حساب محيط نصف الدائرة باستخدام القانون
يُمكن تعريف نصف الدائرة (بالإنجليزية: Semicircle) على أنه الشكل الناتج من قطر الدائرة والقوس الواصل بين طرفيه، ويُمكن تعريف المحيط لأي شكل ثنائي الأبعاد بشكل عام على أنه طول الخط الخارجي المحيط بالشكل.
ويجدُر بالذكر هنا أن محيط نصف الدائرة لا يعادل في قيمته قيمة نصف محيط الدائرة كاملة؛ حيث يتمثّل محيط نصف الدائرة بمحيط نصف الدائرة الكاملة والذي يُمكن حساب قيمته عن طريق ضرب طول نصف القطر بالثابت باي، وبالرموز: πنق، إضافة إلى طول القطر الموجود أسفله، والذي يُرمز له بالرمز 2نق، لينتج أن محيط نصف الدائرة=2نق πنق، وبأخذ عامل مشترك هو نق ينتج أن:
محيط نصف الدائرة= نصف قطر الدائرة× (π 2)
وبالرموز:
محيط نصف الدائرة= نق×(π 2)
حيث أن:
- نق: طول نصف قطر الدائرة.
- π: الثابت باي، وهو ثابت عددي تعادل قيمته 3.14 أو 22/7.
اشتقاق قانون محيط نصف الدائرة
يمكن توضيح اشتقاق القانون السابق بالطريقة الآتية:
- الجزء الأول من القانون وهو (πنق)، يتمثل بالقيمة التي تعادل نصف محيط دائرة كاملة، وهي: محيط الجزء المنحني= ½×محيط الدائرة كاملة= ½×2×π×نق=πنق.
- الجزء الثاني من القانون فهو كما ذُكر سابقاً= طول القطر، وهو طول الجزء المستقيم من نصف الدائرة، ويساوي 2نق.
- بجمع نصف محيط الدائرة كاملة مع طول القطر ينتج قانون محيط نصف الدائرة، وهو πنق 2نق= نق(π 2).
حساب محيط نصف الدائرة من محيط الدائرة
محيط نصف الدائرة هو عبارة عن مجموع نصف محيط الدائرة مع قطرها، ولذلك فإنّ محيط نصف الدائرة لا يساوي نصف محيط الدائرة، بل هو أكبر من نصف محيط الدائرة، ويُمكن حسابه عندما يكون محيط الدائرة معلومًا بالصيغة الرياضية التالية:
محيط نصف الدائرة = 1/2 × محيط الدائرة قطر الدائرة
وبما أنّ:
محيط الدائرة = 2× نق × π أو محيط الدائرة = π × ق
فإنّ:
محيط نصف الدائرة = π نق 2 نق
أو
محيط نصف الدائرة = ق 1/2 × π × ق
حيث أنّ:
- نق: نصق قطر الدائرة.
- ق: قطر الدائرة.
- π: ثابت باي، ويساوي 3.14 أو 22/7.
فإذا كان محيط الدائرة معلومًا يُمكن اتباع الخطوات التالية لحساب محيط نصف الدائرة:
مثال توضيحي: إذا كان محيط الدائرة يساوي 15 سم، فما هو محيط نصفها؟
الحل:
- بتطبيق قانون محيط نصف الدائرة: محيط نصف الدائرة = 1/2 × محيط الدائرة قطر الدائرة.
- نُلاحظ أنّ محيط الدائرة معلوم، ولكن يجب إيجاد قيمة قطر الدائرة وذلك بالتعويض في قانون محيط الدائرة : محيط الدائرة = π × قطر الدائرة
- ومنه؛ 15 = 3.14 × قطر الدائرة.
- إذًا؛ قطر الدائرة = 4.77 سم.
- تعوض المعطيات في قانون محيط نصف الدائرة: محيط نصف الدائرة = 1/2 × 15 4.77
- محيط نصف الدائرة = 12.27
حساب محيط نصف الدائرة من مساحة الدائرة
لحساب محيط نصف الدائرة يجب إيجاد نصف قطرها أو قطرها، فإذا كانت مساحة الدائرة معلومة يُمكن إيجاد نصف القطر من قانونها، ثم التعويض في قانون محيط نصف الدائرة كما هو موضح في المثال التالي:
مثال توضيحي: إذا كانت مساحة الدائرة 23 سم² فما هو محيط نصف الدائرة؟
الحل:
- يعوض في قانون مساحة الدائرة لإيجاد نصف قطرها: مساحة الدائرة = π × نق²
- 23 = 3.14 × نق²
- نق = 2.7 سم.
- يعوض في قانون محيط نصف الدائرة: محيط نصف الدائرة = π نق 2 نق
- محيط نصف الدائرة = 3.14 × 2.7 2 × 2.7
- محيط نصف الدائرة = 13.88 سم.
وإذا كانت مساحة نصف الدائرة معلومة، يُمكن إيجاد محيط نصف الدائرة بالخطوات التالية:
- مساحة نصف الدائرة = مساحة الدائرة / 2.
- يمكن إيجاد مساحة الدائرة بضرب مساحة نصف الدائرة في الرقم 2: مساحة الدائرة = مساحة نصف الدائرة × 2
- يعوض في قانون مساحة الدائرة؛ مساحة الدائرة = π × نق² لإيجاد نصف قطرها
- تعوض قيمة نصف قطر الدائرة في قانون محيط نصف الدائرة، محيط نصف الدائرة = π نق 2 نق.
أمثلة على حساب محيط نصف الدائرة
وفيما يأتي أمثلة متنوعة على حساب محيط نصف الدائرة:
حساب محيط نصف دائرة عند معرفة نصف قطرها
- مثال 1: ما هو محيط نصف الدائرة التي نصف قطرها 2 سم؟
- الحل:
- تعويض قيمة نق وهي 2سم في قانون محيط نصف الدائرة= نق×(π 2)،
- ومنه محيط نصف الدائرة=2(3.14 2)=10.28سم.
- مثال 2: قاطع يقطع دائرة نصف قطرها 7سم إلى نصفين متساويين، ما محيط كلّ من نصفي الدائرة؟ (π=22/7).
- الحل: محيط نصف الدائرة الأول = محيط نصف الدائرة الثاني؛ لأن نصفي الدائرة متطابقان، وبتعويض قيمة نق في قانون محيط نصف الدائرة لإيجاد المحيط ينتج أن: محيط نصف الدائرة= نق(π 2)
- ومنه محيط نصف الدائرة= 7(22/7 2)=36سم.
- مثال 3: دائرة نصف قطرها 365سم، ما هو محيط نصفها؟
- الحل:
- تعويض قيمة نق وهي 365سم في قانون محيط نصف الدائرة= نق×(π 2)،
- ومنه محيط نصف الدائرة= 365(3.14 2)=1,876.1سم.
- مثال 4: نافذة على شكل نصف دائرة نصف قطرها 20 سم، ما هو محيطها؟
- الحل:
- تعويض قيمة نق وهي 20سم في قانون محيط نصف الدائرة=نق×(π 2)،
- ومنه محيط نصف الدائرة= 20(3.14 2)=102.8سم.
حساب محيط نصف دائرة عند معرفة قطرها
- مثال 1: ما هو محيط نصف دائرة قطرها 10 سم؟
- الحل:
- حساب قيمة نصف القطر (نق) عن طريق قسمة قيمة القطر (ق) على 2، لينتج أن: نصف القطر= نق = ق/2 = 10/2=5سم.
- تعويض قيمة نق وهي 5سم في قانون محيط نصف الدائرة= نق×(π 2).
- ومنه محيط نصف الدائرة=5(3.14 2)=25.7سم.
- مثال 2: دائرة قطرها 100م، ما هو محيط نصفها؟
- الحل:
- حساب قيمة نصف القطر (نق) عن طريق قسمة قيمة القطر (ق) على 2، لينتج أن: نصف القطر= نق = ق/2 = 100/2=50م.
- تعويض قيمة نق وهي 50م في قانون محيط نصف الدائرة= نق×(π 2)،
- ومنه محيط نصف الدائرة=50(3.14 2)=257م.
حساب محيط نصف دائرة عند معرفة محيطها
دائرة محيطها هو 12πسم ما هو محيط نصفها، وأي المحيطين أصغر؟
- الحل:
- حساب قيمة نصف القطر (نق) بتعويض قيمة محيط الدائرة 12π في قانون محيط الدائرة=2×π×نق، ومنه 2×π×نق=π×12، وبقسمة الطرفين على 2π، ينتج أن: نق = 6سم.
- تعويض قيمة نق في قانون محيط نصف الدائرة= نق(π 2)= 6(π 2)
- مقارنة قيمة محيط الدائرة= 37.68، مع قيمة محيط نصف الدائرة= 30.84، لينتج أن محيط نصف الدائرة أقل من محيط الدائرة كاملة.
حساب قطر دائرة عند معرفة محيط نصفها
محيط نصف دائرة هو 25.7سم، ما هو قطرها؟
- الحل:
- حساب قيمة نصف القطر (نق) بالتعويض في قانون محيط نصف الدائرة= نق (π 2)، لينتج أن: 25.7 = نق (π 2)، وبقسمة الطرفين على (π 2)، ينتج أن نق= 5سم.
- حساب قيمة القطر (ق) بضرب نصف القطر نق بالعدد 2، لينتج أن: ق=2نق= 2×5= 10سم.
