مفهوم الاستقراء الرياضي
يعرف الاستقراء الرياضي (بالإنجليزية: Mathematical induction) بأنه أسلوب رياضي يتم استخدامه لإثبات النتائج التي يتم الحصول عليها من خلال إثبات الفرضيات الرياضية التي تكون إما نظرية أو صيغة معينة للأعداد الطبيعة أي ... ,n = 0, 1, 2, , 3؛ حيث يقوم على خطوتين أساسيتين وهما:
- إثبات أن العبارة صحيحة للقيمة الأولية التي يتم استخدامها والتي عادة ما تكون n = 1.
- إثبات أن العبارة التي كانت صحيحة عند استخدام القيمة الأولية ستبقى صحيحة عند القيام بتعويض رقم طبيعي آخر أي n = k 1 ؛ حيث إن قيمة k هي القيمة التي تم إثباتها بالخطوة الأولى.
تفسير الاستقراء الرياضي
يتم تشبيه عملية الاستقراء الرياضي بقطع الدومينو ؛ إذ أنّ سقوط القطعة الأولى في الدومينو يتسبب بسقوط القطع التي تكون خلفها والتي بدورها تسقط قطع الدومينو الأخرى المتواجدة في الخلف وبالنهاية كل قطع الدومينو سيتم هدمها؛ حيث لا يحدث هذا التأثير إلا بسقوط القطعة الأولى والذي يشبه بذلك مبدأ عمل الاستقراء الرياضي.
أمثلة على الاستقراء الرياضي
هذه بعض الأمثلة المحلولة على الاستقراء الرياضي:
مثال (1): أثبت أن 1 3 5 ..... (2n-1) = n)^2 )عندما تكون .... , 3 , 2, n = 1.
الحل:
- أثبت أن الجملة صحيحة عندما تكون n = 1
- عوض فيها (2n-1) = n^2
- 2×1-1 = (1)^2
- 1 = 1 ؛ هذه الجملة صحيحة
- افرض أن الجملة صحيحة عندما تكون n = k
- 1 3 5 ..... (2k-1) = k^2
- أثبت أن الجملة صحيحة عندما تكون 1 n = k بعد تعويضها
- 1 3 5 ..... (2k-1) (2×(k 1) - 1) = k 1)^2)
- نعوض مكانها لتسهيل الحل حيث تصبح:
- k^2 (2 ×(k 1) - 1) = (k 1)^2
- k^2 2K 2 - 1 = k^2 2k 1
- k^2 2K 1 = k^2 2k 1
- بما أن حدّي الجملة متساويان؛ تكون بذلك الجملة صحيحة.
مثال (2): أثبت أن a)^n × (b)^n = (ab)^n) لكل الأعداد الطبيعية.
الحل:
- أثبت أن الجملة صحيحة عندما تكون n = 1
- a)^1 × (b)^1 = (ab)^1)
- ab = ab؛ هذه الجملة صحيحة
- افترض أن الجملة صحيحة عندما تكون n = k
- a)^k × (b)^k = (ab)^k)
- أثبت أن الجملة صحيحة عندما تكون 1 n = k بعد تعويضها
- (a)^(k 1) × (b)^(k 1) = (ab)^(k 1)
- بما أنه تم إثبات بالخطوة الأولى أن a)^k × (b)^k = (ab)^k) يمكن استخدامها في الحل حيث أن:
- (a)^(k) × (b)^(k) × (ab) = (ab)^(k) × (ab)؛ عن طريق ضرب الحدين ب(ab)
- ومنه ينتج بعد التوزيع: (a)^(k 1) × (b)^(k 1) = (ab)^(k 1)؛ أي أن الجملة صحيحة بتساوي الحدّين.
