تمارين الأعداد العقدية أو المركبة
تُعرّف الأعداد العقدية أو المركبة هي الأعداد التي تتكون من عدد حقيقي وعدد تخيلي أو وهمي، وتُكتب على صورة (أ بi) حيث (أ، ب) أعدادًا حقيقية و(i) عددًا تخيليًا قيمته تساوي (-1√)، وفيما يأتي بعض التمارين الحسابية للتمرين على العمليات الحسابية للأعداد العقدية أو المركبة:
إيجاد ناتج جمع عددين مركبين
المثال (1):
أوجد ناتج جمع المعادلة الآتية: ? = (1 8i) (3 6i).
الحل:
- عند جمع الأعداد المركبة تُجمع الأعداد الحقيقية مع بعضها البعض وتُجمع الأعداد التخيلية مع بعضها البعض، وذلك على النحو الآتي:
(1 8i) (3 6i) = i(14) (4) = i(6 8) (3 1)
- وبالتالي فإنّ ناتج جمع المعادلة كالآتي:
(14i 4) = (1 8i) (3 6i)
المثال (2):
أوجد ناتج جمع المعادلة الآتية: ? = i i² i^3.
الحل:
- بما أنّ قيمة (i) تساوي -1√ فإنّ (i²) = 1-، و (i^3) = (i²×i) = (1×i-) = (i-)
- تُعوض هذه القيم في المعادلة فينتج:
i) (1-) (i-) = i i² i³)، ويساوي 1-
- وبالتالي فإنّ ناتج جمع المعادلة كالآتي:
1- = i i² i³
إيجاد ناتج طرح عددين مركبين
أوجد ناتج طرح المعادلة الآتية: ? = (5 3i) - (14 9i).
الحل:
- عند طرح الأعداد المركبة تُطرح الأعداد الحقيقية من بعضها البعض وتُطرح الأعداد التخيلية من بعضها البعض، وذلك على النحو الآتي:
(5 3i) - (14 9i) = i(6) (9) = i(9-3) (14-5)
- وبالتالي فإنّ ناتج طرح المعادلة كالآتي:
(6i 9) = (5 3i) - (14 9i)
إيجاد ناتج ضرب عددين مركبين
أوجد ناتج ضرب المعادلة الآتية: ? = (2i 4-) × (1 2i).
الحل:
- عند ضرب الأعداد المركبة تُضرب كل الحدود ببعضها البعض، وذلك على النحو الآتي:
(4-2i) × (1 2i) = 4-) (-6i) (4i²) = (4-) (-8i) (2i) (4i²) = (1×4-) (2i×4-) (1×2i) (2i×2i))
- وبما أنّ قيمة (i) تساوي -1√ فإنّ (i²) = 1-، وبالتالي يُصبح الناتج:
(-4) (6i-) (4i²) = (-4) (6i-) (4-) = 8 - 6i-
- وبالتالي فإنّ ناتج ضرب المعادلة كالآتي:
(8 - 6i-) = (4-2i) × (1 2i)
إيجاد ناتج قسمة عددين مركبين
أوجد ناتج قسمة المعادلة الآتية: ? = (5i 4-) ÷ (3 6i).
الحل:
- عند قسمة الأعداد المركبة يوضع العددين فوق بعضهما البعض على صورة كسر ومقام، ثم يُضرب كلًا من البسط والمقام بمرافق العدد المركب الموجود في المقام، ويُمكن إيجاد المرافق من خلال إبقاء العدد الحقيقي كما هو وعكس إشارة العدد التخيلي، وبالتالي مرافق العدد (5i 4-) هو (5i 4).
- يُضرب البسط والمقام بالعدد المركب (5i 4) على النحو الآتي:
- البسط:
(3 6i) × (5i 4) = (24i) (30i²) (12) (15i) = (39i) (30i²) (12) = (39i) (30×-1) (12) = (39i) (18-)
(5i 4-) × (5i 4) = (16) (20i) (20i-) (25i²-) = (16) (25i²-) = (16) (25×-1-) = 41
- وبقسمة البسط على المقام: (39i) (18-) / 41 يُصبح الناتج ((39i) /41) (18-) /41))، وبالتالي فإنّ الناتج يُصبح (0.95i) (0.44-)
- وبالتالي فإنّ ناتج قسمة المعادلة كالآتي:
(0.95i) (0.44-) = (5i 4-) ÷ (3 6i)
