قانون مساحة المخروط

قانون مساحة المخروط

كيفية حساب مساحة المخروط

عند حساب مساحة المخروط أو حجمه فإن المخروط الذي يتم اعتباره لحساب مساحته أو حجمه لتطبيق القوانين عليه هو المخروط القائم وليس المائل، وهو الذي يمتلك قاعدة دائرية ويكون فيه الخط الواصل بين مركز القاعدة ورأس المخروط عمودياً على القاعدة، ويمكن إيجاد المساحة الكلية للمخروط من خلال إيجاد مجموع مساحة القاعدة، والمساحة الجانبية، وفيما يلي توضيح لكل منهما:

  • مساحة القاعدة: تمثل مساحة الدائرة ؛ وذلك لأن القاعدة دائرية الشكل، وهي تساوي (π× نق)؛ حيث: نق: هو نصف القطر.
  • المساحة الجانبية: وهي تساوي (π×نصف القطر× الارتفاع الجانبي أو طول المائل)، حيث يمكن حساب طول المائل، أو الارتفاع الجانبي للمخروط باستخدام العلاقة الآتية: الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع مربع نصف القطر)√.

وبالتالي فإن مساحة المخروط الكلية تساوي:

  • مساحة المخروط الكلية= مساحة القاعدة المساحة الجانبية، وهي تساوي:
  • مساحة المخروط الكلية= π×نق² π×نق×ل، وهي تساوي:
  • مساحة المخروط الكلية= π×نق² π×نق×(ع² نق²)√؛ وبأخذ πنق كعامل مشترك تصبح المعادلة:

مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق (ع² نق²)√)

حيث إنّ:

  • π: ثابت عددي، وقيمته 22/7، 3.14.
  • نق: نصف قطر قاعدة المخروط.
  • ع: ارتفاع المخروط.
  • ل: الارتفاع الجانبي للمخروط أو طول المائل.

أمثلة متنوعة على حساب مساحة المخروط

  • المثال الأول: ما هي مساحة المخروط الذي ارتفاعه 8 وحدات، ونصف قطره 6 وحدات؟

الحل:

  • مساحة المخروط = π×نق×(نق (ع² نق²)√، ويمكن حسابها كما يلي:
    • مساحة المخروط = ((8² 6²)√ 6)×π×6
    • ومنه: مساحة المخروط=π×96 سم².
  • المثال الثاني: ما هي المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6 م، و طول ارتفاعه الجانبي 10 م؟

الحل:

  • مساحة المخروط = π×نق² π×نق×ل، ويمكن حسابها كما يلي:
    • مساحة المخروط = 3.14×6² 3.14×6×10= 301.44م².
  • المثال الثالث: ما هي المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 3سم، وارتفاعه 5سم؟

الحل:

  • مساحة المخروط الكلية =π×نق² π×نق×ل، ولحساب المساحة من خلالها يجب اتباع الخطوات الآتية:
  • أولاً: حساب قيمة المائل أو الارتفاع الجانبي (ل)، وذلك من خلال نظرية فيثاغورس ؛ لأن المثلث القائم يمثّل المقطع العرضي للمخروط القائم، وذلك كما يلي:
    • ل² = ع² نق² = 5² 3²= 34، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: ل = 34√= 5.83سم.
  • ثانياً: تطبيق قانون مساحة المخروط، وذلك كما يلي:
    • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)= 3.14×3× (3 5.83)= 83.19 سم².
  • المثال الرابع: إذا كانت المساحة الكلية لمخروط 375 سم، وطول المائل فيه يساوي أربعة أضعاف نصف القطر، فما هو قطر قاعدة المخروط على افتراض أن π=3؟

الحل:

  • وفق معطيات السؤال فإن: ل = 4×نق، وبتعويض هذه القيمة في قانون مساحة المخروط ينتج أن:
    • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)، 375= 3×نق×(نق 4نق)، وبتبسيط المعادلة ينتج أن:
    • 375= 3×5×نق²، وبقسمة الطرفين على (3×5)، ينتج أن: نق²= 25 سم تقريباً، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فإن: نق= 5سم.
  • بما أن القطر= 2×نق، فإن: القطر= 2×5= 10سم.
  • المثال الخامس: مخروط دائري ارتفاعه الجانبي 15سم، ونصف قطر قاعدته 20سم، فما هي مساحته الجانبية؟الحل:
  • المساحة الجانبية للمخروط = π× نق×ل
  • 3.14×20×15= 942 سم².
  • المثال السادس: ما هي المساحة الجانبية لمخروط نصف قطر قاعدته 5سم، و ارتفاعه الجانبي 20سم علماً أن: π = 22/7؟

الحل:

  • المساحة الجانبية للمخروط = π×نق×ل
  • 22/7×5×20= 314.28 سم².
  • المثال السابع: خيمة على شكل مخروط نصف قطرها 3م، وارتفاعها 4م، فما هي قيمة: الارتفاع الجانبي، والمساحة الجانبية علماً أن π = 3.142؟

الحل:

  • يمكن إيجاد الارتفاع الجانبي (ل) من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس، وذلك لأن المقطع العرضي للمخروط يمثل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي، وضلعي القائمة هما الارتفاع (ع)، ونصف القطر (نق)، وذلك كما يلي:
    • ل² = ع² نق² = 3² 4² = 25، ومنه: ل²= 25، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: ل= 5م، وهو الارتفاع الجانبي للخيمة.
  • حساب المساحة الجانبية بتطبيق القانون: المساحة الجانبية للمخروط= π×نق×ل= 3.142×3×5= 47.13 م².
  • المثال الثامن: مخروط دائري قطر قاعدته 3√4، والزاوية المحصورة بين الارتفاع، والارتفاع الجانبي تساوي 30 درجة، فما هي مساحة المخروط الكلية؟

الحل:

  • مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق ل)، ولحسابها فإننا نحتاج إلى قيمة كل من: نصف القطر، والارتفاع الجانبي ويمكن حسابهما كما يلي:
    • حساب نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2؛ نصف القطر= القطر/2= 3√4/ 2 ويساوي 3√2 سم.
    • حساب الارتفاع الجانبي، وهو يمثل الوتر في المثلث قائم الزاوية الذي يشكل نصف القطر فيه إحدى الساقين، والارتفاع الساق الأخرى، والارتفاع الجانبي الوتر، وبتطبيق قانون جيب الزاوية: جا(س)= المقابل/الوتر، ينتج أن: جا(30)= 3√2/ ل، ومنه ل=3√4 سم.
  • تعويض القيم السابقة في قانون مساحة المخروط الكلية لينتج أن: مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق ل)= 3.14×3√2×(3√2 3√4)= 113.04 سم².
  • المثال التاسع: يريد شخص تزيين ست قبعات للاحتفال على شكل مخروط دائري عن طريق تغليفها بأوراق ملونة، فإذا كان نصف قطر كل قبعة منها 4.2سم، وارتفاعها الجانبي 8.6 سم، فما هي مجموع الأوراق الملونة التي يحتاجها لتزيين هذه القبعات؟

الحل:

  • كمية الورق التي يحتاجها= 6×مساحة المخروط الجانبية، لذلك يجب أولاً حساب مساحة المخروط الجانبية، وذلك كما يلي:
    • مساحة المخروط الجانبية= π×نق×ل= 3.14×4.2×8.6= 113.4 سم².
  • حساب كمية الورق الملون اللازمة لتزيين القبعات الستة، وذلك كما يلي:
    • كمية الورق = 6 × مساحة المخروط الجانبية= 6×113.4= 680.5 سم².
  • المثال العاشر: إذا كانت المساحة الجانبية لمخروط دائري تساوي ضعف مساحة القاعدة، وارتفاع المخروط يساوي 9 سم، فما هي المساحة الكلية للمخروط؟

الحل:

  • وفق المعطيات: المساحة الجانبية للمخروط= 2×مساحة القاعدة، وبالتالي:
    • π ×نق×ل =2×π×نق، وبقسمة الطرفين على (π×نق)، ينتج أن:
    • ل= 2×نق.
    • الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع مربع نصف القطر)√، ومنه: 2×نق= (9² نق²)√، وبتربيع الطرفين ينتج أن: 4نق²=81 نق²، ثم وبترتيب المعادلة ينتج أن: 3نق²=81، وبقسمة الطرفين على (3)، وأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: نق= 27√ سم.
  • إيجاد مساحة المخروط كما يلي:
    • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)
    • 3.14×27√×(27√ 27√2)= 254.34 سم².
  • المثال الحادي عشر: مخروط دائري محيط قاعدته 236 سم، وارتفاعه الجانبي (ل) يساوي 12سم، فما هي مساحته الجانبية؟

الحل:

  • المساحة الجانبية للمخروط= π×نق×ل، ولحسابها يجب حساب قيمة نصف القطر أولاً كما يلي:
    • حساب قيمة نصف القطر من خلال محيط القاعدة كما يلي: محيط القاعدة = محيط الدائرة = 2 × π × نق، ومنه: 236 = 2×π×ق، وبقسمة الطرفين على (2×π)، ينتج أن: نق= 37.57سم.
  • بالتعويض في قانون المساحة الجانبية، فإن:
    • المساحة الجانبية = π×نق×ل = 3.14×37.57×12= 1,416 سم.
  • المثال الثاني عشر: خيمة على شكل مخروط دائري يعيش فيها أربعة أشخاص، فإذا كان كل شخص يحتل مساحة 22سم من مساحة القاعدة، فإذا كان الارتفاع الجانبي (ل) للمخروط يساوي 19سم، فما هو ارتفاع هذه الخيمة؟الحل:
  • حساب قيمة نصف قطر المخروط لحساب الارتفاع، وذلك كما يلي:
    • من خلال معرفة أن مساحة القاعدة الدائرية= 4 × 22= 88 سم؛ لأن كل شخص من الأشخاص الأربعة في الخيمة يحتل مساحة 22 سم، وبالتالي:
    • 88=π× نق²، وبقسمة الطرفين على (π)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج، ينتج أن: نق= 7√2 سم.
  • يمثل الارتفاع العمود المقام من رأس المخروط المدبب إلى مركز القاعدة الدائرية، وبالتالي فإنه يشكل مثلثاً قائماً، الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي، والارتفاع، ونصف القطر هما ضلعا القائمة، وبالتالي فإنه يمكن يمكن إيجاد الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس كما يلي:
    • الارتفاع = (الارتفاع الجانبي² - نصف القطر²)√، ومنه: الارتفاع = 19²- (7√2)²√، ومنه الارتفاع= 18.25 سم، وهو ارتفاع الخيمة.
  • المثال الثالث عشر: تريد فتاة صنع قبعات احتفال على شكل مخروط دائري نصف قطره (نق) يساوي 5سم، وارتفاعه (ع) يساوي 12سم، فإذا كانت تريد صنعه من ورق مساحته الكلية 5,700 سم²، فكم عدد القبعات التي يمكن صنعها من هذا الورق؟

الحل:

  • يتطلب حل هذا السؤال حساب قيمة المساحة الجانبية للمخروط، والتي تساوي: π×نق×ل، ولتحقيق ذلك يجب حساب الارتفاع الجانبي، وذلك كما يلي:
  • من خلال التعويض في القانون: الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع مربع نصف القطر)√، ينتج أن: الارتفاع الجانبي للمخروط= (5² ²12)√= (25 144)√= 169√= 13سم.
  • تعويض قيمة الارتفاع في قانون المساحة الجانبية للمخروط، لينتج أن: المساحة الجانبية للمخروط= 3.14×5×13= 204.1 سم².
  • حساب عدد القبعات= مساحة الورق المتوفر / المساحة الجانبية للمخروط، وبالتالي:
    • عدد القبعات = 5700 / 204.1 = 28 قبعة.
  • المثال الرابع عشر: إذا كان الارتفاع الجانبي (ل) لمخروط دائري يساوي ضعفي قطر القاعدة، ومحيط القاعدة لهذا المخروط يساوي 80 وحدة، فما هي مساحة المخروط؟

الحل:

  • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)، ومن المعطيات: ل= 4×نق، لذلك لحساب المساحة لا بد من حساب قيمة نصف القطر أولاً، وذلك من خلال محيط القاعدة:
    • محيط القاعدة الدائرية= π×نق×2=80، وبقسمة الطرفين على (π×2) ينتج أن: نق = 12.73 وحدة.
  • بتعويض قيمة نصف القطر في قانون المساحة فإن المساحة تساوي:
    • مساحة المخروط الكلية= 5×3.14×(12.73)²= 2,546 وحدة مربعة تقريباً.
  • المثال الخامس عشر: إذا كانت مساحة المخروط الكلية 55π وحدة مربعة، والمسافة بين رأس المخروط المدبب تساوي 6 وحدات، فما هو نصف قطر المخروط؟

الحل:

  • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق ل)، وبتعويض القيم فيها ينتج أن:
    • π×نق×(نق 6) = 55π، وبفك الأقواس وتبسيط المعادلة ينتج أن: نق² 6نق-55=0، وبحل المعادلة التربيعية ينتج أن: (نق 11)(نق-5)=0، ومنه إما نق= -11، أو نق = 5، وبما أن نصف القطر لا يمكن أن يكون سالباً فإن نصف القطر يساوي 5 وحدات.

نظرة عامة حول المخروط

المخروط هو شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية مسطّحة، وضلع ملتف بشكل دائري حول القاعدة، ورأس مدبب، ويمكن صنع مخروط من خلال تدوير المثلث، و لحساب حجم المخروط ، ومساحة سطحه فإنه تجب الإشارة إلى مجموعة من المفاهيم أولاً، وهي:

  • نصف القطر: هو المسافة بين مركز القاعدة الدائرية، ومحيطها.
  • الارتفاع: هو العمود المقام بين مركز القاعدة الدائرية، والرأس المدبب للمخروط بحيث يصنع زاوية قائمة مع القاعدة الدائرية.
  • المائل: أو الارتفاع الجانبي، وهو المسافة بين أية نقطة على محيط القاعدة الدائرية، والرأس المدبب.
4تعليم
مزيد من المشاركات
وسائل العلاج من أخطار السموم

وسائل العلاج من أخطار السموم

السموم يعتبرُ التخلّص من السموم القاتلة التي تؤذي الجسم أمراً في غاية الأهميّة؛ وذلك لاستعادة نشاط الجسم وحيويّته، وزيادة طاقته المكتسبة، وتحسين المزاج العامّ للإنسان، حيث إنّ التخلص من السموم يحفّزُ العمليّات الحيويّة في الجسم ويعيدُها إلى وضعها الطبيعيّ، لذلك يجب التخلّص من السموم والمخاطر الضارّة في الجسم خلال كلّ فترة، والوقاية منها. وفي هذا المقال سوف نذكرُ بعضَ وسائل العلاج من مخاطر السموم. أعراض التسمّم من أعراض التسمم ما يلي: ارتفاع درجة الحرارة المفاجئ والقشعريرة. المغص وآلام شديدة في
ما هو العفو والتسامح

ما هو العفو والتسامح

تعريف العفو والتسامح العفو لغةً أصله الطمس والمحو، وهو مصدر الفعل عفا، ويقال عافٍ وعفوُّ، وفيه يتجاوز العافي عن الذنب، ويترك العقاب عليه، وإن عفا عن الحق يكون قد أسقطه، أما العفو اصطلاحًا هو التجافي والتجاوز عن الذنب، وترك العقاب عليه،أما التسامح لغة فأصله السمح، وأحرفها الثلاثة تدل على السهولة والسلاسة، والتسامح اصطلاحًا هو أن يبذل الإنسان ما لا يجب عليه تفضلًا، كاللين والسهولة، والكرم والجود والعطاء، والقيام معهم كلهم بالعدل. فوائد العفو في العفو: امتثال لأمر الله تعالى، وطلب العفو والغفران،
أقوال عن الزواج

أقوال عن الزواج

الزواج من أساسيات حياة الإنسان وهي عملية انتقال كبيرة في حياة الشباب، وهنا سوف نذكر لكم أقوالاً عن الزواج. أقوال عن الزواج إذا أردت يوماً أن تقارن حرة من الناس فاختر قومها. قلق في الحب، مطمئن في الزواج. أجَلُ سنن الحياة الاجتماعية الزواج. أساس الزواج الصحيح التفاهم المتبادل. ليس الزواج مقبرة الحب، فكم من حب جاء ثمرة للزواج. تحية تقدير لهذا القلب الطيب.. أخي عضدي وناصري لا غنى لي عنك.. أتم الله سعدك وأراح سرك بمن تقر عينك من زوجك ومحبوبك وجعل السكينة والطمأنينة في دارك الجديد ورزقك الولد الصالح
تنزيل تعريف الصوت

تنزيل تعريف الصوت

تنزيل تعريف الصوت عندما تظهر إشارة (X) حمراء على أيقونة الصّوت في أسفل الشاشة على شريط المهام، فذلك يعني أنّ الكمبيوتر لن يشغّل أيّ صوتٍ، ويرجع سبب حدوث ذلك لأمرين هما: إمّا أنّ الويندوز حجب خدمة الصوت، أو أنّ الكمبيوتر لم يحصل على آخر تحديثٍ لبطاقة الصوت المثبتة على اللوحة الأم ، وستظهر رسالةٌ مفادها (لا يوجد مخرج للصوت مثبت) إذا تمّ التأشير بالفأرة على أيقونة الصوت، ويمكن حلّ تلك المشكلة من خلال اتباع إحدى الطرق الثلاثة الآتية: الطريقة الأولى: إعادة تمكين بطاقة الصوت، وذلك من خلال الضغط على
شروط عارضات الأزياء

شروط عارضات الأزياء

عروض الأزياء تُعتبر عروض الأزياء فنّاً من الفنون المنتشرة حالياً بكثرة؛ وقد أصبح هناك أناس متخصّصون لمثل هذه العروض، خصوصاً أنّ عروض الأزياء لم تعد تقتصر على الفتيات والعارضات الإناث فقط، بل هناك أيضاً عروض أزياء خاصّة بالشباب، ومثلها خاصة بالأطفال، لكن عروض الأزياء الخاصة بالفتيات هي العنصر الغالب في هذا المجال، ولهذا توجد في جميع أنحاء العالم أعداد كبيرة من عارضات الأزياء، اللواتي يتمتّعن بصفاتٍ عدة، من ناحية الشكل والهيئة، تجعلهنّ قادرات على إظهار الأزياء التي يعرضنها في أجمل صورة، لأجل
طريقة عمل الرقاق الفلاحي

طريقة عمل الرقاق الفلاحي

الرقاق الفلاحي يعتبر الرقاق الفلاحي أحد أنواع الخبز الذي تعدّه ربات البيوت عبر العالم، وهو خبزٌيصنع إلى البلاد العربية من أيام الدولة العثمانية ويتميّز برقته ولذة طعمه واستخدامه بشكلٍ رئيسي في إعداد الشاورما والمسخن وغيرهما من الأكلات الأخرى، وفي هذا المقال سنتحدث عن إعداده كما سنتحدث عن إعداد الشاورما بهذا النوع من الخبز. إعداد الرقاق الفلاحي المكوّنات كيلوان من الطحين الأبيض. نصف كيلو من اللبن الرايب. نصف كأسٍ من السمنة البلدية. نصف كأسٍ من الزيت النباتيّ. ملعقةٌ كبيرةٌ من ملح الطعام. ملعقةٌ
أروع الحكم في الحب

أروع الحكم في الحب

أروع الحكم في حب الزوجة الحب هو من العلاقات الجميلة في حياتنا وأروعها، ولكن يجب علينا أن نأخذ النصيحة والحكمة من هم أصحاب التجربة والخبرة الكبيرة، والعبارات الآتية حكم قيلت في حب الزوجة: يبلغ الحب القمة متى تنازلت المرأة عن عنادها، والرجل عن كبريائه. ما دمت أيها الرجل، لا تستطيع أن تخفي عنها شيئًا فأنت تحبها. الحب الذي هو جزء في حياة الرجل، وهو تاريخ المرأة بكامله. عندما يتهم الرجل المرأة بأنّها بلا قلب، فمن المؤكد أنّها خطفت قلبه. من الرجال كثيرون يقتلون أنفسهم لأجل الحب، ومن النساء أكثر من
عمل الخبز

عمل الخبز

الخبز يعتبر الخبز من المعجنات ذات الأهمية والشهرة في جميع البلاد العربية، فهو يتميز برائحته الزكية وطعمه الرائع، وخاصة عندما يكون طازجاً وساخناً، ولا يمكن الاستغناء عنه في أي منزل، وهناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون بعمله في المنازل، إلا أنهم لا يعرفون الخطوات الصحيحة للقيام بذلك، ولأهمية هذا الموضوع سوف نقوم بالحديث عن هذه الخطوات بشكل مفصل. طريقة عمل الخبز هناك العديد من المكونات التي تدخل في إعداد الخبز وهي: المكونات كيلو واحد من الطحين. خمسة أكواب من الماء الدافئ. ملعقة واحدة كبيرة من