قانون التوزيع في الضرب

كيفية استخدام خاصيّة التوزيع في الضرب

يعتبر قانون التوزيع (بالإنجليزية: Distributive Law) في الرياضيات قانوناً متعلقاً بعمليات الضرب والجمع، فهو من خصائص عملية الضرب ، ويتّضح من هذا القانون أن نتيجة جمع مجموعة من الأعداد ثم ضرب ناتج جمعهم بعدد آخر هي ذاتها نتيجة ضرب كل عدد منها على حدى بهذا العدد ثمّ جمع النواتج، ويعبّر عن هذا القانون بالرموز:

أ×(ب ج) = أ×ب أ×ج

إذ إن؛

• أ: العدد الأول.
• ب: العدد الثاني.
• ج: العدد الثالث.

حيث يُوزَّع التعبير الجبري الأحادي أ على كل حد من حدود التعبير الجبري ذي الحدين (ب ج)، لينتج من ذلك: أ×ب أ×ج، وباختصار يمكن التعبير عن هذا القانون بأنه ضرب ما هو خارج الأقواس بكل ما هو داخلها.

استخدامات قانون التوزيع في الضرب

لقانون التوزيع استخدامات عدة في المسائل الرياضية، ومن هذه الاستخدامات ما يلي:

الرياضات الذهنيّة

يساعد قانون التوزيع في الرياضيات الذهنية؛ حيث يساعد الأطفال في إيجاد حاصل ضرب الأعداد الكبيرة في أذهانهم دون الحاجة لكتابتها على الورق؛ فمثلاً لإيجاد حاصل ضرب العددين 53×4 يمكن استخدام قانون التوزيع لتصوّر المسألة على شكل: 53×4=4×(50 3)=4×50 4×3، ممّا يجعل من السهل على الطالب ضرب 4×50 و 4×3 وإيجاد حاصل الضرب للعمليتين على حدة، ثم جمع النواتج والوصول إلى النتيجة النهائية ببساطة كما يأتي: 200 12= 212.

تبسيط التعابير الرياضية المعقدة

يساعد على تبسيط التعابير الرياضية المعقدة إلى أجزاء أصغر؛ حيث يمكن استخدام قانون التوزيع في إيجاد حاصل ضرب وقسمة كثيرات الحدود (بالإنجليزية: Polynomial)، والتي هي عبارة عن تعابير جبرية تضم أعداداً حقيقية ، ومتغيرات، ولضرب وقسمة أحاديات الحد (بالإنجليزية: Monomial) كذلك، والتي هي عبارة عن تعابير جبرية تضم حداً واحداً فقط، وذلك كما يأتي:

• ضرب أحادي الحد بكثيرات الحدود: يمكن ضرب أحادي الحد بكثيرات الحدود عن طريق اتباع ثلاث خطوات بسيطة هي:
  • ضرب الحد الخارجي بالحد الأول داخل القوس.
  • ثم ضربه بالحد الثاني داخل القوس.
  • ثم جمع النواتج؛ فمثلاً يمكن كتابة س(2س 10) على شكل: 2س² 10س.
• إيجاد حاصل ضرب ذوات الحدين: يمكن كذلك استخدام قانون التوزيع لإيجاد حاصل ضرب ذوات الحدين (بالإنجليزية: Binomials)، وذلك كما يأتي: (س ص)(س 2ص)=س(س 2ص) ص(س 2ص)=س² 2س ص س ص 2ص²= س² 3س ص 2ص²

ملاحظة: لا ينطبق قانون التوزيع على عمليات الطرح والجمع أو القسمة؛ فمثلاً (4 8)/24=24/12=2 ولا يساوي 24/4 24/8=6 3=9 عند تطبيق قانون التوزيع على القسمة.

أمثلة متنوعة على قانون التوزيع في الضرب

وفيما يأتي أمثلة متنوعة على قانون التوزيع في الضرب:

أمثلة على حل المسائل الحسابية

المثال الأول: احسب ناتج 3×(2 4).

الحل:

• الحل دون استخدام قانون التوزيع: 3×(2 4)=3×(6)=18
• الحل باستخدام قانون التوزيع: 3×(2 4)= 3×2 3×4=6 12=18، وهي النتيجة ذاتها.

المثال الثاني: احسب ناتج 204×6 باستخدام قانون التوزيع.

الحل: 6×204=6×(200 4)=6×200 4×6=1200 24=1224

المثال الثالث: أرادت سارة حل إحدى المسائل الرياضية بالطريقة الآتية: 40/9= (5 4)/40 =4 /40 5 /40 =10 8=18، هل ما فعلته سارة صحيح.

الحل: ما فعلته سارة كان خاطئاً، لأن قانون التوزيع لا ينطبق على القسمة، والصحيح هو حل المسألة بالقسمة الطويلة؛ لينتج أن 40/9=4.444.

المثال الرابع: جد نتيجة: 5×(6 2-4).

الحل: 5×(6 2-4)=5×6 5×2-5×4=30 10-20=20.

المثال الخامس: جد نتيجة: 3×(6 7).

الحل: 3×(6 7)=3×6 3×7=18 21=39.

المثال السادس: جد نتيجة 7×997 باستخدام قانون التوزيع.

الحل: 7×997=7×(1000-3)=7000-21=6979.

المثال السابع: جد نتيجة 3×1309 باستخدام قانون التوزيع.

الحل: 3×1309=3×(1000 3 9)=3000 9 27=3927.

أمثلة على تبسيط التعابير الجبرية

المثال الأول: اكتب ما يلي باستخدام قانون التوزيع: 5س(3س² 2س-4).

الحل: 5س(3س² 2س-4)=5س 10س²-20س.

المثال الثاني: بسّط التعبير الآتي باستخدام قانون التوزيع 4أ(3أ-أ²).

الحل: باستخدام قانون التوزيع: 4أ(3أ-أ²)=12أ-4أ

المثال الثالث: جد حاصل ضرب: (س 3)(س-2).

الحل: (س 3)(س-2)=س²-2س 3س-6=س² س-6.

المثال الرابع: جد حاصل ضرب: (س² 2)(س-1).

الحل: (س² 2)(س-1)=س-س² 2س-2.

المثال الخامس: جد حاصل ضرب: (4س-ص 4)(س 2ص-3)، وجد معامل ص في النهاية بعد تبسيط المسألة.

الحل: (4س-ص 4)(س 2ص-3)=4س² 8س ص-12س-س ص-2ص² 3ص 4س 8ص-12، وبعد تبسيط المسألة: 4س²-2ص² 7س ص-8س 11ص-12، ومنه يتضح أن معامل ص هو 11.

المثال السادس: إذا كانت قيمة ب ج=15، أ-د=4، جد قيمة: أب-ج د أج-ب د.

الحل:

• أولاً: إعادة ترتيب المسألة لتصبح: أب-ب د أج-ج د.
• ثانياً: إخراج (ب) كعامل مشترك من أول حدين، و (ج) كعامل مشترك من الحدين الأخيرين، لينتج أن: أب-ب د أج-ج د= ب(أ-د) ج(أ-د).
• ثالثاً: إخراج (أ-د) كعامل مشترك لينتج أن: ب(أ-د) ج(أ-د)=(أ-د)(ب ج)، وبتعويض القيم من المعطيات ينتج أن: (أ-د)(ب ج)=4×15=60.

المثال السابع: بسّط التعبير الآتي باستخدام قانون التوزيع: (س² س 1)(س²-س-1). 

الحل: (س² س 1)(س²-س-1)=س-س-س² س-س²-س س²-س-1=س-س²-2س-1.

المثال الثامن: هل: (س² ص²)√=(س ص).

الحل: (س² ص²)√≠(س ص؛ فقانون التوزيع لا ينطبق على الجمع، ولإثبات ذلك نفترض أن س=3، ص=4، وتعويض القيم في التعبير الجبري الأيمن: (س² ص²)√=(3² 4²)√=5، وتعويض القيم في التعبير الثاني: س ص=3 4=7، ومنه ينتج أن: 3 4≠(3² 4²)√.