طرق حل المعادلة الأسية

طرق حل المعادلة الأسية

طرق حل المعادلات الأسية

  • المعادلات الأُسيّة التي لها نفس الأساس: هي المعادلة التي يكون فيها الأساس متساوياً على طرفي إشارة التساوي، ومن الأمثلة على ذلك 4 = 4 ، ويتم حلها من خلال استخدام الحقيقة التي تنص على أنه عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى تلقائياً، وبالرموز:
    • إذا كانت المعادلة على الصورة أ = ب ، وكان أ=ب، فإن س=ص.
      • ما هو ناتج حل المعادلة الأسية الآتية: 5 =5 ؟
      • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس تتساوى، وعليه: 3س=7س-2، وبحلها كالمعادلات الخطية بطرح (3س) من الطرفين، ينتج أن: 2 = 4س، ومنه: س= 1/2، ويمكن التحقق من الحل بتعويض قيمة س بطرفي المعادلة.
في بعض الأحيان إذا كانت الأساسات غير متساوية فإنه يمكن إعادة كتابة المعادلة الأسية لتصبح الأساسات متساوية فيها، وذلك إذا اشتركت فيما بينها بعامل مشترك، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
مثال: جد قيمة س في المعادلة الآتية: 27 = 9 .
يُلاحظ من المثال السابق أن الأساسات غير متساوية، ولكن العددين 27، و9 بينهما عامل مشترك، وهو 3، حيث إن: 27 = 3 ،9 = 3.
بتعويض هذه القيم في المعادلة الأسية فإن: (3) = (3)، وبتوزيع الأسس على القوس فإن: 3 = 3 .
بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإن الأسس تتساوى كما يلي: 12س 3 =4س، وبحل المعادلة الخطية ينتج أن: 8س=-3، س = 3/8-.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى

  • المعادلات الأُسيّة التي ليس لها نفس الأساس: هي المعادلة التي تختلف في أساساتها، ويُصعب إعادة كتابتها لتصبح الأساسات متساوية فيها؛ مثل 7 = 9، أي لا يمكن فيها إعادة كتابة الأساس بشكل آخر ليصبح متساوياً في النهاية، وعليه فإننا نحتاج إلى طريقة أخرى جديدة حتى نتمكن من حلها، والتي تتمثل باستخدام اللوغاريتمات، وذلك كما يلي:
    • إذا كانت المعادلة الأُسيّة على صورة: أ =جـ، فإنه يمكن حلها بإخال اللوغاريتم على الطرفين كما يلي: لو أ = لو جـ؛ حيث: أ، جـ: ثوابت، س: متغير.
    • ووفق خصائص اللوغارتيمات فإن: لو أ = س لو أ = لو جـ ، ومن الجدير بالذكر أنه قد يختلف أساس اللوغاريتم فقد يكون العدد 10، أو قد يكون العدد النيبيري هـ فيصبح لوهـ، أو ما يعرف باللوغاريتم الطبيعي، ولتوضيح هذه الطريقة نطرح المثال الآتي:
      • مثال: ما هو حل المعادلة الأسية الآتية: 4 =25 ؟
        • يصعب إعادة كتابة المعادلة السابقة لتصبح الأساسات فيها متساوية، وبالتالي يتم إدخال اللوغاريتم على الطرفين كما يلي: لو 4=لو25، ووفق خاصية: لو أ = س لو أ فإن: (س 3) لو 4 = لو 25.
        • جعل المتغير س على طرف لوحده، وذلك بقسمة الطرفين على لو4 لينتج أن: 3 س = لو25/ لو4، ثم بطرح العدد 3 من الطرفين لينتج أن: س= لو25/ لو4 - 3.
        • باستخدام الآلة الحاسبة فإن: لو25= 1.3979، لو4 = 0.602، وبتعويض هذه القيم يمكن حساب قيمة س كما يلي: س = 1.3979/0.602-3= 2.322 - 3= -0.678.
  • حل المعادلات الأسية التي تتضمن أعداداً صحيحة: في بعض الأحيان يمكن أن تحتوي المعادلة الأسية على أعداد صحيحة منفردة، تفصل بينها وبين التعابير الأسية إشارة طرح أو جمع، ولحلها يجب أولاً إعادة ترتيبها بجعل الأعداد الصحيحة لوحدها على طرف، والتعابير الأسية لوحدها على الطرف الآخر، وذلك ينطبق على الحالتين السابقتين؛ أي في حال حل المعادلات التي تتشابه في الأساس أو التي تختلف فيه؛ حيث يجب دائماً البدء بحل المعادلة بعد التأكد من أن التعابير الأسية تقع لمفردها على طرف، والثوابت الأخرى التي لا تحمل أسساً تقع على طرف آخر، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
    • مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 3-2 = 79؟
      • لحل هذه المعادلة يجب أولاً طرح العدد 2 من الطرفين لينتج أن: 3= 79 2، 3=81.
      • بما أن العدد 81 هو عبارة 3×3×3×3؛ أي 3، فإنه يمكن حل المعادلة عن طريق توحيد الأساس، وذلك كما يلي: 3=3 ، وبالتالي بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإن الأسس تتساوى كما يلي: س-5 = 4، وبحل هذه المعادلة فإن س= 9.

أمثلة متنوعة على حل المعادلات الأسية

  • المثال الأول: ما هو حل المعادلة الأسية: 3=27؟
    • الحل:
    • يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات فيها متساوية، وذلك كما يلي: 3 = 3
    • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أيضاً، وبالتالي: 2س-1 = 3، 2س = 4، س = 2
  • المثال الثاني: ما هو حل المعادلة الأسية: 4 = 8؟
    • الحل:
    • إعادة كتابة المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي:
      • بما أن 2² = 4، فإن 2 = 8، وبما أن 2³ = 8 فإن: 2 = ³2، وبتوزيع الأس على القوس فإن 2=3.
    • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية، وبالتالي: 4س² 4س= 3، ثم وبترتيب المعادلة التربيعية كما يلي 4س² 4س-3= 0، ثم حلّها بطريقة التحليل إلى عواملها فإن (2س-1)(2س 1) = 0، ينتج أن س لها قيمتان هما: س= 1/2، س= -1/2.
  • المثال الثالث: ما هو حل المعادلة الأسية: 2 - 3 = 0؟
    • الحل:
    • إعادة ترتيب المعادلة كما يلي: 2 = 3.
    • إدخال اللوغاريتم الطبيعي لوهـ على الطرفين، وذلك لأن الأساسات غير متساوية كما يلي:
      • لوهـ 2 = لوهـ 3، ووفق خاصية: لو أ = س لو أ ، فإن: (4ص 1)لوهـ 2 = ص لوهـ 3، 4ص لوهـ 2 لوهـ 2 = ص لو هـ 3.
    • بإعادة ترتيب هذه المعادلة، وإخراج ص عامل مشترك ينتج أن:
      • ص = - لو هـ 2 / (4لو هـ 2 - لو هـ 3)، وباستخراج قيم لوهـ 2، لوهـ 3 من الآلة الحاسبة، ينتج أن: ص= -0.6931/ (4×(0.6931)-(1.0986))، ومنه: ص = -0.4140.
  • المثال الرابع: ما هو حل المعادلة الأسية: هـ = 2؟
    • الحل:
    • بإدخال لوهـ على الطرفين فإن:
      • لوهـ هـ = لوهـ 2، ولأن لو أ = س لو أ، ولوهـهـ = 1؛ فإن: س 6= لوهـ(2)، ومنه: س = -5.306.
  • المثال الخامس: ما هو حل المعادلة الأسية: 1/2 (10 ) 3 = 53؟
    • الحل:
    • إعادة توزيع الأس (س) على القوس ينتج ما يلي:
      • 1/2 (10 ) 3 = 53
    • ترتيب المعادلة الأسية وجعل الأس على طرف لوحده، وذلك بطرح العدد 3 من الطرفين لينتج أن: 1/2 (10 )=50، وبضرب الطرفين بالعدد 2 ينتج أن: 10=100.
    • جعل الأساسات متساوية كما يلي:
      • 10²=10()، وبما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أيضاً، وبالتالي 2 = س²-س.
      • إعادة ترتيب المعادلة التربيعية، وإيجاد عواملها كما يلي: س²- س-2 = 0، (س-2)(س 1) = 0، وبالتالي فإن س لها قيمتان هما: س= 2، أو س= -1.

لمزيد من المعلومات حول كيفية حل المعادلة التربيعية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة التربيعية

  • المثال السادس: ما هو حل المعادلة الأسية: 7 = 20؟
    • الحل: بما أن الأساسات غير متساوية، وبالتالي فإنه يمكن حل هذه المعادلة عن طريق إدخال اللوغاريتم على الطرفين، وذلك كما يلي:
      • 7 = 20، لو 7 = لو 20، ولأن لو أ = س لو أ فإن: س لو 7 = لو 20، ومنه: س = لو20/ لو7
      • استخراج قيمة كل من لو20، ولو7 باستخدام الآلة الحاسبة لينتج أن س= 1.539 تقريباً.
  • المثال السابع: ما هو حل المعادلة الأسية (1/25) - 1 = 124؟
    • الحل:
    • لحل هذه المعادلة يجب ترتيبها أولاً كما يلي:
      • إضافة العدد واحد إلى الطرفين لينتج أن: (1/25)=125
    • إعادة كتابة المعادلة (1/25)=125 لتصبح الأساسات متساوية كما يلي:
      • 5=5
      • بتوزيع العدد -2 على القوس فإن: 5 =5.
    • بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإنه الأسس متساوية كما يلي:
      • -6س 8 = 3، ومنه: -6س=-5، ومنه: س = 5/6.
  • المثال الثامن: ما هو حل المعادلة الأسية هـ-7هـ 10=0؟
    • الحل:
    • يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة كما يلي:
      • (هـ )-7 (هـ ) 10=0
      • نفرض أن هـ = م، وبتعويضها في المعادلة فإنها تُصبح معادلة تربيعية: م²-7م 10= 0.
      • بحل هذه المعادلة فإن: (م-5)(م-2) = 0، وهذا يعني أن م=5، أو م= 2.
    • لكن المراد هو إيجاد قيمة س في هـ ، ويتم إيجادها كما يلي:
      • هـ = 5، وبإدخال لو هـ على الطرفين فإن: لوهـ هـ = لو هـ 5، ومنه:
      • س = لوهـ 5= 1.6097 تقريباً.
      • هناك قيمة أخرى ل هـ ، وهي هـ = 2، ويتم حلها كما يلي:
      • بإدخال لو هـ على الطرفين فإن لو هـ هـ = لوهـ 2، ومنه:
      • س = لوهـ 2= 0.6932 تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقالات الآتية: حل جملة معادلتين ، كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة ، طرق حل المعادلات بالمصفوفات .

نظرة عامة حول المعادلات الأسية

يمكن تعريف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها حالة خاصة من المعادلات، وهي المعادلة التي يكون فيها الأُس عبارة عن متغير، وليس ثابتاً، والصورة العامة لها هي: أ = ب ، حيث:

  • س، وص: هي الأُسس في المعادلة الأسية، وتضم المتغيرات التي يكون حل المعادلة الأسية عادة بإيجاد قيمها؛ حيث تضم المعادلة الأسية عادة متغيراً واحداً فقط.
  • أ، وب: هي عبارة عن ثوابت، وتُمثّل الأساس في المعادلة الأسية.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلات الجبرية

6رياضيات
مزيد من المشاركات
ما هي أضرار كريم الأساس

ما هي أضرار كريم الأساس

أضرار كريم الأساس يعتبر كريم الأساس أحد مستحضرات التجميل الهامة والأكثر استخداماً وشيوعاً لدى النساء، فهو يساعد على إخفاء كل العيوب في الوجه، ويعطي نضارة للوجه لهذا السبب يتم استخدامه بشكل يومي، ولكن يوجد الكثير من المضار التي تنتج عن استخدام كريم الأساس ومنها: الجفاف: يعتبر استخدام كريم الأساس الذي يحتوي على مواد كميائية أحد أسباب جفاف البشرة، ويؤدي إلى تقشير البشرة وشحوب في الوجه. انسداد المسام وحب الشباب: إنّ وضع كريم الأساس على البشرة بكثرة سوف يؤدي إلى انسداد المسام وعدم قدرة البشرة على
تعريف الابتكار

تعريف الابتكار

تعريف الابتكار تعريف الابتكار بناءً على السمات المحددة للشخصية تتعدد تعريفات الابتكار وفقاً للمدارس الفكريّة، ووجهات نظر الباحثين، واتجاهاتهم، حيث تم تعريف الابتكار وفقاً لاعتبارات عديدة، ومن تعريفات الابتكار بناءً على السمات المحددة للشخصية سواءً كانت صفات عقلية أم وجدانية ما جاء به سيمبسون، حيث عرّف الابتكار بأنّه ما يبديه المرء من قدراتٍ للتخلص من نمط التفكير العادي، واتّباع نهجٍ جديد في التفكير، وأشار إلى أنّه عند الاهتمام بالابتكار يجب البحث عن الأشخاص الذين يملكون العقول القادرة على
أبيات شعر عن الحياة

أبيات شعر عن الحياة

إن الحياة صراع يقول أبو القاسم الشابي : إنَّ الحياة َ صِراعٌ فيها الضّعيفُ يُداسْ ما فَازَ في ماضِغيها إلا شديدُ المراسْ للخِبِّ فيها شجونٌ فَكُنْ فتى الإحتراسْ الكونُ كونُ شفاءٍ الكونُ كونُ التباسْ الكونُ كونُ اختلاقٍ وضجّة ٌ واختلاسْ سِيَّان عندي فيه السرورُ والابتئاسْ بين النوائبِ بونٌ للنّاس فيه مزايا البعضُ لم يدرِ إلا البِلى ينادي البلايا والبعضُ مَا ذَاقَ منها سوى حقيرِ الرزايا إنَّ الحياة َ سُبَاتٌ سينقضي بالمنايا وما الرؤى فيه إلّا آمالُنَا، والخَطايا فإن تيقّظَ كانتْ بين الجفون بقايا
كيف يتم قطع الحبل السري

كيف يتم قطع الحبل السري

الحبل السري الحبل السري هو القناة التي تصل الجنين بالمشيمة داخل الرحم، وظيفته هي تزويد الجنين بالغذاء، ونقل فضلاته، مثل ثاني أكسيد الكربون إلى الدورة الدموية للأم، ويبلغ طوله حوالي 50سم، وقطره حوالي 2سم، وتعتمد كمية الدم الواصلة إلى الجنين عبر الحبل السري على وزنه، فكلما زاد وزن الجنين زادت كمية الدم المتدفقة إليه عبر الحبل السري، ويُقطع الحبل السري بعد الولادة مباشرةً، حيث تبدأ بعدها معظم أعضاء الجنين بالعمل، مثل الكبد، والرئة، والكلى. تركيب الحبل السري يتكون الحبل السري من شريانين، ووريد
كلام في علم النفس عن الحزن

كلام في علم النفس عن الحزن

كلمات الحكماء عن الحزن فيما يأتي كلمات الحكماء عن الحزن: الأمل يخفف الدمعة التي يسقطها الحزن - علي بن أبي طالب. حين يغمرك الحزن تأمل قلبك من جديد، فسترى أنك في الحقيقة تبكي مما كان يوماً مصدر بهجتك - جبران خليل جبران . الحزن يقلق والتجمل يردعُ والدمع بينهما عصيّ طيّع يتنازعان دموع عينِ مسهدٍ هذا يجيء بها وهذا يُرجع - أبو الطيب المتنبي. الدموع ليست هي الحزن ،الحزن هو أن تستطيع أن تمنع نفسك من أن تبكي أمام أحد من أجل هذا الأحد - إبراهيم نصر الله. لم يعد للقلب من هم يحمله منذ دفن في التراب أعز ما
أجمل دول العالم

أجمل دول العالم

أجمل دول العالم في ما يأتي قائمة مُرتَّبة تنازُليّاً بأجمل الدُّول حول العالَم؛ بالاعتماد على ما يُفضِّله الناس في الدُّوَل التي يريدون زيارتها، كالمناظر الطبيعيّة، والجُزر النظيفة، والريف الهادئ، والقِمم الجبليّة، وذلك على النحو الآتي: الدولة اسكتلندا كندا نيوزيلندا إيطاليا جنوب أفريقيا إندونيسيا إنجلترا آيسلندا الولايات المُتَّحِدة الأمريكيّة ويلز سلوفينيا المكسيك الهند فنلندا سويسرا البيرو النرويج أيرلندا كرواتيا فيتنام اسكتلندا تحتلُّ اسكتلندا (بالإنجليزيّة: Scotland) المرتبة الأولى بين
ترشيد استهلاك الكهرباء في المدرسة

ترشيد استهلاك الكهرباء في المدرسة

ترشيد استهلاك الكهرباء في إضاءة المدرسة هناك العديد من الإجراءات التي يجب اتباعها لترشيد استهلاك الكهرباء في المدرسة، منها ما يأتي: الاستفادة من ضوء الشمس الطبيعي يُمكن للمدارسِ التي ما زالت قيد الإنشاء أو التي تمر بمرحلة تطوير أو إعادة تأهيل، استخدام وتبنّي التصاميم الحديثة التي تدعم استخدام الضوء الطبيعي، حيث أثبتت العديد من الدراسات أنّ ضوء الشمس الطبيعي يُساعد الطلبة على أن يكونوا أكثر تركيزاً ويقظة وفي حالة مزاجية جيدة، كما أنّه يُنشئ بيئة تعليمية مريحة وملائمة من الناحية النفسية، ومن
من هم أهل الذمة

من هم أهل الذمة

أهل الذمة يُطلق مصطلح الذمّة على العهد، أو الأمان، أو الكفالة، ومن ذلك قول الرسول صلى الله عليه وسلم: (المسلمون تتكافأُ دماؤُهم ويسعى بذمَّتِهم أدناهم)، وتُطلق الذمة أيضاً على الحقّ والحُرمة، وتُميّز عند الفقهاء بأنها الحالة التي يصبح فيها الإنسان أهلاً لوجوب الحق له أو عليه كأن يُقال: "في ذمَّتي كذا"، أمّا أهل الذمة بالنظر إلى الديانات المختلفة فهم المعاهَدون من أهل الكتاب، أي من اليهود والنصارى إن كانت إقامتهم في دار الإسلام، وأطلق عليهم أهل الذمة لأنّهم عاهدوا المسلمين ودخلوا في أمانهم