قانون المساحة

قوانين المساحة لأهم الأشكال ثنائية الأبعاد

قانون مساحة المربع

مساحة المربع = (الضلع)^2

وبالرموز:

م = س × س

حيث أنّ:

• س: هي طول ضلع المربع

مثال: إذا كان طول ضلع المربع 5 سم، فإن مساحة المربع تساوي:

الحل:

• مساحة المربع = (5) = 25 سم

قانون مساحة المستطيل

مساحة المستطيل = حاصل ضرب الطول في العرض

وبالرموز:

م = س × ص

حيث أنّ:

• م: مساحة المستطيل
• س: طول المستطيل
• ص: عرض المستطيل

مثال: إذا كان طول المستطيل 4 سم، وعرضه 3 سم، فإن مساحة المستطيل تساوي:

الحل:

• مساحة المستطيل = 4 × 3 = 12سم

قانون مساحة المثلث

مساحة المثلث = حاصل ضرب نصف قاعدة المثلث في ارتفاعه.

مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

م = ½ × س × ع

حيث أنّ:

• م: مساحة المثلث
• س: هي طول قاعدة المثلث
• ع: هي طول العامود النازل من رأس المثلث إلى قاعدته (أي الارتفاع)

مثال: إذا كان طول قاعدة المثلث 4 سم، وكان ارتفاع المثلث 5 سم، فإن المساحة تساوي:

الحل:

• مساحته = ½ × س × ع = ½ × 4 × 5 = 10سم

قانون مساحة الدائرة

مساحة الدائرة = π × مربع نصف قطر الدائرة

وبالرموز:

م = π × نق²

حيث أنّ:

• م: مساحة الدائرة
• π: وتُلفظ باي (بالإنجليزية: Pi) = 3.14، 23/7
• نق: هو طول نصف قطر الدائرة

مثال: إذا كان نصف قطر الدائرة 2 سم، فإن مساحة الدائرة تساوي:

الحل:

• م= π × نق² = 3.14 × 4 = 12.56سم

قانون مساحة المعين

مساحة المعين = حاصل ضرب طول قاعدة المعين في ارتفاعه

وبالرموز:

م = س × ع

حيث أنّ:

• م: مساحة المعين
• س: قاعدة المعين
• ع: ارتفاع المعين

أو

مساحة المعين = نصف حاصل ضرب طولا قطريه

وبالرموز:

م = ½ × ق × ك

حيث أنّ:

• م: مساحة المعين
• ق: هو طول القطر الأول
• ك: هو طول القطر الثاني

مثال(1): إذا كان طول قاعدة المعين 3 سم، وارتفاعه 4 سم، فإن مساحة المعين تساوي:

الحل:

• مساحة المعين = 3 × 4 = 12 سم

مثال(2): إذا كان طول قطر المعين الأول 2 سم، وطول قطر المعين الثاني 3 سم، فإن مساحة المعين تساوي:

الحل:

• مساحة المعين= ½ × 2 × 3 = 3 سم

قانون مساحة متوازي الأضلاع

مساحة متوازي الأضلاع = حاصل ضرب القاعدة في طول العمود الساقط عليها

وبالرموز:

م = س × ع

حيث أنّ:

• م: مساحة متوازي المستطيلات
• س: قاعدة متوازي المستطيلات
• ع: ارتفاع متوازي المستطيلات

مثال: إذا كان طول قاعدة متوازي المستطيلات 5 سم، وكان ارتفاعه 6 سم، فإن مساحة متوازي المستطيلات:

الحل:

• المساحة = 5 × 6 = 30 سم

قانون مساحة شبه المنحرف

مساحة شبه المنحرف هو نصف حاصل جمع القاعدتين مضروب في الارتفاع بينهما.

مساحة شبه المنحرف = ½ × (طول القاعدة الأولى طول القاعدة الثانية)×الارتفاع

وبالرموز:

م = ½ × (أ ب) × ع

حيث أنّ:

• م: مساحة شبه المنحرف
• أ: قاعدة شبه المنحرف الأولى
• ب: قاعدة شبه المنحرف الأولى
• ع: ارتفاع متوازي المستطيلات

مثال: إذا كان طول قاعدتي شبه المنحرف 4 سم، 6 سم على التوالي، وكان ارتفاعه 5 سم، فإن مساحته تساوي:

الحل:

• مساحته = ½ × (4 6) × 5 = ½ × (10) × 5 = 25 سم

قوانين المساحة لأهم الأشكال ثلاثية الأبعاد

قانون مساحة المكعب

مساحة المكعب هي مُربّع أحد أضلاعه مضروبًا بالعدد 6.

مساحة المكعب = 6 × الضلع²

وبالرموز:

م = 6 × س²

حيث أنّ:

• م: مساحة المكعب
• س: ضلع المكعب

مثال: إذا كان طول ضلع أحد أوجه المكعب 2 سم، فإن مساحته تساوي:

الحل:

• المساحة = 6 × س² = 6 × (2 × 2) = 24 سم

قانون مساحة الكرة

مساحة الكرة هو أ ربع أضعاف مساحة الدائرة، ونصف قطرها يساوي نصف قطر الدائرة

وبالرموز:

م = 4 × π × نق²

حيث أنّ:

• م: مساحة الكرة
• π: وتُلفظ باي (بالإنجليزية: Pi) = 3.14، 23/7
• نق: هو طول نصف القطر

مثال: إذا كان نصف قطر الكرة 2 سم، فإن مساحتها تساوي:

الحل:

• مساحته = 4 × 3.14 × 4 = 50.24 سم

قانون مساحة الأسطوانة

مساحة الأسطوانة هو حاصل جمع المساحة الجانبية والقاعدتين العليا والسفلى، والمساحة الجانبية هي حاصل ضرب نصف القطر بباي والارتفاع.

وبالرموز:

م = م1 م2

حيث أنّ:

• م: هي مساحة الأسطوانة
• م1: هي المساحة الجانبية للأسطوانة
• م2: هي مساحة القاعدة الواحدة للأسطوانة

وتُحسب المساحة الجانبية للإسطوانة بالقانون الآتي بالرموز:

م1 = 2 × نق × π × ع

حيث أنّ:

• م1: هي المساحة الجانبية للأسطوانة
• π: وتُلفظ باي (بالإنجليزية: Pi) = 3.14
• نق: هو طول نصف قطر القاعدة
• ع: ارتفاع الاسطوانة

وتُحسب مساحة القاعدة الواحدة بضرب مربع نصف القطر في الثابت باي.

وبالرموز:

م2 = نق²×π

حيث أنّ:

• م2: هي مساحة القاعدة الواحدة للاسطوانة
• π: وتُلفظ باي (بالإنجليزية: Pi) = 3.14
• نق: هو طول نصف قطر القاعدة

و تكون المساحة الكلية للإسطوانة هي:

المساحة الكلية للاسطوانة = م = م1 م2

وبالرموز:

م = (2 × نق × π ×ع) (2 × نق²× π )

مثال: إذا كان نصف قطر قاعدة الاسطوانه 2 سم، وكان ارتفاعها 5 سم، فإن مساحتها تساوي:

الحل:

• مساحتها = (2 × 2 × π ×5) ( π × 4× 2 ) = (62.8) (25.12) = 87.92 سم

قانون المساحة الهرم

يختلف حساب مساحة الهرم بحسب عدد أوجهه، هرم ثلاثي أو رباعي أو خماسي، وتكون:

مساحة الهرم = مساحة قاعدة الهرم المساحة الجانبية للهرم

وبالرموز:

م = م1 م2

حيث أنّ:

• م1: هي مساحة قاعدة الهرم
• م2: هي مجموع مساحات أوجه الهرم

متال: إذا كانت طول ضلع قاعدة هرم رباعي 3 سم، وكان ارتفاعه 5 سم

الحل:

• مساحته = مساحة القاعدة مساحة الأوجه = (3 × 3) (4 × ½ × 3 × 5) = 39 سم

قانون المساحة المخروط

مساحة المخروط هو حاصل جمع مساحة قاعدة المخروط ومساحته الجانبية.

مساحة المخروط = مساحة القاعدة المساحة الجانبية

وبالرموز:

م = م1 م2

حيث أنّ:

• م1: هي مساحة قاعدة المخروط
• م2: هي المساحة الجانبية للمخروط

ولحساب مساحة قاعدة المخروط:

م1= π × نق²

حيث أنّ:

• م1: مساحة القاعدة
• π: وتُلفظ باي (بالإنجليزية: Pi) = 3.14
• نق: هو طول نصف قطر القاعدة

ولحساب المساحة الجانبية للمخروط:

م2 = π × نق × ع1

حيث أنّ:

• م2: هي مساحة المخروط الجانبية
• π: وتُلفظ باي (بالإنجليزية: Pi) = 3.14
• نق: هو طول نصف قطر القاعدة
• ع1: الارتفاع الجانبي المائل ويساوي (ع² نق²)√
• ع: ارتفاع المخروط

و تكون المساحة الكلية للمخروط هي:

م = (π × نق²) (π × نق × ع1)

حيث أنّ:

• م1: هي مساحة قاعدة المخروط
• π: وتُلفظ باي (بالإنجليزية: Pi) = 3.14
• نق: هو طول نصف قطر القاعدة
• ع1: الارتفاع الجانبي المائل

مثال: إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط 2 سم، وكان ارتفاعه 5 سم

الحل:

• الارتفاع الجانبي ع1 = (25 4 )√ = 29√ = 5.39 سم
• مساحة المخروط = (π × 4) ( π × 2 × 5.39) = 12.57 33.87 = 46.44 سم

حساب مساحة الأشكال غير المنتظمة

يُمكن حساب مساحة الأشكال غير المنتظمة (بالإنجليزية: compound shapes) باستخدام قوانين المساحة للأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد إذا كان الشكل الهندسي غير المُنتظم بسيطاً ومكوناً من أضلاع مستقيمة أو أجزاء دائرية، كالآتي:

• تقسيم الشكل الهندسي غير المنتظم إلى أشكال هندسية بسيطة منتظمة كالمربع، أو المستطيل، أو المثلث، أو شبه المنحرف، أو الدائرة، أو جزء من الدائرة.
• حساب مساحة كل شكل هندسي على انفراد، ثم جمع المساحات معاً لإيجاد المساحة الكلية للشكل غير المنتظم.

أما الشكل غير المنتظم والمكوّن من منحنيات، فتُحسب مساحته باستخدام قوانين أكثر تعقيدًا تسمى قوانين التكامل، وهي عبارة عن عملية حسابية تعتمد على تقسيم مساحة الشكل المحصور داخل المُنحنى والذي يُسمّى رياضياً مُنحنى الاقتران إلى قطع صغيرة ذات أشكال منتظمة، ونقوم بحساب مساحة جميع القطع ثم جمعُها، لنحصل على مساحة شبه دقيقة للشكل الكُلّي، ويُطلق على هذه الطريقة اسم مجموع ريمان.

لحساب مساحات الأشكال الهندسية أهمية كبيرة في حياتنا العملية، ويُمكن حساب مساحات الأشكال المنتظمة باستخدام قوانين رياضية معيّنة، تُستخدم بناءً على الشكل، وهناك أيضًا الأشكال الهندسية المركبة أو غير المنتظمة، التي يتم حساب مساحتها بعد تقسيمها إلى أشكال هندسية بسيطة وحساب مساحة كل شكل على حدى، ثم جمع هذه المساحات، أما بالنسبة للأشكال غير المنتظمة ذات المنحنيات، فطريقة حساب مساحتها تعتمد على قوانين التكامل التي تعتمد على تقطيع الشكل داخل حدود المنحنى إلى قطع منتظمة؛ للحصول على المساحة الكلية من مجموع المساحات الصغيرة.