قانون المساحة الجانبية للأسطوانة

قانون المساحة الجانبية للأسطوانة

قانون المساحة الجانبية للإسطوانة

يمكن تعريف الأسطوانة بأنها شكل ثلاثي الأبعاد مغلق، ويتكون من قاعدتين دائريتين، ومستطيل مُلتف حول القاعدة الدائرية، ويقع بين القاعدتين، وتجدر الإشارة إلى أن قاعدتي الأسطوانة متطابقتان، ومتوازيتان، وتعرف المساحة الجانبية للأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder Lateral Surface Area) بأنها مساحة جميع الوجوه باستثناء القاعدتين العلوية، والسفلية، أي أن المساحة الجانبية للأسطوانة هي مساحة السطح الذي يربط القاعدتين ببعضهما، ولفهم المساحة الجانبية يمكن تخيّل علبة لحفظ الخضراوات أسطوانية الشكل، وفارغة من الداخل وعند إزالة القطعتين العلوية، والسفلية منها، وإزالة الملصق المحيط بها فإنه يمكن ملاحظة أن شكل هذا الملصق هو عبارة عن مستطيل، وهو يمثّل المساحة الجانبية للأسطوانة، وبالتالي فإن المساحة الجانبية تساوي مساحة هذا المستطيل، ومساحة المستطيل كما هو معروف تساوي الطول×العرض، حيث:

  • عرض المستطيل: يمثل محيط القاعدة دائرية الشكل، ويساوي 2×نق×π؛ حيث نق: هو نصف قطر الأسطوانة.
  • طول المستطيل: يمثل الارتفاع، وهو المسافة العمودية بين قاعدتي الاسطوانة، ويرمز له بالرمز ع.
  • وبالتالي فإن: المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع حيث:
    • ع: ارتفاع الأسطوانة.
    • نق: نف قطر الأسطوانة.
    • π : الثابت باي، وهو ثابت عددي قيمته 3.14.

لمزيد من المعلومات حول مساحة الأسطوانة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة الإسطوانة .

أمثلة متنوعة حول المساحة الجانبية للإسطوانة

  • المثال الأول: ما هي المساحة الجانبية لأسطوانة نصف قطر قاعدتها 7 سم، وارتفاعها 10 سم؟
    • الحل: المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
    • الخطوة الأولى: حساب محيط القاعدة كما يلي:
      • محيط القاعدة = 2×π×نق = 2×π×7، ومنه:
      • محيط القاعدة = π14 سم.
    • الخطوة الثانية: حساب المساحة عن طريق ضرب محيط القاعدة في الارتفاع كما يلي:
      • المساحة الجانبية = π×14×10، ومنه:
      • المساحة الجانبية = π140 سم .
  • المثال الثاني: إذا كانت المساحة الجانبية لأسطوانة 500سم، وارتفاعها 10سم، فما هو نصف قطر قاعدتها؟
    • الحل: بتعويض القيمة في قانون: المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع، ينتج أن:
      • 500 = 2×3.14×نق×10، ومنه: 500 = 62.8 × نق، ومنه: نق = 500 / 62.8= 7.96 سم.
  • المثال الثالث: ما هي المساحة الجانبية لأسطوانة نصف قطر قاعدتها 3 سم، وارتفاعها 9 سم؟
    • الحل: المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع، ومنه: المساحة الجانبية = 2×π×3×9، ومنه:
    • المساحة الجانبية = π54، أو:
    • المساحة الجانبية = 54×3.14 = 169.56 سم. (حيث قيمة π تساوي 3.14)
  • المثال الرابع: أسطوانة ارتفاعها 41 سم، ومساحتها الجانبية π512.5 سم²، فما هي مساحة قاعدتيها الدائريتين؟
    • الحل:
    • بما أن القاعدة دائرية الشكل فإن مساحة القاعدة = π×نق، ولحسابها يجب إيجاد قيمة نصف القطر، وهي كما يلي:
    • حساب قيمة نصف القطر من خلال المساحة الجانبية، وذلك كما يلي:
      • المساحة الجانبية = محيط الدائرة × الارتفاع= 2×π×نق×ع، ومنه:
      • π 512.5 تساوي 2×π×نق×41، وبقسمة الطرفين على 82 π؛ فإن نق = 6.25 سم.
    • بعد حساب نصف القطر يمكن حساب مساحة القاعدة كما يلي:
      • مساحة القاعدة =π×نق² = 3.14×6.25² = 122.66 سم².
      • بما أن الأسطوانة تحتوي على قاعدتين فإن مساحة القاعدتين = 2×122.66 = 245.32 سم².
  • المثال الخامس: علبة صابون أسطوانية الشكل قطر غطائها هو 5 سم، وارتفاعها 12 سم يراد وضع ملصق عليها بحيث يغطي كامل العلبة الأسطوانية باستثناء القاعدتين، فإذا كانت تكلفة هذا الملصق هي 0.00125 دولار لكل سم²، فما هي تكلفة هذا الملصق؟
    • الحل: يراد تغليف العلبة الأسطوانية كاملة باستثناء القاعدتين، وهذا يمثل المساحة الجانبية، وبالتالي فإن التكلفة = المساحة الجانبية للأسطوانة × تكلفة السنتيمتر المربع الواحد، وعليه:
    • يمكن إيجاد المساحة الجانبية كما يلي:
      • المساحة الجانبية = 2×π×نق×ع = 2×3.14×5×12 = 376.8 سم²؛ (وذلك لأن القطر = 2×نق)
    • بعد إيجاد المساحة الجانبية يمكن إيجاد التكلفة كما يأتي:
      • التكلفة = 376.8 سم² × 0.00125 دولار/ سم² = 0.471 دولار.
  • المثال السادس: أسطوانة مساحة كل قاعدة من قاعدتيها π16 سم، وارتفاعها 7سم، فما هي مساحتها الجانبية؟
    • الحل: المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
    • الخطوة الأولى: هي حساب نصف قطر القاعدة، وذلك من خلال مساحة القاعدة الدائرية كما يلي:
      • مساحة القاعدة = π×نق²، ومنه:
      • π ×16 تساوي π × نق، ومنه: نق = 4 سم.
    • الخطوة الثانية: بعد حساب نصف القطر يمكن إيجاد محيط القاعدة الدائرية كما يلي:
      • محيط القاعدة = 2×π×نق = 2×3.14×4، ومنه:
      • محيط القاعدة = 25.12 سم.
    • الخطوة الثالثة: حساب المساحة الجانبية كما يلي:
      • المساحة الجانبية = 3.14×8×7= 175.84 سم².
  • المثال السابع: أسطوانة مساحتها الجانبية 4400 سم، ومحيط قاعدتها 110سم، فما هو ارتفاعها، وقطرها؟
    • الحل: يمكن إيجاد القطر من محيط القاعدة كما يلي:
      • المحيط = 2×π×نق، ومنه:
      • 110 = 2 × (22/7) × نق، ومنه: نق = 17.5 سم.
      • القطر = 2×نق، ويساوي 2×17.5 = 35سم.
    • حياب الارتفاع من قانون المساحة الجانبية كما يلي:
      • المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع، ومنه:
      • 4400 = 110×الارتفاع، ومنه: الارتفاع = 4400 / 110= 40سم.
  • المثال الثامن: منزل يرتكز على ركائز أسطوانية الشكل عددها اثنتا عشرة ركيزة، ونصف قطرها 50سم، وارتفاعها 3.5م، فما هي تكلفة طلاء المساحة الجانبية لهذه الركائز إذا كانت تكلفة المتر المربع الواحد 20 دولار؟
    • الحل: التكلفة الكلية لطلاء الركائز = عدد الركائز×المساحة الجانبية للركيزة الواحدة×تكلفة المتر المربع الواحد لطلاء الركيزة:
    • أولاً حساب المساحة الجانبية للركيزة = 2×π×نق×ع = 2×(22/7)×0.5×3.5؛ حيث (نصف القطر = 50/100 سم = 0.5م، وذلك للتحويل من وحدة سم إلى وحدة م)، ومنه: المساحة الجانبية = 11م.
      • المساحة الجانبية لجميع الركائز الأسطوانية = 12×11 = 132م.
    • التكلفة الكلية لطلاء الركائز = 132×20 = 2,640 دولار.
  • المثال التاسع: إذا كان حجم أسطوانة 308 سم، وارتفاعها 8سم فجد أ) نصف قطرها (نق) و ب) مساحتها الجانبية؟
    • الحل:
    • حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة× الارتفاع= π×نق×ع، ومنه يمكن إيجاد نصف القطر كما يلي:
      • 308 = π×نق²×8، وبقسمة الطرفين على (8π) ينتج أن: نق²= 12.26، ومنه نصف القطر= 3.5سم.
    • مساحة الأسطوانة الجانبية = 2×π×نق×ع، ويمكن إيجادها كما يلي:
      • المساحة الجانبية = 2×(22/7)×3.5×8= 176سم.

لمزيد من المعلومات حول مساحة وحجم الأسطوانة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة وحجم الأسطوانة .

12رياضيات
مزيد من المشاركات
الفرق بين الاستقراء والاستنباط

الفرق بين الاستقراء والاستنباط

الفرق بين الاستقراء والاستنباط إن الاستقراء والاستنباط من أهم الأساليب والطرق المنهجية في البحث العلمي ، وفيما يأتي أبرز نقاط الاختلاط وتوضيحها: المفهوم مفهوم الاستقراء هو أسلوب يعتمده الباحث في المنهج العلمي بطريقة يجمع فيها البيانات بشكل خاص من دراساته المختلفة على شكل أجزاء عديدة ومن ثم جمعها وتعميمها ليصل إلى المعنى المراد إليه. أما الاستنباط فهو الأسلوب العكسي للاستقراء، وهو أسلوب يعتمد بشكل كامل على استخدام القاعدة العامة الأساسية ومن ثم استنباط القواعد الفرعية منها و تجزيئها لتصبح
أن تقع الأندلس وما هي حدودها

أن تقع الأندلس وما هي حدودها

الأندلس توجد الأندلس ضمن مناطق أوروبا من الجهة الجنوبيّة الغربيّة، وتحديداً في البلاد الإسبانيّة، وهي أكثر المناطق سكّاناً، وثاني أكبر سوق في المنطقة من مناطق الحكم الذاتي في إسبانيا، وتنقسم المنطقة إلى ثمانية مناطق؛ وإشبيليّة وهي العاصمة، وألميريا، وقادس، وقرطبة، وغرناطة، وهويلفا، وجيان، ومالقة، وتصل نساحتها إلى 87,268 كيلو متر مربع، ويبلغ تعدادها السكّاني ما يزيد عن 8.5 مليون نسمةً، ويشتقّ اسم أندلسيا كما تلفظ في الإسبانيّة من الكلمة العربيّة الأنلدس والتي تعني مسلمو إسبانيا أو مسلمو
فوائد عشبة الحرجل

فوائد عشبة الحرجل

دراسات علمية حول فوائد عشبة الحرجل أشارت إحدى الدراسات التي أجريت على الفئران ونُشرت في مجلة Journal of Ethnopharmacology عام 2019 إلى أنَّ استخدام مُستخلص عشبة الحرجل قد يُساعد على التحكّم في الوزن وتقليل خطر الإصابة بالسمنة. أظهرت دراسةٌ نُشرت في مجلة Current Pharmaceutical Biotechnology عام 2019 أنَّ عشبة الحرجل تمتلك خصائص مُضادة للأكسدة، وقد تُساهم في التقليل من أكسدة الدهون ، وزيادة نشاط الإنزيمات المُضادة للأكسدة. أشارت دراسةٌ نُشرت في مجلّة Journal of Science and Technology عام 2009
فوائد حبوب الزنك للحامل

فوائد حبوب الزنك للحامل

حبوب الزنك للحامل تعتبر حبوب الزنك من أهم العناصر والمكملات الغذائية، الضرورية للمرأة خلال فترة الحمل، حيث يعتبر الزنك من المعادن الأساسية في الجسم، والضرورية لتكوين، ونمو، وانقسام الخلايا بشكلٍ سليم، كما يعتبر من مضادات الأكسدة القوية، ويتوفر الزنك في النظام الغذائي، في اللحوم، والبازيلاء، واللفت، واللوز، والزنجبيل، والقمح، والفول السوداني، ويمكن أخذه على شكل مكملات غذائية على شكل حبوب، ولكن تجدر الإشارة إلى ضرورة استشارة الطبيب المختص قبل استهلاكها، وفي هذا المقال سنذكر أهميتها للحامل. فوائد
تلخيص كتاب الكون في قشرة جوز

تلخيص كتاب الكون في قشرة جوز

ملخص كتاب الكون في قشرة جوز مؤلف الكتاب هو العالم الفيزيائي ستيفن هوكنج ، وهو كتاب علمي، ترجم إلى عدة لغات، وترجمها إلى اللغة العربية مصطفى إبراهيم فهمي، يتألف الكتاب، من 221 صفحة، وقد فاز بجائزة من جوائز أفنتيس لكتب لعلوم عام 2002م. يناقش كتاب الكون في قشرة جوز عدد من النظريات علمية، متعلقة بالزمان والمكان النظريتين النسبيتين: العامة والخاصة، كما أنه يطرح تساؤلات عدة، عن احتمالية تطور العلم، والقدرة على السفر عبر الزمن إلى الماضي، أو التنبؤ بأحداث المستقبل. تاريخ موجز للنسبية يقدم هذا الجزء
أقوال عن الناس

أقوال عن الناس

كلمات عن الناس عظ الناس بفعلك، ولا تعظهم بقولك. كل الناس للفرد الواحد، والعكس بالعكس. لسان الناس كتاب على الأرض، فلا تهمل قراءته، ولا تصدق كل ما تقرأه فيه. من تكبر على الناس ذل. والناس من خوف الفقر في فقر، ومن خوف الذل في ذل. لا تمش في الناس إلا رحمة لهم، ولا تعاملهم إلا بإنصاف. لا تطلب سرعة العمل بل جودته، لأن الناس لا يسألونك في كم أنهيت منه، بل ينظرون إلى إتقان وجودة صنعه. هناك عظمة ما في أن نغادر المكان ونحن في قمة نجاحنا، إنه الفرق بين عامة الناس والأشخاص الاستثنائيين. الناس إلى العلم
طريقة عمل هيكل تنظيمي لشركة

طريقة عمل هيكل تنظيمي لشركة

الهيكل التنظِيميّ يمكن تعريف الهيكل التنظيميّ بأنّه: الطريقة التي يتمّ من خلالها تنظيم الموارد البشريّة في المُنظَّمة، أو المُؤسَّسة على شكل علاقات مُستقِرّة نسبيّاً، حيث يُمثِّل الهيكل التنظيميّ أنماط التفاعُل، والسلوك المُوجَّه، والتنسيق في سبيل تحقيق أهداف المُنظَّمة، كما يُمكن تعريفه بأنّه: المُحصّلة التي ترتبط وتتفاعل مع عنصرين أساسيّين، هما: النماذج، والإطار، وتُعرَّف النماذج بأنّها: جملة الاختيارات الاستراتيجيّة التي تعتمد عليها المُؤسَّسة ، أمّا الإطار: فهو مجموعة الظروف الموقفيّة التي
علاج ضغط الدم المنخفض

علاج ضغط الدم المنخفض

كيف يتم علاج ضغط الدم المنخفض؟ إنّ انخفاض ضغط الدم قد لا يحتاج إلى علاج إذا لم يُصاحبه أعراض، أما إذ تسبب في ظهور أعراض فعادًة ما يعتمد العلاج على المُسبب، على سبيل المثال إذا كان سبب انخفاض ضغط الدم تناول دواء معين، فقد يوصي الطبيب بتغيير العلاج أو إيقافه أو خفض الجرعة، أمّا إذا كان السبب لانخفاض الضغط غير واضح فهنا يهدف العلاج لرفع ضغط الدم وتخفيف الأعراض، وذلك بناءً على عمر المريض وحالته الصحية. وفيما يأتي بيان لطُرق علاج ضغط الدم المنخفض: تدابير منزلية لتخفيف أعراض ضغط الدم المنخفض إليك