قانون مساحة القطاع الدائري

طرق حساب مساحة القطاع الدائري

يتم التعبير عادة عن مساحة الدائرة كاملة بالقانون: π×نق² ، وعندما يتطلب الأمر حساب مساحة جزء من الدائرة فإن ذلك يتم من خلال زاوية القطاع الدائري، ولأن قياس زوايا الدائرة كاملة يساوي 360 درجة، فإن نسبة زاوية القطاع الدائري إلى 360 درجة تتناسب مع مساحة الجزء من الدائرة المراد قياس مساحته.

وبشكل عام تعتمد مساحة القطاع الدائري في أي دائرةٍ على الزاوية المركزيّة لهذا القطاع؛ فكلما زادت الزاوية المركزية له زادت زادت مساحة القطاع، وكلما نقصت قلت مساحته، كما تتناسب طردياً مع طول قوس القطاع، ورياضيّاً يمكن حسابها باستخدام أحد القوانين الآتية:

عند معرفة مساحة الدائرة وزاوية القطاع بالدرجات

يمكن حساب مساحة القطاع الدائري عند معرفة مساحة الدائرة وزاوية القطاع بالدرجات من خلال القانون التالي:

مساحة القطاع الدائري=مساحة الدائرة كاملة×(زاوية القطاع/360)= (π×مربع نصف القطر)× (زاوية القطاع/360)

وبالرموز:

مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)

حيث أن:

• π: الثابت باي، وتعادل قيمته 3.14.
• نق: نصف قطر الدائرة.
• هـ: قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالدرجات.

مثال توضيحي: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 5 سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 60 درجة، فما هي مساحة هذا القطاع.

الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)=5²×3.14×(60/360)=13.09سم².

عند معرفة نصف قطر الدائرة وزاوية القطاع بالراديان

يمكن حساب مساحة القطاع الدائري عند معرفة نصف قطر الدائرة وزاوية القطاع بالراديان من خلال القانون التالي:

مساحة القطاع الدائري=0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر

وبالرموز:

مساحة القطاع الدائري= 0.5×نق²×هـ

حيث أن:

• نق: نصف قطر الدائرة.
• هـ: قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالراديان.

مثال توضيحي: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 5 سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 3راديان، فما هي مساحة هذا القطاع.

الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر=0.5×3×5²=37.5سم².

عند معرفة طول قوس القطاع

يمكن حساب مساحة القطاع الدائري عند معرفة طول قوس القطاع من خلال القانون التالي:

مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2

مثال توضيحي: جد مساحة القطاع الدائري الذي يبلغ طول قوسه 30سم، ونصف قطره 10سم.

الحل: باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ينتج أن مساحة القطاع الدائري= (10×30)/2=150سم².

أمثلة متنوعة حول مساحة القطاع الدائري

وفيما يأتي أمثلة متنوعة على مساحة القطاع الدائري:

• المثال الأول: إذا كانت مساحة القطاع الدائري 35.4سم²، جد زاوية هذا القطاع إذا كان نصف قطر الدائرة 6سم.
  • الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)، ينتج أن: 35.4=6²×3.14×(هـ/360)، ومنه هـ=112.67درجة.

• المثال الثاني: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 42سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 120 درجة، فما هي مساحة هذا القطاع.
  • الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري=π×نق²×(هـ/360)=42²×3.14×(120/360)=1848سم².

• المثال الثالث: إذا كان نصف قطر القطاع الدائري 3م، وطول القوس المقابل له 5πسم علماً أن زاويته مقاسة بالراديان، جد مساحة هذا القطاع الدائري.
  • الحل:
    • باستخدام قانون طول القوس=نق×θ، ينتج أن 3θ=5π، ومنه θ=5π/3راديان
    • باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر=3²×0.5×5π/3، ومنه مساحة القطاع الدائري=23.55سم².

• المثال الرابع: إذا كانت مساحة قطاع دائري 108سم²، وطول القوس المقابل له 12سم، جد قطر هذه الدائرة.
  • الحل:
    • باستخدام قانون طول القوس=نق×θ، ينتج أن: 12=نق×θ.
    • باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر، ينتج أن: 108=0.5×θ×نق².
    • بتعويض قيمة المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ينتج أن: 108=0.5×(θ×نق)×نق=0.5×12×نق، ومنه نق=18سم، وهي قيمة نصف القطر، أما قيمة القطر (ق) فتساوي 2نق=2×18=36سم.
    • يمكن حل هذا المثال بطريقة أخرى تتمثل باستخدام القانون: مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ومنه 108=(نق×12)/2، ومنه نق=6سم، أما طول القطر فيساوي ق=2نق=2×18=36م.

• المثال الخامس: إذا كانت العلبة المخصّصة لحفظ البيتزا مربعة الشكل، وكانت مساحتها 256سم²، وأبعادها تزيد بمقدار 4سم عن قطر البيتزا كاملة والمقسّمة إلى ثماني قطع، جد مساحة القطعة الواحدة من البيتزا.
  • الحل:
    • حساب قطر البيتزا عن طريق حساب طول ضلع العلبة مربعة الشكل أولاً، ثم طرح العدد 4 منه، وحيث إن طول ضلع العلبة²=مساحة العلبة وفق قانون مساحة المربع، فإن 256= ضلع العلبة²، وعليه ضلع العلبة=16سم، أما قطر البيتزا فيساوي=16-4=12سم، ونصف قطرها=12/2=6سم.
    • حساب مساحة البيتزا كاملة باستخدام قانون مساحة الدائرة=πنق²=3.14×6²=113.04سم².
    • قسمة مساحة البيتزا كاملة على 8 لينتج أن مساحة القطعة الواحدة والتي تمثّل قطاعاً دائرياً فيها=113.04/8=14.13سم².

• المثال السادس: إذا كانت هناك كعكة دائرية الشكل طول قطرها 30سم، تم تقطيعها إلى ستة أقسام متساوية، جد مساحة كل قطعة من الكعك إذا كانت الزاوية المركزية لكل منها 60 درجة.
  • الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)=3.14×15²×(60/360)=117.8سم²، وهي مساحة كل قطعة من قطع الكعك الستة.

• المثال السابع: إذا كان قياس زاوية القطاع 40 درجة، ومساحته 20سم²، جد طول القوس المقابل له.
  • الحل:
    • باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)، ينتج أن: 20=3.14×نق²×(40/360)، ومنه نق=7.6سم.
    • باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري=(نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ينتج أن: 20=(7.6×طول قوس القطاع)/2، ومنه طول قوس القطاع=5.3سم.