ترتيب العمليات الحسابية

أولويات العمليات الحسابية

يمكن توضيح كيفية ترتيب العمليات الحسابية بالاستعانة بالمثال الآتي؛ فمثلاً عند النظر إلى هذه المسألة (3 52×6) 7 فإن الشخص قد يتساءل عن العمليّة الحسابيّة التي يجب عليه أن يبدأ بها؛ حيث يؤدي البدء في هذه المسألة بطريقة خاطئة وبترتيب غير صحيح إلى الحصول على إجابة خاطئة، وبالتالي فإنّ هناك مجموعة من القوانين التي تم وضعها والتي يجب اتباعها عند إجراء العمليات الحسابية للحصول على الناتج الصحيح، وتُعرف هذه القوانين بأولويات العمليات الحسابية، وهي:

1. الأقواس: فمثلاً عند حل هذه المسألة الرياضية: 4×(5 3)؛ فإنّ الناتج عند:
   • البدء بما في الأقواس كما يأتي: 4×(5 3) = 4×8 = 32 (حل صحيح).
   • عدم البدء بما في الأقواس كما يأتي: 4×(5 3) = 20 3 = 23 (حل خاطئ).
   • وعند وجود أكثر من قوس في المسألة، نبدأ بالقوس الداخلي أولاً، مثل: (3 (3×2)) ×5 = (3 6) ×5 = 9×5 = 40
   • البدء بحل الأس التربيعي كما يلي: 5×2² = 5×4 = 20 (حل صحيح).
   • عدم البدء بحل الأس التربيعي كما يلي: 5×2² = 10² = 100 (حل خاطئ).
2. الضرب، والقسمة: فمثلاً عند حل هذه المسألة الرياضية 3×5 2؛ فإنّ الناتج عند:
   • البدء بالضرب كما يلي: 3×5 2 = 15 2 = 17 (حل صحيح).
   • البدء بالجمع كما يلي: 3×5 2 = 3×7 = 21 (حل خاطئ).
3. الجمع والطرح: وذلك في حال التخلص من كل العمليات السابقة وعدم بقاء إلا الطرح والجمع:

ملاحظات حول أولويات العمليات الحسابية

• في حالة تكافؤ العمليات الحسابية في المسألة بالأولوية؛ أي احتواء المسألة على عمليتي ضرب، أو عملية قسمة وضرب مثلاً، أو عمليتي جمع وطرح أو أكثر، فإنّ الحل يكون بالبدء من اليمين إلى اليسار باللغة العربية، ومن اليسار لليمين باللغة الإنجليزية؛ فمثلاً عند حل المسألة الرياضية الآتية: 30÷5×3 فإن الناتج يكون عند:
  • البدء باليمين كما يلي: 30÷5×3 = 6×3 = 18 (حل صحيح)
  • البدء باليسار كما يلي: 30÷5×3 = 30÷15 = 2 (حل خاطئ)
• في حال احتواء المسألة الرياضية على أكثر من أس؛ أي رفع نفس العدد لأسين، فإن الحل يتم بالبدء من الأعلى للأسفل؛ مثل 4؛ أي (4) مرفوعة للقوة 2، فيتم حلها كما يلي:
  • حساب أولاً: 3² = 9؛ أي تصبح المسألة: 4 = 4×4×4×4×4×4×4×4×4، وبالتالي فإن النتيجة النهائية تساوي 262144

أمثلة متنوعة حول ترتيب العمليات الحسابية

المثال الأول: ما هو ناتج العملية الحسابية الآتية: 12÷6×3÷2؟

الحل:

بما أن القسمة والضرب متكافئتان بالأولوية؛ فإن الحل يكون بإيجاد الناتج من اليمين لليسار، وذلك كما يلي:

• 12/6 = 2، ثم: 2×3 = 6، ثم 6/2 = 3، وبالتالي فإن الناتج = 3.
• أي أن العملية تمت كما يلي: 12÷6×3÷2 = 2×3÷2 = 6÷2 =3.

المثال الثاني: ما هو حل المسألة الآتية: 4 3²؟

الحل:

• الأولوية للأسس أولاً، وبالتالي فإن: المسألة تحلّ كما يلي: 3² = 9 ثم 4 9 = 13.
• أي أن العملية تمت كما يلي: 4 3² = 4 9 =13.

المثال الثالث: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: 4 (-1×(-2-1))²؟

الحل:

• الأولوية للقوس أولاً، وفي حالة وجود قوسين كما في المثال نبدأ بالقوس الداخلي ثم الخارجي وبالتالي تصبح المسألة: 4 (-1×(-3))²، ثم 4 (3)².
• ثم الاولوية للأس التربيعي كما يلي: 4 9، ثم وفي النهاية يتم إيجاد ناتج الجمع، ويساوي 13.
• أي أن العملية تمت كما يلي: 4 (-1×(-2-1))² = 4 (-1×(-3))² = 4 (3)² = 4 9 = 13.

المثال الرابع: ما هو حل المسألة الآتية: 16-3×(8-3)² ÷5؟

الحل:

• الأولوية أولاً للقوس: 16-3×(5)² ÷5 ، ثم للأس: 16-3×25÷5، ثم للضرب والقسمة من اليمين لليسار: 16-75÷5، ثم لعملية القسمة: 16-15، ثم لعملية الطرح: 1.
• أي أن العملية تمت كما يلي: 16-3×(8-3)² ÷5 = 16-3×(5)²÷5 = 16-3×25÷5 = 16-75÷5 = 16-15 =1.

المثال الخامس: ما هو ناتج المسألة الرياضية الآتية: 6×3 4×(9÷3)؟

الحل:

• الأولوية للأقواس أولاً: 6×3 4×3، ثم الأولوية للضرب من اليمين: 18 4×3، ثم الأولوية للضرب ثم الجمع: 18 12 = 30.
• أي أن العملية تمت كما يلي: 6×3 4×(9÷3) = 6×3 4×3 = 18 3×4 = 30.

المثال السادس: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: 3 6×(5 4)÷3-7؟

الحل:

• الأولوية للأقواس أولاً: 3 6×9÷3-7، ثم الأولوية للضرب والقسمة من اليمين لليسار: 3 54÷3-7، 3 18-7، ثم الأولوية للجمع، والطرح من اليمين لليسار: 21 - 7 = 14
• أي أن العملية تمت كما يلي: 3 6×(5 4)÷3-7 = 3 6×9÷3-7 =3 54÷3-7 = 3 18-7 = 21-7 =14.

المثال السابع: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: 9-5÷(8-3)×2 6؟

الحل:

• الأولوية للأقواس أولاً: 9-5÷5×2 6، ثم للقسمة والضرب من اليمين لليسار: 9-1×2 6 = 9-2 6، ثم للجمع والطرح من اليمين لليسار: 7 6 = 13.
• أي أن العملية تمت كما يلي: 9-5÷(8-3)×2 6 = 9-5÷5×2 6 = 9-1×2 6 = 9-2 6 = 7 6 = 13.

المثال الثامن: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: 4- 3×(20-3×4-(2 4))÷2؟

الحل:

• الأولوية للقوس الداخلي: 4- 3×(20-3×4-6)÷2، ثم الأولوية للضرب داخل القوس الخارجي: 4-3×(20-12-6)÷2، ثم الأولوية للطرح داخل القوس من اليمين: 4-3×(8-6)÷2 = 4-3×2÷2، ثم الأولوية للضرب والقسمة من اليمين لليسار: 4-6÷2 = 4-3، ثم الأولوية للطرح: 4-3 = 1.
• أي أن العملية تمت كما يلي: 4- 3×(20-3×4-(2 4))÷2 = 4-3×(20-3×4-6)÷2 = 4-3×(20-12-6)÷2 = 4-3×(8-6)÷2 = 4-3×2÷2 = 4-6÷2 = 4-3 =1.

المثال التاسع: ما هو حل المسالة الرياضية الآتية: 20-(3×2³-5)؟

الحل:

• أولاً يتم حل ما داخل القوس، وداخل القوس الأولوية للأسس، وبالتالي تصبح المسألة: 20-(3×8-5)، ثم الأولوية للضرب داخل القوس: 20-(24-5)، ثم الأولوية للطرح داخل القوس: 20-19 = 1
• أي أن العملية تمت كما يلي: 20-(3×2³-5) = 20-(3×8-5) = 20-(24-5) = 20-19 = 1.

المثال العاشر: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: (5 2)²-9×3 2³؟

الحل:

• الأولوية للقوس أولاً: 7²-9×3 2³، ثم الأولوية للأسس من اليمين لليسار: 49-9×3 8، ثم للضرب: 49-27 8، ثم للجمع، والطرح من اليمين لليسار: 22 8 = 30
• أي أن العملية تمت كما يلي: (5 2)²-9×3 2³ = 49-9×3 2³ = 49-27 8 = 22 8 =30.

المثال الحادي عشر: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: (5²-5)÷(4² 8-7×2)؟

الحل:

• نبدأ بالأسس داخل القوس الأول من اليمين كما يلي: (25-5)÷(²4 8-7×2)، ثم الطرح داخل القوس الأول: 20÷(4² 8-7×2)، ثم الأسس داخل القوس الثاني: 20÷(16 8-7×2)، ثم الضرب داخل القوس الثاني: 20÷(16 8-14)، ثم الجمع والطرح داخل القوس الثاني من اليمين لليسار: 20÷(24-14) = 20÷10=2.
• أي أن العملية تمت كما يلي: (5²-5)÷(4² 8-7×2) = (25-5)÷(4² 8-7×2) = 20÷(4² 8-7×2) = 20÷(16 8-7×2) = 20÷(16 8-14) = 20÷(16 8-14) = 20÷(24-14) = 20÷10 = 2.

المثال الثاني عشر: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: (7-9√)×(4²-3 1)؟

الحل:

• نبدأ بالجذر التربيعي داخل القوس الأول من اليمين: (7-3)×(4²-3 1)، ثم الطرح داخل القوس الأول: 4×(4²-3 1)، ثم الأس التربيعي داخل القوس الثاني: 4×(16-3 1)، ثم قيمة الطرح والجمع داخل القوس الثاني: 4×(13 1) = 4×14= 56.
• أي أن العملية تمت كما يلي: (7-9√)×(4²-3 1) = (7-3)×(4²-3 1) = 4×(4²-3 1) = 4×(16-3 1) = 4×(13 1) = 4×14 = 56.

أولويات العمليات الحسابية في الحاسوب

تُجرى العمليات الحسابية في الحاسوب باتباع أولويات الحساب المشابهة لتلك التي نعتمدها في حل مسائل الرياضيات وتُعرف أحيانًا باسم أسبقية المعامل وهي عبارة عن قاعدة توضح أيٍ من العمليات الحسابية يجب تطبيقها أولًا وتتمثل في الترتيب الآتي:

• الأقواس.
• الأسس.
• الضرب والقسمة.
• الجمع والطرح.

مثال:

ما هي طريقة حل المسألة الرياضية الآتية حسب أولويات العمليات الحسابية في الحاسوب؟ 

3×6÷3 12 (20 5)

الحل:

• تُجرى العملية الموجودة بين الأقواس التي تمتلك الأولوية حسب قاعدة أسبقية المُعامل وذلك بجمع العدد 20 إلى العدد 5 ليصبح الناتج 25، لتُصبح المعادلة: 3 × 3 ÷ 6 12 25.
• تُجرى عملية الضرب وذلك بضرب العدد 3 في العدد 6 ليُصبح الناتج 18.
• تُجرى عملية القسمة وذلك بقسمة الناتج عن عملية الضرب أي العدد 18 على العدد 3 ليصبح الناتج 6، لتُصبح المعادلة: 18 ÷ 3 12 25.
• يُجمع كل من العدد 6 مع العدد 12 ليصبح الناتج 18 الذي يُجمع مع العدد 25 ليصبح الناتج النهائي: 6 12 25= 43.

إنً اتّباع أولويات العمليات الحسابية أثناء خطوات حل مسائل رياضية أمرًا لا بد منه لحل المسائل والجمل الحسابية التي تحتوي في مضمونها على الأقواس، أو الأسس، أو أكثر من نوع من العمليات الحسابية الرياضية وذلك للحصول على إجابة صحيحة ودقيقة و تجنّب الأخطاء الحسابية، سواء أكانت تلك المعادلات ورقيّة أو على جهاز الحاسوب، وأولويات العمليات الحسابيّة بالترتيب، هي: الأقواس، ثم الأس، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح.