تعريف كثيرات الحدود
يمكن تعريف كثيرات الحدود (بالإنجليزية: Polynomials) على أنّها عبارة عن تعبيرات رياضية تتكون من متغيرات، ومعاملات (ثوابت)، بالإضافة إلى عمليات الجمع، والطرح، والضرب، والأسس غير السالبة فقط، وهي تعد جزءاً مهماً من علم الرياضيات والجبر؛ فهي تُستخدم في كل المجالات الرياضية تقريباً للتعبير عن الأعداد كنتيجة للعمليات الرياضية.
ومن الأمثلة على كثيرات الحدود: 3س-2س 5، -7. س 3، ومن التعابير التي لا تعد من كثيرات الحدود: 6س 2س-3، جتا(س-1)، وهي التعابير التي تضم عمليات أخرى غير الجمع، والطرح، والضرب، والأسس غير السالبة.
أجزاء كثيرات الحدود
تتكوّن كثيرات الحدود من الأجزاء الآتية:
الحدود (أحاديات الحدود)
(بالإنجليزية: Monomials) هو عبارة عن تعبير يتكوّن من متغيرات وثوابت، أو ثوابت لوحدها، لكنه لا يحتوي على خصائص عمليات جمع أو طرح ، وأحاديات الحدود هي الأجزاء الأساسية المكوّنة لكثيرات الحدود، ويُطلق عليها اسم الحد (بالإنجليزية: Term) إذا كانت جزءًا من كثير حدود أكبر، ويوضّح المثال الآتي طريقة تحديد عدد الحدود المكوّنة لكثيرات الحدود:
| كثير الحدود | عدد الحدود المكونة له |
| س 3 | يتكون من حدين هما: س و3 |
| 3س-2س 5 | يتكون من ثلاثة حدود هي: 3س، و-2س، و5 |
| -7 | يتكون من حد واحد هو -7 |
| 3أب-3ب 2أ-1 | يتكون من أربعة حدود هي: 3أب ، -3ب ، 2أ ، -1 |
| 1/2س-2/3س 3/4 | يتكون من ثلاثة حدود هي: 1/2س، -2/3س ، 3/4 |
معامل الحدّ
(بالإنجليزية: Term Coefficient) هو العنصر الثابت وغير المتغير لذلك الحد، ويوضّح المثال الآتي طريقة تعيين المعاملات لكل حد من الحدود:
| الحد | المعامل |
| س | 1 |
| 3س2 | 3 |
| 2أب | 2 |
ملاحظة: في حال عدم وجود متغيرات في الحد فإن المعامل يكون هو الحد نفسه.
تصنيف كثيرات الحدود
يمكن تصنيف كثيرات الحدود بطريقتين مختلفتين هما:
- عدد الحدود: حيث ينقسم كثير الحدود بالنسبة إلى عدد الحدود إلى الأقسام الآتية: أحادي الحد، وهو يضم حداً واحداً فقط؛ مثل: 8س.
- ثنائي الحدود: وهو يضم حدين فقط؛ مثل: 3س-4.
- ثلاثي الحدود: وهو يضم ثلاثة حدود فقط؛ مثل: 4س 5س-2 أما إذا احتوى كثير الحدود على عدد أكثر من ثلاثة حدود، فهو يُسمَّى بعدد الحدود التي يحتوي عليها.
- الدرجة: تُحدّد درجة الحد الواحد من الحدود المكوّنة لكثيرات الحدود عن طريق النظر إلى قيمة أس المتغير الموجود فيه، أو مجموع قيم أسس المتغيرات المكوّنة له في حال احتوائه على أكثر من متغير واحد، لتساوي درجة كثير الحدود درجة الحد الأعلى دائماً من الحدود المكوّنة له، وتوضح الأمثلة الآتية طريقة تحديد درجة كثير الحدود:
- المثال الأول: حدّد درجة كثير الحدود الآتي: 5س 3س 9س:
- الحل: درجة الحد 5س هي4، ودرجة الحد 3س هي 3، ودرجة الحد 9س هي 2، وعليه يعد الحد 5س الحد ذا الدرجة الأعلى هنا؛ وبناءً عليه يعد كثير الحدود هذا كثير حدود من الدرجة الرابعة؛ لأنّ درجة كثير الحدود تساوي درجة الحد الأعلى.
- المثال الثاني: حدّد درجة كثير الحدود الآتي: 6ص 3س ص 9.
- الحل: درجة الحد 6ص هي 3، ودرجة الحد 3س ص هي 2، ودرجة الحد 9 هي صفر، وعليه يعد الحد 6ص الحد ذا الدرجة الأعلى هنا، وبناءً عليه يعد كثير الحدود هذا كثير حدود من الدرجة الثالثة؛ لأنّ درجة كثير الحدود تساوي درجة الحد الأعلى.
يجدر بالذكر هنا أن كثير الحدود ذا الدرجة الصفرية يُعرف باسم الثابت، ولأنّ قيمة الثابت لا تتغير فهو يستخدم لوصف الكميات غير المتغيرة، ويُعرف كثير الحدود ذو الدرجة الأولى بكثير الحدود الخطي، وهو يُستخدم لوصف الكميات التي تتغير بمعدل ثابت، ويُستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية المتعلقة بالبعد الواحد مثل الطول، كما يُعرف كثير الحدود ذو الدرجة الثانية باسم كثير الحدود التربيعي، وهو يستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية المتعلقة بالأبعاد الثنائية؛ مثل المساحة.
الشكل القياسي لكتابة كثيرات الحدود
تكتب كثيرات الحدود بالطريقة القياسية عن طريق كتابة الحدود ذات الدرجة الأعلى أولاً، ثم ترتيبها تنازلياً حتى الوصول إلى الحد ذي الدرجة الأقل، ويوضّح المثال الآتي طريقة كتابة كثيرات الحدود بالطريقة القياسية:
- اكتب كثير الحدود الآتي بالشكل القياسي: 3س-7 4س س.
- الحل: الحد ذو الدرجة الأعلى هو س، لذلك فهو يُكتب أولاً، ثمّ 4س، ثمّ 3س، ثمّ الثابت، وبالتالي يكتب كثير الحدود هذا بالشكل الآتي: س 4س 3س-7.
العمليات الحسابية على كثيرات الحدود
إليك أهم العمليات الحسابية على كثيرات الحدود:
جمع وطرح كثيرات الحدود
تُجمع كثيرات الحدود عن طريق جمع الحدود المتشابهة مع بعضها، وهي الحدود التي تمتلك المتغيرات والأسس ذاتها، ومن الممكن لمعاملاتها أن تختلف عن بعضها؛ فمثلاً تعد س، و7س، و-2س حدوداً متشابهة إلا أنّها تمتلك معاملات مختلفة، بينما تعد الحدود الآتية حدوداً مختلفة: 2س، 2س ص، 2ص، 2س، 4 كما تُطرح كثيرات الحدود أيضاً بالطريقة نفسها.
- المثال الأول: احسب ناتج جمع 2س 6س 5 و 3س-2س-1.
الحل:أولاً: كتابة المسألة بالشكل الآتي: 2س 6س 5 3س-2س-1 ثم ترتيب المسألة بوضع الحدود المتشابهة مع بعضها البعض: (2س 3س) ( 6س-2س) (5-1). ثم جمع الحدود المتشابهة لينتج ما يلي: (2 3)س (6-2)س (5-1)=5س 4س 4.
- المثال الثاني: جد ناتج طرح: (5ص² 2س ص -9) - (2ص² 2س ص - 3).
الحل:تُطرح كثيرات الحدود عن طريق إزالة الأقواس أولاً، ثمّ توزيع إشارة الطرح على القوس الذي يليها لتغيّر كل إشارة فيه، ثمّ جمع الحدود المتشابهة، وذلك كما يلي: 5ص² 2س ص -9 -2ص² -2س ص 3 = 5ص²-2ص² 2س ص-2 س ص -9 3 = (5-2)ص² 0-6 = 3ص²-6.
ضرب كثيرات الحدود
يمكن ضرب كثيرات الحدود عن طريق توزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني، ثمّ جمع الحدود المتشابهة إن أمكن ذلك، وعند ضرب الحدين ببعضهما البعض؛ فيجب أولاً ضرب المعاملات ببعضها ثمّ جمع الأسس، ويوضح المثال الآتي طريقة ضرب كثيرات الحدود ببعضها:
- جد ناتج (3س-4ص)×(5س-2ص).
- جمع الحدود المتشابهة مع بعضها: 15س2-26س ص 8ص2.
تدريبات متنوعة على كثيرات الحدود
إليك أهم الأمثلة حول كثيرات الحدود:
المثال الأول: جد ناتج ما يلي:
- (3س 2)×(4س²-7س 5).
- (4س-5)×(2س² 3س-6).
- (3س²-6س س ص) (2س³-5س²-3ص) (7س 8ص).
- (2س²-4ص 7س ص-6ص²) - (-3س² 5ص-4س ص ص²).
الحل:
- (3س 2)×(4س²-7س 5) = 12س³-21س² 15س 8س²-14س 10 = 12س³-21س² 8س² 15س-14س 10 = 12س³- 13س² س 10.
- (4س-5)×(2س² 3س-6) = 8س³ 12س²-24س-10س²-15س 30 = 8س³ 12س²-10س²-24س-15س 30 = 8س³ 2س² -39س 30.
- (3س²-6س س ص) (2س³-5س²-3ص) (7س 8ص) = 2س³ 3س²-5س² -6س 7س س ص 8ص -3ص = 2س³ -2س² س س ص 5ص.
- (2س²-4ص 7س ص-6ص²) - (-3س² 5ص-4س ص ص²) = 2س² 3س² -4ص-5ص 7س ص 4س ص -6ص²-ص² = 5س² -9ص 11س ص -7ص².
المثال الثاني: إذا كانت أ = 4س -3س³ س²-5س 11، ب = -3س 6س³-8س² 4س-3، جد ناتج أ-2×ب.
الحل:
- حساب 2×ب أولاً = 2×(-3س 6س³-8س² 4س-3) = -6س 12س³-16س² 8س-6.
- حساب أ-2ب = 4س -3س³ س²-5س 11 - (-6س 12س³-16س² 8س-6) = 4س 6س-3س³-12س³ س² 16س²-5س-8س 11 6 = 10س-15س³ 17س²-13س 17
المثال الثالث: جد درجة كل كثير حدود من الآتي:
- 7س² 3س-2س 8س-7.
- 6س³ 3س ص 9.
- 4س² 3س 9.
- 3س-4س³ص 6س²ص³ 7ص 2.
الحل:
- 7س² 3س-2س 8س-7.
- 7س²، درجته هي (2)، 3س درجته هي (1)، -2س درجته هي(4)، 8س درجته هي (6)، -7 درجته هي (0).
- درجة كثير الحدود هذا هي (6)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة السادسة.
- 6س³ 3س ص 9.
- 6س³ درجته هي (3)، 3 س ص درجته هي (2)، 9 درجته هي (0).
- درجة كثير الحدود هذا هي (3)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الثالثة.
- 4س² 3س 9.
- 4س² درجته هي (2)، 3 س درجته هي (1)، 9 درجته هي (0).
- درجة كثير الحدود هذا هي (2)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الثانية.
- 3س-4س³ص 6س²ص³ 7ص 2.
- 3س درجته هي (4)، 4س³ص درجته هي (4)، 6س²ص³ درجته هي (5)، -7ص درجته هي (4)، 2 درجته هي (0).
- درجة كثير الحدود هذا هي (5)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الخامسة.
