شرح الأسس النسبية
الأسس النسبية أو الكَسْرِيّة ( Fractional Exponents): هي الأسس التي يكون فيها الأس كَسْرًا، مثل:
س^1÷2
- حيث نسمي الرمز س في المثال السابق "الأساس "(base)، ونسمي الكسر (1÷2) "الأس"
مثال: ميِّز الأساس من الأس في الأمثلة التالية:
س^4÷7 《س: الأساس، (4÷7): الأس》 ص^5÷8 《ص:الأساس، (5÷8): الأس》
ع^1÷3 《ع: الأساس، (1÷3): الأس》
قواعد لحل المسائل في الأسس النسبية
تفيد القواعد التالية عند إجراء عمليات حسابية للأسس ، أو عندما نقوم بتبسيط الأسس:
- بشكلٍ عامٍّ تُعَبِّر الأسس عن عدد مرات مضاعفة الأساس، فعندما نقول 10^3 فهذا يعني أن الأساس(10) مضاعفٌ3 مرات، أي أنّ:
10^3 = 10×10×10=1000
أما الأسس النسبية، فهي وسيلة للتعبير عن قوة الجذر للأساس، وتكون قوة الجذر مساوية للرقم الذي في مقام (المقسوم عليه) الأس، مثلًا: عندما نرفع الأساس (10) للأس (1\3) فإنها تساوي الجذر التكعيبي للرقم 10
لتوضيح المسألة، انظر الجدول التالي:
| الأس | قوة الجذر | مثال |
| 1\2 | الجذر التربيعي | 81^(1\2)= 9 |
| 1\3 | الجذر التكعيبي | 125^(1\3)= 5 |
| 1\4 | الجذر الرابع | 81^(1\4)= 3 |
| 1\5 | الجذر الخامس | 32^(1\5)= 2 |
- عند إجراء عملية ضرب ، ننظر للأساس فإن كان متشابهًا، نجمع الأسس، ونُبقي الأساس كما هو، انظر الأمثلة التالية:
مثال أ: س^(1÷2) × س^(1÷4)= س^(3÷4)
مثال ب: 64^(1÷6) × 64^(1÷2) = 64^(4÷6) = 64^(2\3)= مربع الجذر التكعيبي للرقم 64 =4^2 = 16
عند إجراء عملية القسمة، ننظر للأسس فإن كانت متساوية، نطرح أس المقسوم عليه (المقام في الأساس) من أس المقسوم (البسط)، على النحو التالي:
س^أ ÷ س^ب = س^(أ- ب)
مثال أ: س^(4\7) ÷ س^(1\7) = س^(3\7)
- إذا كانت الأساسات مختلفة والأسس متشابهة، تُجْرى العمليات الحسابية وفق القاعدتين التاليتين:
قاعدة: س^أ × ص^أ= (س ص)^أ
قاعدة: س^أ ÷ ص^أ= (س÷ص)^أ
أمثلة:
مثال ج: س^(1÷2) ÷ ص^(1÷2)= (س÷ ص)^(1÷2)
مثال د: س^(8\15) × ص^(8\15)= (س ص)^(8\15)
- إذا كان كلٌّ من الأساسات والأُسس على جزأي العملية الحسابية غير متساويين، فليس هناك من طريقة لتبسيط شكل الأسس، مثل:
س^أ × ص^ب
الأسس النسبية السالبة
القاعدة الأساسية في الأسس النسبية السالبة هي:
س^(-أ)= 1\س^أ
1\س^(-أ)= س^أ
مثال هـ: جِد ناتج كلٍّ مما يلي بأبسط صورة:
4^(-2\4) 32^(-1\5) - (1÷ س^(-4))
الحل:
نحل كل طرف من المعادلة ثم نجمع
4^(-2\4)= 4^(-1\2)= 1÷ 4^(1\2)= 1÷2= 1\2
32^(-1\5)= 1÷32^(1\5)= 1÷2= 1\2
1÷ ( س^(-4))= س^4
نجمع النواتج:
1\2 1\2 س^4= 1 (س^4)
تمارين
احسب ناتج كل مما يلي:
تمرين1:
18^(5\10) ÷ 2^(1÷2)
(* ننتبه لتوحيد المقامات عند اختلاف المقام في القسمة، وهنا 5\10=1\2)
الحل) = (18÷2)^(1\2)
= 9^(1\2)= 3
تمرين2:
1000^(5\3) ÷ 1000^(6\9)
الحل
نوحد المقامات في الأسس على النحو التالي:
نضرب البسط والمقام في الكسر(5\3) بالرقم 3
ثم نطرح الأسس لأن الأساس متشابه
15\9 - 6\9= 9\9= 1
1000^(9\9) = 1000^1=1000
