano) .
• لاغرانج (Lagrange).
• ياكوب كلاين (Jacob Klein).
• أويلر (Euler).
• أفلاطون (Plato).
• باسكال (Pascal).
• اسبينوزا (Spinoza).
• كانت (Kant).
• هوسرل (Husserl).