حل معادلة من الدرجة الأولى

كيفية حل المعادلات من الدرجة الأولى

حل المعادلات ذات المتغير أو المجهول الواحد

يعني حل المعادلات إيجاد قيمة المتغيرات التي تحقق المعادلة ، وتُعطي النتيجة الصحيحة؛ فمثلاً يتطلب حل المعادلة س 1=1، إيجاد قيمة س التي تجعل الطرف الأيسر للمعادلة مساوياً للطرف الأيمن فيها، وعليه فإن قيمة س التي تحقق ذلك هي 0، وتمتلك المعادلات الخطية عادة حلاً واحداً فقط، ولحل المعادلات ذات المتغير الواحد يمكن اتباع الخطوات البسيطة الآتية:

• فك كافة الأقواس الموجودة في المعادلة.
• إعادة ترتيب الحدود؛ بوضع المتغيرات على طرف واحد من المعادلة، وجميع الثوابت على الطرف الآخر.
• جمع الحدود المتشابهة معاً ثم تبسيطها، مع مراعاة ضرورة المحافظة على توازن المعادلة؛ أي إجراء العمليات نفسها على طرفيها.
• حل المعادلة، ثم التأكد من الحل عن طريق تعويض القيم في المعادلة مرة أخرى.

حل المعادلات ذات المتغيرين أو المجهولين

يهدف نظام المعادلات الخطية ذات المتغيرين إلى إيجاد قيم (س، ص) التي تحقّق جميع المعادلات في المسألة، والتي تكون عادة على الصورة:

أس ب ص =جـ

دس هـ ص=و

وذلك عن طريق اتباع إحدى الطرق الآتية:

طريقة التعويض

وتتم طريقة التعويض (بالإنجليزية: Substitution) عن طريق:

• ترتيب المعادلة الأولى ليصبح أحد المتغيرين في الطرف الأيمن أو الأيسر لوحده، والمتغير الثاني وكامل ثوابت المعادلة في الطرف الآخر.
• وضع قيمة المتغير من المعادلة الأولى والمتمثّلة بالمتغير الثاني والثوابت في موقعه بالمعادلة الثانية.
• حل المعادلة الثانية بطريقة مماثلة لطريقة حل المعادلة الخطية ذات المتغير الواحد، فمثلاً يمكن حل نظام المعادلات الآتية 3 س-ص=7، 2 س 3 ص=1، كما يأتي: أولاً ترتيب المعادلة الأولى ليصبح المتغير ص في الطرف الأيمن لوحده، وذلك عن طريق طرح (3 س) من طرفي المعادلة لتصبح -ص=7-3 س، ثم قسمة طرفي المعادلة على (-1) لتصبح ص=3 س-7.
  • تعويض قيمة ص، وهي 3 س-7 في موقع المتغير ص في المعادلة الثانية، وذلك كما يأتي: 2 س 3 (3 س-7) =1.
  • فك الأقواس وتبسيط المعادلة لتصبح: 2 س 9 س-21=1.
  • جمع الحدود المتشابهة مع بعضها، لتصبح المعادلة 11 س=22، ومنه س=2.
  • حساب قيمة ص عن طريق تعويض قيمة س في المعادلة الأولى، لينتج أن ص=3 (2) -7=-1.

طريقة الحذف

تتم طريقة الحذف (بالإنجليزية: Elimination) عن طريق ما يأتي:

• ضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما بعدد مناسب؛ وذلك بضرب كل حد من الحدود بنفس هذا العدد، وذلك لتتساوى في النهاية معاملات أحد المتغيرات في قيمتها على أن تختلف في إشارتها بين المعادلتين.
• جمع المعادلتين معاً، ليُلغي أحد متغيرات المعادلة الأولى المتغير المشابه له في المعادلة الثانية والمساوي له في القيمة والمختلف معه في الإشارة.
• للحصول في النهاية على معادلة خطية ذات متغير واحد يمكن حلها ببساطة، وذلك كما في المثال الآتي، وهو حل جملة المعادلتين الآتيتين: 3 س-ص=7، 2 س 3 ص=1. يجب لحل هاتين المعادلتين أولاً ضرب المعادلة الأولى بالقيمة (3) لتصبح المعادلتين كما يأتي: 9 س-3 ص=21، 2 س 3 ص=1.
  • جمع المعادلتين معاً: 9 س-3 ص 2 س 3 ص=22، ومنها 11 س=22، ومنه س=2، أما ص بعد تعويض قيمة س في المعادلة الأولى فتساوي: 3 (2) -ص=7، ومنه ص=-1.

حل المعادلات بـ 3 متغيرات أو أكثر

في بعض المسائل الرياضية يُطلب حل معادلات تحتوي على ثلاث متغيرات من الدرجة الأولى، وفي هذه الحالة يتوجب وجود ثلاث معادلات لحل وإيجاد ناتج قيم المتغيرات التي تحقق المعادلات الثلاث وذلك باستخدام طريقة الجمع والطرح باتباع الخطوات التالية:

1. اختيار معادلتين من أصل ثلاث معادلات وتحديد المتغير الأسهل حذفه؛ عن طريق ضرب أو قسمة كلا المعادلتين بعدد يحقق التساوي في قيمة معامل المتغير المراد حذفه في المعادلتين.
2. طرح أو جمع المعادلات لحذف المتغير؛ في حال كان معامل المتغير في كلا المعادلتين متشابهان في الإشارة يتم طرح المعادلتين من بعضهما البعض، وفي حال اختلافهما في الإشارة يتم جمع المعادلتين، وذلك لتقليل عدد المتغيرات المجهولة من ثلاث متغيرات في المعادلة إلى متغيرين اثنين.
3. اختيار المعادلة الثالثة المتبقية مع إحدى المعادلات المستخدمة سابقاً، مع اختيار نفس المتغير الذي تم حذفه واستخدام ذات الطريقة التي تم استخدامها في الخطوة السابقة؛ لينتج لدينا معادلتين بنفس المتغيرات.
4. لدينا الآن معادلتان تحتوي كل منهما ذات المتغيرين، وعندها يُحدد أحد هذين المتغيرين ليتم حذفه وذلك بضرب المعادلتين الجديدتين بعدد يحقق التساوي في معاملات المتغير المراد حذفه في كلا المعادلتين.
5. إجراء عملية الجمع أو طرح حسب إشارة معاملات المتغير المراد حذفه لينتج لدينا ناتج قيمة المتغير المتبقي الآخر.
6. قد عُرفَ لدينا قيمة أحد المتغيرات، يتم بعد ذلك بتعويض قيمته في إحدى المعادلات التي تحتوي على متغيرين لمعرفة قيمة المتغير الآخر.
7. عُرِفَ لدينا قيمة متغيرين من أصل ثلاث متغيرات، نعوض قيمهم في إحدى المعادلات الأصلية لنجد قيمة المتغير الأخير.
8. للتحقق من الحل نعوض قيم المتغيرات الثلاثة في المعادلات الثلاث الأصلية للتحقق من تحقيقهم لناتج حل المعدلات.

إن زيادة عدد المتغيرات في المسائل الرياضية الخطية تجعل من حل المعادلات أكثر صعوبة وتحتاج إلى خطوات كثيرة بالإضافة إلى حاجتها لوقت طويل لحلها، وقد يؤدي ذلك إلى زيادة الوقوع بالخطأ أثناء حلها.

لذلك هنالك الكثير من البرمجيات التي تساعد على حل المعادلات الخطية والاستعانة بها لتسهيل واختصار الكثير من الخطوات باستخدامها ومنها:

• Universal Algebra Solver
• Two Equations - Two Unknowns
• Ro3n
• Calculatormatik
• Linear Equation System Solver
• Math Hub Basic
• A-Level Physics Calculator
• Mathematic Tools
• Solving a system of linear equations website.

أمثلة متنوعة على حل المعادلات من الدرجة الأولى

أمثلة على حل المعادلة الخطية ذات المجهول الواحد:

• المثال الأول: جد قيمة المتغير ص في المعادلة الآتية: ص 4=-7.
  • الحل: جمع الحدود المتشابهة مع بعضها وذلك بطرح العدد (4) من الطرفين، لتصبح المعادلة: ص 4-4 = -7-4، لينتج أن: ص=-11.
• المثال الثاني: ما قيمة المتغير س في المعادلة الآتية: س/2=5.
  • الحل: جمع الحدود المتشابهة مع بعضها وذلك بضرب طرفي المعادلة بالعدد (2)، لتصبح المعادلة: 2 (س/2) =2 (5)، ومنه س=10.
• المثال الثالث: ما قيمة المتغير (س) في المعادلة الآتية 3 (4 س-1) =6 (2-8 س)؟
  • الحل: جمع الثوابت مع بعضها، والمتغيرات مع بعضها، وذلك بفك الأقواس عن طريق توزيع الأرقام خارج الأقواس على ما داخل الأقواس، وذلك على النحو الآتي: 12 س-3 = 12-48 س، ثم تجميع الحدود المتشابهة 60 س = 15، ومنه س=1/4.
• المثال الرابع: ما حل المعادلة الخطية الآتية 3 (س 5) = 2 (-6-س) -2 س؟
  • الحل: فك الأقواس عن طريق توزيع الأرقام على ما داخل الأقواس، وذلك على النحو الآتي: 3 س 15= -12-2 س-2 س، ثم تجميع الحدود المتشابهة: 7 س = -27، ومنه س=-27/7.
• المثال الخامس: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: (2-س) / (3 س 1) =2.
  • الحل: جمع الثوابت مع بعضها، والمتغيرات مع بعضها، وذلك عن طريق ضرب طرفي المعادلة بـ (2-س) =2 (3 س 1)، ثم فك الأقواس: 2-س=6 س 2، ومنه 7 س=0، ومنه س=0.
• المثال السادس: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: 6 س-19=3 س-10.
  • الحل: جمع الثوابت مع بعضها، والمتغيرات مع بعضها، لتصبح المعادلة: 3 س=9، ومنه س=3.
• المثال السابع: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: (س/2) (س/3) = (س-7).
  • الحل: جمع المتغيرات مع بعضها عن طريق توحيد المقامات، لتصبح المعادلة: 5 س/6= (س-7)، ضرب طرفي المعادلة بالعدد (6) لتصبح المعادلة: 5 س=6 (س-7)، فك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة: س=42.

أمثلة على حل المعادلة الخطية ذات المجهولين

• المثال الأول: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 2 س 4=ص، 3 س 2=ص.الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالتعويض، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • تعويض قيمة ص من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية لتصبح المعادلة الثانية: 3 س 2=2 س 4، وبتجميع الحدود المتشابهة ينتج أن: س=2.
  • تعويض قيمة س في المعادلة الأولى لينتج أن: ص=2 (2) 4=8.
• المثال الثاني: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 2 س-2 ص=8، س ص=1.الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالحذف، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • ضرب المعادلة الثانية بالعدد (2) للتخلص من المتغير ص، لتصبح المعادلة الثانية: 2 س 2 ص=2.
  • جمع المعادلتين معاً: 2 س-2 ص 2 س 2 ص=8 2، ومنه 4 س=10، س=5/2.
  • تعويض قيمة س في المعادلة الثانية لينتج أن: ص=1- (5/2) =-1.5.
• المثال الثالث: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 3 س-4 ص=7، -2 س 5 ص=0.
  • الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالتعويض، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • إبقاء المتغير ص على الطرف الأيسر لوحده في المعادلة الثانية عن طريق نقل الحد -2 س إلى الطرف الآخر لتصبح المعادلة: 5 ص=2 س، قسمة طرفي المعادلة على العدد 5، لتكون قيمة ص=2 س/5.
  • تعويض قيمة ص من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لتصبح المعادلة: 3 س-4 (2 س/5) =7، وبفك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة ينتج أن: 3 س-8/5 س=7، ومنه 1.4 س=7، ومنه س=5.
  • تعويض قيمة س بالمعادلة الثانية بعد ترتيبها: ص=2 (5) /5=2.
• المثال الرابع: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: -س ص=-5، 2 س-5 ص=1.الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالحذف، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • ضرب المعادلة الأولى بالعدد (2) للتخلص من المتغير س، لتصبح المعادلة: -2 س 2 ص=-10.
  • جمع المعادلتين معاً: -2 س 2 ص 2 س-5 ص=-10 1، ومنه -3 ص=-9، ومنه ص=3.
  • تعويض قيمة س في المعادلة الأولى لينتج أن: -س 3=-5، ومنه س=8.
• المثال الخامس: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 2 س 3 ص=8، 3 س 5 ص=10.الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالتعويض، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • إبقاء المتغير ص على الطرف الأيسر لوحده في المعادلة الثانية عن طريق نقل الحد -3 س إلى الطرف الآخر لتصبح المعادلة: 5 ص=10-3 س، قسمة طرفي المعادلة على العدد 5، لتكون قيمة ص= (10-3 س) /5.
  • تعويض قيمة ص من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لتصبح المعادلة: 2 س 3 (10-3 س) /5) =8، وبفك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة ينتج أن: 2 س- (9/5) س 6=8، ومنه 0.2 س=2، ومنه س=10.
  • تعويض قيمة س بالمعادلة الثانية بعد ترتيبها: ص= (10-3 س) /5= (10-3 (10) /5=-4.
• المثال السادس: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 5 س 2 ص=4، -2 س ص=11.
  • الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالحذف، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
    • ضرب المعادلة الثانية بالعدد (-2) للتخلص من المتغير ص، لتصبح المعادلة: 4 س-2 ص=-22.
    • جمع المعادلتين معاً: 5 س 2 ص 4 س-2 ص=4-22، ومنه 9 س=-18، س=-2.
    • تعويض قيمة س في المعادلة الثانية لينتج أن: -2 (-2) ص=11، ومنه ص=7.

أمثلة على حل المعادلة الخطية ذات الثلاثة مجاهيل

المثال الأول: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص)، (ع)، في نظام المعادلات الآتي:

• 4 س -3 ص ع =-10 ---- معادلة (1)
• 2 س ص 3 ع= 0 ---- معادلة (2)
• -1 س 2 ص-5 ع =17---- معادلة (3)

الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بطريقة الجمع والطرح، وذلك عن طريق اتباع الخطوات التالية:

• نأخد المعادلتين (1) و(2):
  • 4 س -3 ص ع =-10 --- معادلة (1)
  • 2 س ص 3 ع= 0 --- معادلة (2)

• تحديد المتغير المراد حذفه وفي هذه المسألة نختار المتغير (س).
• توحيد معامل المتغير (س) في كلا المعادلتين وذلك بضرب المعادلة الثانية بالعدد (2) لتصبح كالآتي: 4 س 2 ص 6 ع= 0
• طرح المعادلتين من بعضهما البعض وذلك لأن معامل المتغير (س) في المعادلتين موجب (متشابهتان في الإشارة) ليصبح ناتج المعادلة:

(4 س -3 ص ع =-10) - (4 س 2 ص 6 ع= 0) = - 5 ص - 5 ع = -10 --- معادلة (4)

• أخذ المعادلة الثالثة مع المعادلة الثانية أو الأولى، وفي هذا المثال أخذنا المعادلة (5) مع المعادلة (3):
  • 2 س ص 3 ع= 0 --- معادلة (2)
  • -1 س 2 ص-5 ع =17--- معادلة (3)

• توحيد المعاملات وذلك بعد ضرب المعادلة الثانية بالعدد 2 وذلك لتوحيد المعاملات المتغير (س) كالآتي: -2 س 4 ص-10 ع =34
• جمع المعادلتين وذلك لأن معامل المتغير (س) في كلا المعادلتين مختلفين في الإشارة ليصبح ناتج المعادلة:
  • (2 س ص 3 ع= 0) (-2 س 4 ص-10 ع =34) = 5 ص - 7 ع = 34 --- معادلة (5)

• أخذ المعادلة الرابعة والمعادلة الخامسة ونحدد المتغير المراد حذف وفي هذه المسألة نختار المتغير (ص)؛ لأن معاملاته متساوية ومختلفة في الإشارة، مما لا يحتاج إلى عملية ضرب أو قسمة لتوحيد المعاملات، فنجمع المعادلتين؛ لينتج لدينا قيمة المتغير (ع) كالآتي:
  • (- 5 ص - 5 ع = -10) (5 ص - 7 ع = 34) =
  • -12 ع =24
  • ومنه؛ ع = -2

• تعوض قيمة المتغير (ع) في إحدى المعادلتين الرابعة أو الخامسة والتي تحتوي على متغيرين؛ لإيجاد قيمة المتغير الآخر، التعويض في المعادلة (4):
  • - 5 ص - (5 ×-2) = -10
  • ومنه؛ ص = 4

• تعويض قيمة المتغيرين (ع) و(ص) في إحدى المعادلات الأصلية؛ لإيجاد قيمة المتغير (س) مثل المعادلة (1)
  • 4 س - (3×4) -2 =-10
  • ومنه؛ س = 1

• التحقق من المعادلة وذلك بتتطبق مجموعة حل قيم المتغيرات (س =1، ص=4، ع=-2) في المعادلات الأصلية حيث حققت المعادلات الثلاث كالآتي:
  • (4 ×1) -(3×4) -2 =-10
  • (2 ×1) 4 (3 ×-2)= 0
  • (-1 ×1) (2× 4)- (5 ×-2) =17

المثال الثاني: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص)، (ع)، في نظام المعادلات الآتي:

• 3 س 2 ص- ع = -1 ---- معادلة (1)
• -2 س - 2 ص 3 ع= 5 ---- معادلة (2)
• 5 س 2 ص- ع =3 ---- معادلة (3)

الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بطريقة الجمع والطرح، وذلك عن طريق اتباع الخطوات التالية:

• أخد المعادلتين الأولى والثانية:
  • 3 س 2 ص- ع = -1 --- معادلة (1)
  • -2 س - 2 ص 3 ع= 5 --- معادلة (2)

• تحديد المتغير المراد حذفه وفي هذه المسألة نختار المتغير (ص)؛ لأنَّ معاملاته متساوية ومختلفة في الإشارة مما لا يحتاج إلى عملية ضرب أو قسمة لعملية توحيد المعاملات فنجمع المعادلتين لينتج لدينا قيمة المعادلة الآتية:
  • (3 س 2 ص- ع = -1) - (-2 س - 2 ص 3 ع= 5)
  • س 2 ع =4 --- معادلة (4)

• أخذ المعادلة الثالثة مع المعادلة الثانية أو الأولى في هذا المثال أخذنا المعادلة (2):
  • -2 س - 2 ص 3 ع= 5 ---- معادلة (2)
  • 5 س 2 ص- ع =3 ---- معادلة (3)

• حذف المتغير (ص)؛ لأن معاملاته متساوية ومختلفة في الإشارة أيضًا، مما لا يحتاج إلى عملية ضرب أو قسمة لتوحيد المعاملات، فنجمع المعادلتين لينتج لدينا المعادلة الآتية:
  • (-2 س - 2 ص 3 ع= 5) (5 س 2 ص- ع =3)
  • 3 س 2 ع =8 --- معادلة (5)

• أخذ المعادلة الرابعة والمعادلة الخامسة وتحديد المتغير المراد حذفه وفي هذه المسألة نختار المتغير (ع)؛ لأنَّ معاملاته متساوية ونطرح المعادلتين لينتج لدينا قيمة المتغير (س) كالآتي:
  • (س 2 ع =4) - (3 س 2 ع =8)
  • -2 س =-4
  • ومنه؛ س = 2

• تعويض قيمة المتغير (س) في إحدى المعادلتين الرابعة أو الخامسة والتي تحتوي على متغيرين؛ لإيجاد قيمة المتغير الآخر مثل المعادلة (4):
  • 2 2 ع =4
  • ومنه؛ ع= 1

• تعويض قيمة المتغيرين (س) و(ع) في إحدى المعادلات الأصلية؛ لإيجاد قيمة المتغير (ص) مثل المعادلة (1):
  • (3× 2) (2×ص) - 1 = -1
  • ومنه؛ ص = -3

• التحقق من المعادلة وذلك بتطبيق مجموعة حل قيم المتغيرات في المعادلات الأصلية حيث حققت المعادلات الثلاث كالآتي س= 2، ص=-3، ع=1:
  • (3 ×2) (2×-3)- 1 = -1
  • (-2× 2) -( 2 ×-3) (3 ×1)= 5
  • (5× 2) (2 ×-3) - 1 =3