قوانين المثلثات والزوايا

قوانين المثلثات والزوايا

تعتبر المثلثات من أكثر الأشكال الهندسية التي تتمتع بجم وعة متنوعة من القوانين والخصائص، وفيما يلي قوانين المثلثات والزوايا:

نظرية تباين المثلث

تنص هذه النظرية أن مجموع أطوال أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث.

العلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث

دائماً ما تكون أكبر زاوية داخلية مقابلة لأطول ضلع في المثلث، ونفس القاعدة تنطبق على الزاوية الأصغر تقابل الضلع الأصغر.

الزاوية الخارجية

ينص هذا القانون على أن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي دائماً مجموع الزوايا الداخلية المقابلة.

قانون الزوايا الداخلية

يعتبر هذا القانون هو الأكثر شهرة، وينص على أن مجموع الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث يساوي 180 درجة.

قانون محيط المثلث

يُحسب محيط المثلث من خلال إيجاد مجموع أطوال الأضلاع الثلاثة، كالآتي:

محيط المثلث = طول الضلع الأول طول الضلع الثاني طول الضلع الثالث

قانون مساحة المثلث

تُقاس مساحة المثلث بالوحدات المربعة، ويمكن التعبير عنها من خلال المعادلة التالية:

مساحة المثلث = 2\1 × القاعدة × الارتفاع

نظرية فيثاغورس

تعتبر نظرية فيثاغورس من أكثر النظري ات أساسية في الرياضيات، وهي نظرية تحدد العلاقة بين أضلاع مثلث قائم الزاوية، وكما ذكر سابقاً، فإن مثلث قائم الزاوية يعني أن أحد زواياه تساوي 90 درجة، ويسمى الضلع المقابل لهذه الزاوية بالوتر، وينص قانون فيثاغورس على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية، ويمكن أن يعبر عنه كتالي:

تربيع الوتر = تربيع القاعدة تربيع الضلع العامودي .

قوانين الجيب وجيب التمام

تستخدم قوانين الجيب وجيب التمام لمعرفة الأضلاع الأخرى في مثلث قائم الزاوية، إذ يمكن إيجاد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، بالإضافة إلى ذلك، يُعرف الضلع المقابل للزاوية القائمة بالمقابل، ويُعرف الضلع المجاور للزاوية القائمة بالمجاور، وفيما يلي قوانين الجيب وجيب التمام:

الجيب = المقابل ÷ الوتر.

جيب التمام = المجاور ÷ الوتر.

علاوة على ذلك، يمكن أن تطبق هذه القوانين على جميع أنواع المثلثات ، أو جميع أنواع الزوايا، وذلك م ن خلال إقامة خط وهمي لتشكيل مثلث قائم الزاوية، وتحديد الأضلاع المقابلة، والمجاورة، والوتر من خلاله.

ما هو المثلث وما أنواعه؟

المثلث هو شكل هندسي مغلق، له ثلاثة زوايا، وثلاثة رؤوس، وثلاثة جوانب، كما يتم تصنيف أنواع المثلثات حسب خاصيتين رئيستين، وهما الزوايا، وطول الأضلاع، لذلك سنجد لدينا 6 أنواع مختلفة من المثلثات.

أنواع المثلث حسب طول الأضلاع

يوجد ثلاثة أنواع للمثلثات التي تم تصنيفها على حسب طول الأضلاع، فنجد مثلث متساوي الأضلاع والذي يتميز بتساوي طول جميع أضلاعه، أما مثلث متساوي الساقين فلديه ضلعين متساويين في الطول، بينما مثلث مختلف الأضلاع فجميع أضلاعه الثلاثة غير متساوية الطول.

أنواع المثلث حسب الزوايا

تُقسم أنواع المثلثات حسب الزوايا إلى ثلاثة أنواع، وهي مثلث حاد الزاوية، وهو المثلث الذي تكون جميع زواياه حادة، أي 90 درجة أو أقل، أما بالنسبة للمثلث قائم الزاوية فيكون المثلث الذي يحتوي على زاوية واحدة قياسها 90 درجة، بينما يطلق مسمى المثلث منفرج الزاوية على المثلث الذي تكون إحدى زواياه منفرجة، أي قياسها أكبر من 90 درجة.