تحليل مجموع مكعبين

تحليل مجموع مكعبين

نظرة عامة حول تحليل مجموع مكعبين

يمكن تعريف مجموع المكعبين (بالإنجليزية: Sum of Cubes) بأنه كثير حدود يكون على الصورة: أ³ ب³؛ حيث يكون على شكل حدين، تقصل بينهما إشارة جمع، وكل حد منهما مرفوع للقوة الثالثة، وتجدر الإشارة إلى أن الحدين هنا لهما نفس الإشارة بعكس الفرق بين مكعبين.

لمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين مكعبين يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل الفرق بين مكعبين .

كيفية تحليل مجموع مكعبين

يمكن تحليل مجموع المكعبين باستخدام الصيغة الآتية:

  • س³ ص³= (س ص)( س²- س ص ص²)؛ حيث س هو الحد الأول، وص هو الحد الثاني. ولشرح ذلك نوضح الخطوات التي يمكن من خلالها طريقة تحليل كثير الحدود الآتي إلى عوامله الأولية: س³ 27، وهي:
  • الخطوة الأولى: كتابة قوسين بحيث يكون هناك قوس صغير، وقوس أكبر منه؛ وذلك لأن القوس الأصغر سيضم حدين، والقوس الأكبر سيضم ثلاثة حدود كما يلي:( )( ).
  • الخطوة الثانية: حساب الجذر التكعيبي لكل من الحدين، وكتابته في القوس الأول كما يلي: (س 3)( ).
  • الخطوة الثالثة: حساب مربع كل من العددين الموجودين في القوس الأول، وكتابته في أول جزء، وآخر جزء من القوس الثاني كما يلي: ( س 3)(س² 9).
  • الخطوة الرابعة: إيجاد الحد الأوسط من القوس الثاني، وهو يساوي حاصل ضرب الحدين الأول في الثاني الموجودين في القوس الأول، كما يلي:(س 3)(س² 3س 9).
  • الخطوة الخامسة: وضع الإشارات المناسبة؛ حيث يتم وضع الإشارات بتطبيق قاعدة (نفس، عكس، دائماً موجب)، وتعني ما يلي:
    • نفس: تعني أن القوس الأول تكون إشارته نفس إشارة كثير الحدود.
    • عكس: تعني أن القوس الثاني تكون الإشارة الأولى فيه عكس إشارة كثير الحدود.
    • دائماً موجب: تعني أن الإشارة الثانية في القوس الثاني تكون موجبة دائماً.
    • وبالتالي فإن تحليل كثير الحدود هنا: س³ 27= (س 3)(س² - 3س 9)

أمثلة حول تحليل مجموع مكعبين

  • المثال الأول: حلل ما يلي إلى عوامله الأولية: 27س³ 1.
    • الحل: باستخدام الصيغة: س³ ص³= (س ص)( س²- س ص ص²)، وتطبيقها على كثير الحدود السابق ينتج أن:
      • القوس الأول يساوي مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، ويساوي (3س 1).
      • بتطبيق الصيغة على القوس الثاني فإنه يساوي (9س²- 3س 1).
    • وبالتالي فإن العوامل الأولية لكثير الحدود: 27س³ 1، هي: (3س 1)(9س²- 3س 1).
ملاحظة: العدد 1 يعتبر عنصراً محايداً لعملية الضرب، وبالتالي فإن الجذر التكعيبي له يساوي 1.
  • المثال الثاني: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: س³ 125.
    • الحل: بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) فإنه يمكن إيجاد العوامل كما يلي:
    • س³ 125 = (س 5)(س² - 5س 25).
  • المثال الثالث: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 2س³ 128ص³.
    • الحل: يُلاحظ أن الحدين الأول، والثاني في كثير الحدود هذا لا يشكلان مكعباً كاملاً، وبالتالي فإنه يجب إيجاد العامل المشترك الأكبر لهذين الحدين واستخراجه قبل تطبيق قانون تحليل مجموع المكعبين، وبالتالي فإن: العامل المشترك الأكبر للحدين 2س³ 128ص³ هو العدد 2، وباستخراجه يصبح كثير الحدود كما يأتي: 2(س³ 64ص³).
    • بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) على (س³ 64ص³)، ينتج أن:
    • (س³ 64ص³)=(س 4ص)(س²-4س ص 16ص²)، أما عوامل 2س³ 128ص³ فهي: 2(س 4ص)(س²-4س ص 16ص²).
  • المثال الرابع: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 64س³ 125.
    • الحل: بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) فإنه يمكن إيجاد العوامل كما يلي:
    • 64س³ 125 = (4س 5)(16س² - 20س 25).
ملاحظة: القوس الثاني يمثل كثير حدود من الدرجة الثانية، وهو لا يحلل أبداً، ولا يُمكن تبسيطه أكثر من ذلك.
  • المثال الخامس: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 5س³ 625.
    • الحل: يُلاحظ أن الحدين الأول، والثاني في كثير الحدود هذا لا يشكلان مكعباً كاملاً، وبالتالي فإنه يجب إيجاد العامل المشترك الأكبر لهذين الحدين واستخراجه قبل تطبيق قانون تحليل مجموع المكعبين، وبالتالي فإن: العامل المشترك الأكبر للحدين 5س³ 625 هو العدد 5، وباستخراجه يصبح كثير الحدود كما يأتي: 5(س³ 125).
    • بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) على (س³ 125)، ينتج أن:
    • 5(س³ 125)=5(س 5)(س²-5س 25).
  • المثال السادس: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: س³ 8ص³.
    • الحل: كثير الحدود هذا يمثّل مجموع مكعبين على صورة أ³ ب³، تكون فيه أ = س، وب = 2ص، ويمكن تحليله إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة: س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²)، لينتج أن:
      • العامل الأول: (س 2ص)
      • العامل الثاني: (س² - 2 س ص 4ص²)
    • وبالتالي فإن عوامل س³ 8ص³ هي: (س 2ص)(س² - 2 س ص 4ص²).
  • المثال السابع: حلل ما يلي إلى عوامله الأولية: 16م³ 54ن³.
    • الحل: كثير الحدود هذا يمثّل مجموع مكعبين، ولكن الحد الأول، والثاني فيه لا يشكلان مكعباً كاملاً، وبالتالي فإن الخطوة الأولى هي إخراج عامل مشترك كما يلي:
      • 16م³ 54ن³=2(8م³ 27ن³)، ثم تحليل (8م³ 27ن³) باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبين: س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²)، كما يلي:
      • العامل الأول: (2م 3ن)
      • العامل الثاني: (4م² - 6م ن 9ن²)
    • وبالتالي فإن عوامل 16م³ 54ن³ هي: 2 (2م 3ن)(4م² - 6م ن 9ن²).
  • المثال الثامن: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 3س 3س².
    • الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج 3س² كعامل مشترك كما يلي:
      • 3س 3س²=3س²(س³ 1).
    • تحليل (س³ 1) إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبين س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²) كما يلي:
      • العامل الأول: هو مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، ويساوي (س 1).
      • العامل الثاني: ( س²- س 1).
    • مما سبق عوامل الاقتران 3س 3س² هي: 3س²(س 1)( س²- س 1) .
  • المثال التاسع: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 54س 16س.
    • الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج 2س كعامل مشترك كما يلي:
      • 54س 16س=2س(27س 8س).
    • تحليل (27س 8س) إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبين س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²) كما يلي:
      • العامل الأول: هو مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، ويساوي (3س² 2).
      • العامل الثاني: (9س- 6س² 4).
    • مما سبق عوامل الاقتران 54س 16س هي: 2س(3س² 2)(9س- 6س² 4).
  • المثال العاشر: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: س³ ص³.
    • الحل: بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) فإنه يمكن إيجاد العوامل كما يلي:
    • س³ ص³= (س ص)(س² - س ص ص²).
  • المثال الحادي عشر: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 3س 81ص.
    • الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج العدد (3) كعامل مشترك كما يلي:
      • 3س 81ص=3(س 27ص ).
    • تحليل (س 27ص) إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبين س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²) كما يلي:
      • العامل الأول: هو مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، ويساوي (س² 3ص²).
      • العامل الثاني: ( س- 3س² ص² 9ص).
    • مما سبق عوامل الاقتران 3س 3س² هي: 3(س² 3ص²)( س- 3س² ص² 9ص).

لمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين مربعين يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين . لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات من الدرجة الثالثة يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة .

14رياضيات
مزيد من المشاركات
أقوال وحكم عن الخيانة والغدر

أقوال وحكم عن الخيانة والغدر

أقوال وحكم عن الخيانة والغدر الوفاء من شيم الكرام، والغدر من صفات اللئام. الغدر من الصفات القاتلة، خاصة بالنسبة للأشخاص المقربين من الإنسان الغدار، ويجعلهم غير واثقين فيه على الإطلاق. من تعامل مع الناس بالمكر تعاملوا معه بالغدر. الخيانة تغفر و لا تنسى. أكثر الناس خيانةً هو ذلك الذي يعطيك ظهره وأنت في أمس الحاجة إلى قبضة يده. ما أبشع أن تخون صديقًا، لكنّ الأبشع أن تجد الخيانة سهلة. كل خائن يختلق لنفسه ألف عذر وعذر ليقنع نفسه بأنه فعل الصواب. الحب كالزهرة الجميلة والوفاء هي قطرات الندى عليها،
أهمية النظافة

أهمية النظافة

النظافة النظافة هي عبارة عن مجموعة من الممارسات الصحية، والتي تعمل على التخلص من الأوساخ وكافة الأمور التي قد تسبب الأمراض والأوبئة للإنسان وللبيئة، وتعتبر النظافة مهمة جداً للحصول على حياة صحية وخالية من الأمراض. أقسام النظافة النظافة الشخصية النظافة الشخصية هي نظافة كافة أجزاء الجسم وأعضائه وتخليصه من الأوساخ وعوامل التلوث، وتعد النظافة الشخصية مهمة جداً لتقبل الشخص لنفسه وتقبل الآخرين له، ويمكن العناية بأعضاء الجسم المعرضة للتلوث بشكل مستمر من خلال اتباع بعض الخطوات والنصائح التالية:
مدينة العبور الجديدة في مصر

مدينة العبور الجديدة في مصر

تعريف مدينة العبور الجديدة تُعرّف بأنّها مدينة من مدن الجيل الثاني في مصر حيث أصدر رئيس الجمهورية قرارًا للبدء بإنشائها، وذلك في عام 2016م، لتكون منطقة جذب سكاني واقتصادي وخدمي للمحافظات القريبة منها أولها محافظة القليوبية التي تقع في بالقاهرة الكبرى، تحديدًا بالقرب من طريق القاهرة الإسماعيلية، وطريق القاهرة الإقليمي، بالإضافة إلى طريق القاهرة بلبيس. ومن الجدير بالذكر أنّ هذه المدينة تمتد من طريق النهضة ومدخل مدينة العبور من طريق القاهرة الإسماعيلية الصحراوي، وكردون مدينة العاشر من رمضان
فوائد شرب الماء والليمون قبل النوم

فوائد شرب الماء والليمون قبل النوم

فوائد شرب الماء والليمون قبل النوم يعد الماء والليمون من المشروبات التي يوصي بشربها الأطباء وخبراء التغذية، وذلك بسبب فوائده العظيمة التي تعود على الجسم، وذلك بسبب احتواء الليمون على نسبةٍ عالية من الأحماض والفيتامينات، والأملاح المعدنيّة، بالإضافة إلى المواد المطهرة والمضادة للأكسدة وغيرها، ويجدر ذكره أن هذه الفوائد غير محصورة بشرب الماء والليمون قبل النوم، وإنما لشرب الماء والليمون عامة بغض النظر عن الوقت، وفيما يأتي فوائد شرب الماء والليمون قبل النوم: المساعدة على إنقاص الوزن وتحسين الهضم
آثار استخدام الأسمدة الكيميائية على البيئة

آثار استخدام الأسمدة الكيميائية على البيئة

أثر الأسمدة الكيميائية على البيئة يمكن دراسة تأثير الأسمدة الكيميائية عند زيادتها عن الحد المسموح على البيئة على النحو الآتي: التأثير الكائنات الحية البحرية التسميد النيتروجيني يعد من أهم الأسمدة الزراعية التي تساهم في تلوث الماء والغذاء والهواء، كما أن دورة عنصر النيتروجين في الطبيعة وتسربه بين الوسط الأرضي والبحري والهوائي يؤدي إلى تكوين عناصر أو مشتقات نيتروجينية شديدة السمية تترسب بعضها في قاع المحيطات مما يؤثر على البيئة البحرية. تراكم العناصر الثقيلة في التربة التسميد الفوسفاتي يزيد من
استراتيجيات القراءة

استراتيجيات القراءة

مفهوم استراتيجيات القراءة القراءة من أفضل المهارات والعادات التي يمكن اكتسابها وأكثرها فائدة ومتعة، ولكن قد تكون القراءة أحيانًا غير فعالة ولا تؤتي ثمارها، ولهذا يوجد ما يعرف باستراتيجيات القراءة التي تساعد على تطوير مهارة القراءة وفهم المقروء بشكل جيد وسريع، واستراتيجيات القراءة تعني الإجراءات التي تساعد الطلاب أو القراء العاديين على النظر في الكلمات وتفسير معناها الأمر الذي يساعد على فهم المعنى وتطوير مهارة القراءة عمومًا. استراتيجيات القراءة الفعالة توجد خمس استراتيجيات أساسية للقراءة
أجمل قصص القرآن الكريم

أجمل قصص القرآن الكريم

أجمل قصص الأنبياء في القرآن قصة يونس -عليه السلام- سرد القرآن الكريم عدّة قصص لنبيّ الله يونس -عليه السلام- وسيتناول المقال جانباً من هذه القصص وليس جميعها، وقد وردت قصّته في الآيات الكريمة التي نبّهت الرسول محمد -صلى الله عليه وسلم-، قال -تعالى- مخاطباً له: (وَلَا تَكُن كَصَاحِبِ الْحُوتِ إِذْ نَادَى وَهُوَ مَكْظُومٌ)، وقد نبّه الله -تعالى- النبي -عليه السلام- في الآيات من الاتّصاف بصفات يونس -عليه السلام- في الغضب، والضجر، وعدم الصبر على دعوة قومه، والعجلة عليهم، وتركهم، والمكظوم هو المهموم،
ما هو النظام الاشتراكي

ما هو النظام الاشتراكي

لمعرفة المزيد عن هذا النظام ومبادئه أتطرق أولاً إلى تعريف النظام الإشتراكي : وهو نظام تنتهجه وتتبنى مبادئه الدولة للتنمية الشاملة ، ويقوم على أساس مراقبة الدولة للنشاط الإقتصادي والتدخل فيه ، للحدّ من الإستغلال الرأسمالي لمقدرات البلاد ، التي تعمل على توفيرها للعامة ، وتركّز الثروة في أيدي عدد محدود من الأفراد ، وتوفير فرص العمل للمواطنين . ازداد تأثير الفكر الإشتراكي مع ازدياد حدة الأزمةِ الإقتصاديةِ العظمى ، والتي شهدتها المجتمعات الرأسمالية ( والتي تحتكر موارد البلاد في أيدي فئة أو طبقة