التحليل العددي
التحليل العددي (بالإنجليزية:Numerical analysis ) هو أحد فروع الرياضيات وعلم الحاسب الآلي (الكمبيوتر)، حيث يقوم على مبدأ إنشاء وتحليل وتنفيذ مجموعة من الخوارزميات للوصول إلى حلول رقمية للمشاكل الرياضية المبنية على التغيرات والتقلبات المستمرة، وقد تنشأ وتتكون هذه المشاكل والتحديات في العلوم الاجتماعية والطبيعية والطب والهندسة والأعمال، وقد يُطلَق على التحليل العددي مسميات أُخرى، مثل: الطرق العددية، أو التحليل الكمي.
وقد أدى النمو الهائل للحواسيب الرقمية وتوفرها بكميات كبيرة إلى زيادة استخدامها في الحياة؛ حيث أصبحت الحاجة ملحة لتحليل النماذج الرياضية في العلوم والهندسة وذلك لحل التعقيدات الموجودة فيها، فبرز في الفترة (1990-1980) نظام يجمع بين التحليل العددي، ورسومات الكمبيوتر، والحسابات الرياضية الرمزية، وغيرها من المجالات الأخرى لعلوم الكمبيوتر؛ وذلك لتسهيل إنشاء نماذج رياضية معقدة للعالم وحلها وتفسيرها.
أساليب رياضية للتحليل العددي عند المحللين العدديين
يدرس التحليل العددي جميع جوانب المشكلة الموجودة من الناحية العددية ، ويكون ذلك من خلال التطور والتقدم النظري وفهم الأساليب العددية وتنفيذها على شكل برامج محوسبة، حيث تتميز هذه البرامج بموثوقيتها وفعاليتها، وقد عمل المحللين العددين المختصين في الحقول الفرعية للتحليل العددي على وضع مجموعة من وجهات النظر والاهتمامات المشتركة فيما بينهم، وتشتمل هذه الاهتمامات على الأساليب الرياضية للتحليل العددي، وفي ما يلي توضيح لبعض هذه الأساليب التي اتفق عليها المحلليين العدديين:
- الأسلوب الأول: في حال مواجهة مشكلة مستعصية ولا يمكن حلها بطرق مباشرة، يمكن استبدال هذه المشكلة بأخرى قريبة يمكن حلها بيسر وسهولة، ومن الأمثلة على هذا الأسلوب استعمال الاستيفاء في تطوير طرق الدمج الرقمي وطرق استكشاف الجذور.
- الأسلوب الثاني: استخدام الجبر الخطي والتحليل الحقيقي والوظيفي.
- الأسلوب الثالث: يجب فهم طبيعة الخطأ والمشكلة قبل تقريبها، فذلك يساهم في إنشاء عمليات استقراء لتحسين مستوى أسلوب التقارب للطريقة العددية.
- الأسلوب الرابع: استخدام كثير الحدود (بالإنجليزية: polynomial) وهو عبارة عن تعبير جبري يحتوي على مجموعة من الأرقام والمتغيرات المنسقة وفق نمط معين، وفق النموذج التالي: ل س، حيث أن: ل عبارة عن معامل س، وهو ينتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، و ن الدرجة أو القوة، وهو ينتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة، فعلى سبيل التوضيح المثال التالي له جذور حساسة،
- (p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7
- p(x) = x − 28x 322x − 1,960x − 6,769x − 13,132x 13,068x − 5,040
(فإذا تم تغيير معامل x إلى −28.002 ، فإن الجذور الأصلية (5 ,6) تتغيّر إلى الأعداد المركبة 5.459 0.540i—a، وهو تغير مهمّ في القيم، ويطلق على (س) كثير الحدود اسم غير مستقر فيما يخص مشكلة اكتشاف الجذر، ويجب ألا تكون الطرق العددية لحل المشكلات أكثر حساسية للتغيرات في البيانات أكثر من المشكلة الأصلية التي يجب حلها، علاوةً على ذلك ، يجب أن تكون صياغة المشكلة الأصلية مستقرة أو جيدة).
تاريخ التحليل العددي
نشأت الخوارزميات قبل الميلاد بحوالي 1650 سنة، حيث كانت تهتم بطرق الحصول على الجذر من أجل حل المعادلات البسيطة، وقد طوّر العلماء اليونانيون القدامى العديد من طرق العد، ومن هؤلاء العلماء إيودوكسوس من كنيدوس، وأرخميدس الذي أتقن طريقة الاستنباط لحساب المساحات والأطوال وحجوم الأشكال الهندسية ، كما طوّر إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنيز حساب التفاضل والتكامل، ممّا أدى إلى الحصول على نماذج رياضية في منتهى الدقة في مجال علوم الفيزياء والهندسة والطب والأعمال التجارية، وكان ما يميز هذه النماذج الرياضية هو أنها كانت معقدة للغاية، بحيث لا يمكن الوصول إلى حلول صريحة لها، وقد بُذِلت العديد من الجهود للحصول على حلول تقريبية مفيدة للغاية، مما كان دافعاً رئيساً لاستخدام التحليل العددي.
ومن الجوانب الأخرى المهمة في عملية تطوير الطرق العددية كان إيجاد اللوغاريتمات من قبل مجموعة من العلماء الرياضيين، ومن بينهم العالم الأسكتلندي الرياضي جون نابيير وكان ذلك في عام 1614، ففي اللوغاريتمات كانت تُستبدَل عمليّتا الضرب والقسمة، ويُستعاض عنهما بعمليّتي الجمع والطرح، وذلك بتحويل القيم الأصلية بناءً على جداول خاصة، وقد ساعدت هذه العملية المخترع نشارلز باباج (1871-1791) في تصنيع أول حاسب آلي (الحاسوب).
وقد وضع نيوتن العديد من القوانين الفيزيائية الأساسية، وابتكر العديد من الطرق العددية لحل المشكلات والصعوبات الرياضية، حيث لا يزال اسمه مرتبطاً بالكثير من الأفكار الأصلية، ومن أهم إنجازاته إيجاد الجذور وإيجاد معادلة كثيرة الحدود التي تناسب مجموعة من البيانات، ومن بعده قدم العديد من الرياضيين إنجازات مهمة أثرت بشكل واضح في التحليل العددي، ومن بين هؤلاء العلماء الفرنسي جوزيف لاغرانج (1736-1813)م، والسويسري ليونارد أويلر (1707-1783)م، والألماني كارل فريدريش جوسيس (1777-1855)م.
من طرق حل المعادلات غير الخطية باستخدام التحليل العددي
هناك مجموعة من الطرق العددية تُسمّى الطرق التكرارية، التي تجد جذوراً قريبةً جداً من الجذور المطلوبة، حيث يُفترَض أن القيمة الأولية هي x0، وفيما يأتي توضيح لأكثر الطرق المستخدمة في إيجاد جذور المعادلات غير الخطية، ومنها ما يأتي:
- مبرهنة القيمة الوسطى (بالإنجليزية: Mean Value theorem): إن أغلب طرق حل المعادلات غير الخطية نحصل من خلالها على الصيغة التكرارية الآتية:
- xn 1 = xn −f(xn) /𝑘 ، حيث إنّ:
- ......n= 0,1,2,3,4,5
- 𝑘=f(xn) − f(fn-1)/ xn - xn-1
- طريقة التكرار (بالإنجليزية: Iterative Method): تستخدم هذه الطريقة لحل المعادلات عندما 0=(f(x، وذلك بوضع (X = g (x ، فعلى سبيل المثال يمكن كتابة المعادلة (𝑥³ −2 = 0) بعدة طرق، منها:
- 𝑥 = 𝑥³ −2𝑥 𝑥
- 𝑥 = 2-𝑥³ 5𝑥/ 5
- 𝑥 = 2 /𝑥²
ثم يتم إيجاد قيمة مناسبة X=X0، وتتكون من خلالها سلسلة من التقريبات إلى حين الوصول إلى جذر المعادلة، وهو: ((x = g (x)، وذلك باستخدام الصيغة الآتية:
- (xn-1 = g(xn
- طريقة نيوتن- رافسون (بالإنجليزية: Newton -Raphson Method): لحل معادلات غير خطية باستخدام هذه الطريقة، تُكتَب المعادلة على صورة (0=(f (x)، ثم يتم إيجاد قيمة مقربة للجذر الصحيح الواقع بين القيمتين (a, b)، ومن ثمّ إيجاد القيم على شكل متتالية، وبصورة عامة فإنّ:
- xn 1 = xn −f(xn) /f(xn
