خصائص الوسط الحسابي

ما هي خصائص الوسط الحسابي؟

يتميز الوسط الحسابي بمجموعة من الخصائص، وهي:

• مجموع جميع انحرافات كل قيمة من القيم عن الوسط الحسابي تساوي دائماً صفر، وبالرموز فإن: (س-ل)∑ = 0؛ حيث الإشارة (Σ) تعني المجموع، ل: الوسط الحسابي، س: أي قيمة من القيم، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
  • مثال: إذا كان لدينا مجموعة من القيم: 10، 20، 30، 40، 50:
  • فإن الوسط الحسابي لهذه القيم = (10 20 30 40 50)/5 = 30.
  • يمكن إيجاد مجموع انحراف هذه القيم عن الوسط الحسابي كما يلي: (10-30) (20-30) (30-30) (40-30) (50-30) = -20 -10 0 10 20 = 0.

• مجموع مربع انحرافات كل قيمة من القيم عن الوسط الحسابي يمثل دائماً أقل قيمة ممكنة؛ أي أنه يقل دائماً عن مجموع مربع انحرافات كل قيمة من القيم عند حسابه بالنسبة إلى أية قيمة أخرى غير الوسط الحسابي.
  • مثال: إذا كان لدينا مجموعة من القيم: 10، 20، 30، 40، 50:
  • فإن الوسط الحسابي لهذه القيم = 30.
  • يمكن إيجاد مجموع مربع انحراف هذه القيم عن الوسط الحسابي كما يلي: (10-30)² (20-30)² (30-30)² (40-30)² (50-30)² = (-20)² (-10)² (0)² (10)² (20)² = 1000.
  • لو اخترنا قيمة أخرى غير الوسط الحسابي مثل: 50 مثلاً، فإن مجموع مربع انحراف هذه القيم عنها كما يلي: (10-50)² (20-50)² (30-50)² (40-50)² (50-50)² = (-40)² (-30)² (-20)² (10-)² (0)² = 3000، وهو أكبر من القيمة السابقة، وكذلك الحال بالنسبة لأية قيمة أخرى يتم اختيارها.

• يتأثر الوسط الحسابي بالقيم المتطرفة، أو القيم الكاذبة، وهي التي تكون قيمتها مرتفعة جداً، أو منخفضة جداً.

• يتأثر الوسط الحسابي بكل قيمة من القيم داخل العينة.

• لا يشترط أن تكون قيمة الوسط الحسابي ضمن مجموعة القيم داخل العينة؛ أي مساوية لأية قيمة منها.

• لا يشترط للوسط الحسابي أن يكون عدداً صحيحاً حتى لو كانت جميع القيم داخل العينة أعداداً صحيحة.

• تقع قيمة الوسط الحسابي دائماً بين أعلى وأقل قيمة، ولا يُشترط له أن يقع في المنتصف تماماً بينهما، وبالتالي فإنه لا يجب لنصف القيم أن تكون أعلى من الوسط الحسابي، وكذلك الحال بالنسبة للنصف الآخر الذي لا يُشترط له أن يكون أقل من الوسط الحسابي.

• للوسط الحسابي نفس الوحدة التي تُقاس بها القيم أياً كان نوعها.

• إذا كان الوسط الحسابي لجموعة من القيم س₁، س₂، ..........س _ن يساوي س، وتم إضافة قيمة مقدارها (ل) لكل قيمة من هذه القيم فإن الوسط الحسابي لها بعد الإضافة يُصبح (س ل).

• إذا كان الوسط الحسابي لجموعة من القيم س₁، س₂، ..........س _ن يساوي س، وتم طرح قيمة مقدارها (ل) من هذه القيم فإن الوسط الحسابي لها بعد الطرح يصبح (س-ل).

• إذا كان الوسط الحسابي لجموعة من القيم س₁، س₂، ..........س _ن يساوي س، وتم ضرب كل قيمة بقيمة أخرى مقدارها (ل)؛ فإن الوسط الحسابي يصبح (س×ل)، بشرط أن تكون ل لا تساوي صفر.

• إذا كان الوسط الحسابي لجموعة من القيم س₁، س₂، ..........س _ن يساوي س، وتم قسمة كل قيمة من القيم على قيمة مقدارها (ل) فإن الوسط الحسابي يصبح (س/ل)، بشرط أن تكون ل لا تساوي صفر.
  • إذا كان جميع القيم في العينة لها نفس القيمة ولنفرض أنها تساوي ل، فإن الوسط الحسابي لهذه القيم يساوي ل أيضاً، ولتوضيح ذلك إليك المثال الآتي:
  • إذا كانت أطوال 10 طلاب تساوي 170سم، فإن الوسط الحسابي لأطوال الطلبة يساوي أيضاً 170 سم.

• إذا كانت لدينا مجموعتان من القيم، وعدد المشاهدات في المجموعة الأولى ن₁، والوسط الحسابي لها س₁، وعدد المشاهدات للمجموعة الثانية ن₂، والوسط الحسابي لها س₂، فإن الوسط الحسابي المدمج (بالإنجليزية: Combined Arithmetic Mean) لهاتين المجموعتين: س = (ن₁×س₁ ن₂×س₂)/(ن₁ ن₂)، وتجدر الإشارة هنا إلى ما يلي:
  • ملاحظة: يمكن إيجاد الوسط الحسابي المدمج لأي عدد من العينات حتى إن كانت أكثر من مجموعتين أو عينتين، وذلك باستخدام القانون الآتي: الوسط الحسابي المدمج (س) = (ن×س)∑ / ن∑؛ حيث:
  • (ن×س)∑ = ن₁×س₁ ن₂×س₂ .........
  • ن∑ = ن₁ ن₂ ........
  • مثال: إذا كان المتوسط الحسابي لنتائج امتحانات الطلاب في أحد الصفوف لإحدى المدارس 82، وكان عدد الطلاب 57، أما المدرسة الأخرى فكان عدد الطلاب فيها 23، وكان المتوسط الحسابي لنتائج الطلاب فيها 63، جد المتوسط الحسابي للمدرستين معاً.
  • الوسط الحسابي للمدرستني معاً = (ن₁×س₁ ن₂×س₂)/(ن₁ ن₂) = 57×82 23×63/(23 57) = 76.5.

الاختلاف بين الوسط الحسابي والمنوال والوسيط

يمكن توضيح الاختلاف بين مقاييس النزعة المركزية الثلاثة: الوسط، والوسيط، والمنوال كما يلي:

• الوسيط: (بالإنجليزية: Median) وهو يمثل القيمة التي تقع في المنتصف تماماً بين مجموعة القيم في العينة، و يمكن إيجاد الوسيط عن طريق إيجاد القيمة التي تقع في المنتصف تماماً بعد ترتيب القيم تصاعديًا أو تنازليًا، ويعتبر الوسيط أفضل عند التعبير عن التوزيعات الملتوية (Skewed Distributions) من الوسط الحسابي، وذلك لأنه لأنه لا يتأثر بالقيم الكاذبة كالوسط.
• الوسط الحسابي: يمكن حساب الوسط الحسابي عن طريق إيجاد مجموع القيم ، وقسمتها على عددها -كما ذُكر سابقاً- وفي بعض الأحيان لا يعتبر مقياساً صحيحاً للتعبير عن القيم؛ وذلك لأنه يتأثر بالقيم الكاذبة، أو المتطرفة.
• المنوال: هو القيمة الأكثر تكراراً في العينة.

مثال: ما هو الوسط الحسابي، والوسيط، والمنوال للقيم الآتية: 13، 18، 13، 14، 13، 16، 14، 21، 13؟

• الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها، وبالتالي:
  • الوسط الحسابي =(13 18 13 14 13 16 14 21 13)/9 = 15.
• الوسيط يمثل القيمة المتوسطة، ويمكن إيجاده كما يلي:
  • ترتيب القيم تصاعدياً كما يلي: 13، 13، 13، 13، 14، 14، 16، 18، 21.
  • إيجاد القيمة المتوسطة، وهي 14.
• المنوال: هو القيمة الأكثر تكراراً، ويساوي 13، وذلك لأنه تكرر أربعة مرات.

نظرة عامة حول الوسط الحسابي

يمكن تعريف الوسط أو المتوسط الحسابي (بالإنجليزية: Average) بأنه القيمة التي تمثّل المعدل ، أو المتوسط الرياضي لمجموعة من القيم، ويمكن إيجاده عن طريق حساب مجموع القيم، ثم قسمة المجموع على عددها؛ فمثلاً إذا كانت لدينا القيم الآتية: 34، 44، 56، 78، فإنه يمكن إيجاد الوسط الحسابي لها عن طريق إيجاد المجموع كما يلي: 34 44 56 78 = 212، ثم قسمة المجموع على عدد القيم، وهي 4 كما يلي: 212/4 = 53، ويعتبر الوسط الحسابي من مقاييس النزعة المركزية التي تشمل إضافة للوسط الحسابي لقياس متوسط البيانات كلاً من الوسيط، والمنوال.