تعريف الاستقراء الرياضي

مفهوم الاستقراء الرياضي

يعرف الاستقراء الرياضي (بالإنجليزية: Mathematical induction) بأنه أسلوب رياضي يتم استخدامه لإثبات النتائج التي يتم الحصول عليها من خلال إثبات الفرضيات الرياضية التي تكون إما نظرية أو صيغة معينة للأعداد الطبيعة أي ... ,n = 0, 1, 2, , 3؛ حيث يقوم على خطوتين أساسيتين وهما:

إثبات أن العبارة صحيحة للقيمة الأولية التي يتم استخدامها والتي عادة ما تكون n = 1.
إثبات أن العبارة التي كانت صحيحة عند استخدام القيمة الأولية ستبقى صحيحة عند القيام بتعويض رقم طبيعي آخر أي n = k 1 ؛ حيث إن قيمة k هي القيمة التي تم إثباتها بالخطوة الأولى.

تفسير الاستقراء الرياضي

يتم تشبيه عملية الاستقراء الرياضي بقطع الدومينو ؛ إذ أنّ سقوط القطعة الأولى في الدومينو يتسبب بسقوط القطع التي تكون خلفها والتي بدورها تسقط قطع الدومينو الأخرى المتواجدة في الخلف وبالنهاية كل قطع الدومينو سيتم هدمها؛ حيث لا يحدث هذا التأثير إلا بسقوط القطعة الأولى والذي يشبه بذلك مبدأ عمل الاستقراء الرياضي.

أمثلة على الاستقراء الرياضي

هذه بعض الأمثلة المحلولة على الاستقراء الرياضي:

مثال (1): أثبت أن 1 3 5 ..... (2n-1) = n)^2 )عندما تكون .... , 3 , 2, n = 1.

الحل:

أثبت أن الجملة صحيحة عندما تكون n = 1
عوض فيها (2n-1) = n^2
2×1-1 = (1)^2
1 = 1 ؛ هذه الجملة صحيحة
افرض أن الجملة صحيحة عندما تكون n = k
1 3 5 ..... (2k-1) = k^2
أثبت أن الجملة صحيحة عندما تكون 1 n = k بعد تعويضها
1 3 5 ..... (2k-1) (2×(k 1) - 1) = k 1)^2)
نعوض مكانها لتسهيل الحل حيث تصبح:
k^2 (2 ×(k 1) - 1) = (k 1)^2
k^2 2K 2 - 1 = k^2 2k 1
k^2 2K 1 = k^2 2k 1
بما أن حدّي الجملة متساويان؛ تكون بذلك الجملة صحيحة.

مثال (2): أثبت أن a)^n × (b)^n = (ab)^n) لكل الأعداد الطبيعية.

الحل:

أثبت أن الجملة صحيحة عندما تكون n = 1
a)^1 × (b)^1 = (ab)^1)
ab = ab؛ هذه الجملة صحيحة
افترض أن الجملة صحيحة عندما تكون n = k
a)^k × (b)^k = (ab)^k)
أثبت أن الجملة صحيحة عندما تكون 1 n = k بعد تعويضها
(a)^(k 1) × (b)^(k 1) = (ab)^(k 1)
بما أنه تم إثبات بالخطوة الأولى أن a)^k × (b)^k = (ab)^k) يمكن استخدامها في الحل حيث أن:
(a)^(k) × (b)^(k) × (ab) = (ab)^(k) × (ab)؛ عن طريق ضرب الحدين ب(ab)
ومنه ينتج بعد التوزيع: (a)^(k 1) × (b)^(k 1) = (ab)^(k 1)؛ أي أن الجملة صحيحة بتساوي الحدّين.

2023-12-1428تعليم

مزيد من المشاركات

السمات الشخصية لحامل اسم مصطفى

السمات الشخصية لحامل اسم مصطفى عادةً ما يتصف الأشخاص الذين يحملون نفس الاسم بمجموعة من السمات الشخصية المُتشابهة، لذا توضح النقاط الآتية بعض السمات الشخصية التي يُمكن أن يتصف بها حاملي اسم مصطفى: القوة والثقة بالذات، والقدرة على الوصول إلى مناصب رفيعة، والنجاح في إدارتها. الالتزام بالقوانين والأنظمة، ويسعى باستمرار إلى أداء مهامه بنشاط وإخلاص. مُحب للخير، ولا يتوانى عن مساعدة الآخرين، لذلك فهو محبوب من جميع الناس. الجرأة والشجاعة، وحب الصراحة، والوضوح في كل أموره، كما أنَّه يكره الغموض

فوائد عصير الجزر للرضع

الجزر يعتبر الجزر من الخضروات الأكثر شهرة بين الناس؛ حيث يتوفّر بكثرة في كافة الأسواق التجاريّة حول العالم، ويحتوي في تركيبه الكيميائي على كلٍ من البروتين، والسكريات، والفيتامينات كفيتامينات A,B12,C,B3,B1,B6,D، والبيتا كاروتين، والألياف الغذائيّة، والسعرات الحراريّة، والدهون، والسكر، والأملاح المعدنية كالمغنيسيوم، والصوديوم، والحديد، البوتاسيوم، والفسفور، والكالسيوم، والزنك، ويتم تناوله عصيراً، ومطبوخاً، ومخللاً، ونيئاً. فوائد عصير الجزر للرضع يساعد أجسامهم على النمو بشكل صحي وسليم؛ لاحتوائه

فوائد اللوز والفستق والكاجو

هل هناك فوائد لتناول اللوز والفستق والكاجو فوائد المكسرات عامة أُجريت العديد من الدراسات حول فوائد استهلاك المُكسرات بأنواعها المختلفة بما فيها اللوز، والفستق، والكاجو، وتوضح النقاط الآتية بعضاً من الفوائد التي ذُكرت في الدراسات: التقليل من خطر الإصابة بأمراض القلب: أوضحت إحدى الدراسات القائمة على الملاحظة أنّ الأشخاص الذين يتناولون المسكرات أربع مراتٍ على الأقلّ خلال الأسبوع قد انخفض لديهم خطر الإصابة بأمراض القلب بشكلٍ ملحوظ، مقارنةً بمن لا يتناولها. التقليل من مستويات الكوليسترول في الدم:

آثار المشكلة الاقتصادية على الأفراد والمجتمعات

آثار المشكلة الاقتصادية على الأفراد والمجتمعات تُعتّبر المشكلة الاقتصادية هي مشكلة عدم تناسب بين الموارد الاقتصادية المحدودة المُتاحة وبين الاحتّياجات الإنسانيّة المُستّمرة لأفراد المجتمع، أي أنَّها تتمحوّر حول محدودية الموارد الاقتصادية المُتاحة ونُدرتها وعدم قُدرتها على تلبية وإشباع احتياجات أفراد المجتمع، فالاقتصاد يُعتّبر رئة المُجتمع والمشكلة الاقتصادية تعود بنتائجها وتأثيرها على الأفراد والمجتمع ككل، وتتلخّص هذه الآثار السّلبية كما يلي: آثار المشكلة الاقتصادية على الأفراد ومن أبرزها ما

صفات جبريل عليه السلام

الملائكة الملائكة خلقٌ من خلق الله تعالى، أوجدهم لعبادته، وجعل فيهم من صفات الجلال والجمال ما شاء، وقد جعل الله -تعالى- الإيمان بهم مقترنٌ بالإيمان به، ومقترنٌ بالإيمان بالكتب السماوية، وبالإيمان بالرسل عليهم السلام، وبالإيمان باليوم الآخر، وبالإيمان بالقدر خيره وشرّه، ودليل ذلك قول الله -تعالى- في القرآن الكريم : (آمَنَ الرَّسُولُ بِمَا أُنزِلَ إِلَيْهِ مِن رَّبِّهِ وَالْمُؤْمِنُونَ ۚكُلٌّ آمَنَ بِاللَّهِ وَمَلَائِكَتِهِ وَكُتُبِهِ وَرُسُلِهِ لَا نُفَرِّقُ بَيْنَ أَحَدٍ مِّن رُّسُلِهِ

إيميليانو مارتينيز (حارس مرمى أرجنتيني)

تعريف حول إيميليانو مارتينيز إيميليانو مارتينيز؛ هو لاعب كرة قدم محترف، يحمل الجنسية الأرجنتينية، وفيما يأتي نبذةٌ مختصرةٌ عنه: الاسم إيميليانو مارتينيز بلد الأصل الأرجنتين تاريخ الميلاد 2- 9- 1992م مكان الميلاد مدينة مار ديل بلاتا نوع الرياضة كرة القدم النادي الحالي أستون فيلا الإنجليزي المركز حارس مرمى رقم اللاعب 1 النوادي الرياضية التي لَعِب فيها إيميليانو مارتينيز تمكن مارتينيز اللعب للعديد من الأندية الرياضية كما هو موضح على النحو الآتي: نادي أرسنال الإنجليزي بدأ مارتينيز مسيرته

أسباب ورم الدماغ

أسباب ورم الدماغ لم يتمكّن العلماء من تحديد المسبّب الرئيسيّ للإصابة بمعظم أنواع أورام الدماغ (بالإنجليزية: Brain Tumor)، ولكنّه مثل باقي أنواع الأورام، يحدث نتيجة بعض التغيرات الجينيّة في المادّة الوراثيّة لأحد أنواع الخلايا في الدماغ مثل: التغيرات الجينيّة التي تؤثر في الجين الورميّ وتُسمى أيضاً المورثة الورميّة (بالإنجليزية: Oncogene) والجينات الكابحة للأورام (بالإنجليزية: Tumor suppressor genes)، كما تجدر الإشارة إلى أنّ خلل الجينات قد يحدث بعد الولادة نتيجة التعرّض لبعض العوامل الخارجيّة،

فوائد عصير التين المجفف

عصير التين المجفف يعدّ التين من الفواكه المحبّبة لدى فئة كبيرة من الناس، وله ألوان عديدة كاللون الأخضر، والأسود، والأحمر، وعلى الرغم من هذا التعدد في الألوان إلّا أنّ جميعها يحتوي على الفوائد نفسها؛ حيث يحتوي على بعض الألياف والبروتينات، وعلى السعرات الحراريّة والفسفور والكالسيوم المهم جداً في بناء العظام، كما يحتوي على عدد من الفيتامينات المختلفة مثل: فيتامين أ، وفيتامين ب، وفيتامين ج؛ لذلك يصنّف على أنّه من الفواكه المهمة لصحة الجسم، والتي تمدّه بالطاقة اللازمة له خلال اليوم. يمكن تحويل