نبذة عن القطع المكافئ
القطع المكافئ (ويقال له الشلجم والصواب الشلجمي أي ذو شكل الشلجم) في الرياضيات هو شكل ثنائي الأبعاد وهو من القطوع المخروطيّة ، ينشأ من قَطع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له)، بمعلومية بؤرته (نقطة) ودليله (وهو خط مستقيم مقابل في المستوى).
وهو المحلّ الهندسي للنقاط الواقعة في المستوى والتي تبعد عن البؤرة مسافة مساوية للتي تبعدها عن الدليل، ومحور التماثل يكون الخطّ الذي يمرّ بالبؤرة وهو عاموديّ على الدليل، ونقطة تقاطع محور التماثل مع القطع المكافئ تُسمى رأس القطع المكافئ.
ورأس القطع المكافئ هو نقطة تقع عليه يحدث عندها تغيّر في فترات التزايد والتناقص، وميل المماس عندها يساوي صفر، وقد يكون القطع المكافئ مفتوحاً على أي من الاتجاهات الأربعة.
استخدامات القطع المكافئ
للقطوع المكافئة العديد من الاستخدامات والتطبيقات، فهي تُستخدم في مرايا السيارات والمصابيح الأمامية لها، وصولا لتصميم الصواريخ البالستية، كما أنّ لها العديد من الاستخدامات في العديد من المجلات كالفيزياء والهندسة.
كما تُستَخدم في عاكسات القطع المكافئ، والتي تستخدمها القنوات الفضائية والرادار وأبراج الهواتف النقالة، ومجمّعات الصوت، وكذلك تستخدمها التلسكوبات الراديويّة الضخمة التي تعمل على استقبال إشارات خافتة من الفضاء لإنشاء صور لأجسام بعيدة.
ويُقال إن الجيش اليوناني استخدم المرايا المكافئة لإشعال النار في السفن الرومانيّة التي كانت تهاجم سيراكيوز في العام 213 قبل الميلاد، ولكنّها قد تكون مجرّد أسطورة لا غير.
كما استخدِمت القطوع المكافئة في الجسور المعلقة، الناس يخطئون بين القطع المكافئ ومنحنى يسمّى المنحنى السلسلي لأنه يشبهه، فمن المثير للاهتمام أنه عند تعليق أوزان على الكابلات فإنّ المنحنى يتغير شكله إلى قطع مكافئ.
معادلات القطع المكافئ
فيما يأتي توضيح لمعادلات القطع المكافئ:
عندما يكون مفتوح لليمين أو لليسار
وهي تتضمن حالتين من المعادلات كما يأتي:
- في حال كانت إحداثيات ذروته (x0، y0) تكون المعادلة بالشكل الآتي:
- في حال كانت ذروته تنطبق على محور الإحداثيات تصبح معادلة القطع بالشكل الآتي:
y² = 4ax
عندما يكون مفتوح للأعلى أو للأسفل
وهي تتضمن حالتين من المعادلات كما يأتي:
- في حال كانت إحداثيات ذروته (x0، y0) تكون المعادلة بالشكل الآتي:
- في حال كانت ذروته تنطبق على محور الإحداثيات تصبح المعادلة بالشكل الآتي:
x² = 4ay
من الجدير بالذكر أن a = المسافة بين رأس القطع و البؤرة .
تاريخ معادلات القطع المكافئ
يعود الفضل للعالم اليونانيّ ميناشموس في منتصف الرابع قبل الميلاد في اكتشاف القطع المكافئ، ويُنسَب إليه أيضًا استخدام القطع المكافئ لحل مشكلة إيجاد البنية الهندسية للجذر المكعب للرقم 2، لكنّه لم يكن قادرًا على حل هذه المشكلة في أعمال البناء، لكنّه بيّن أنّ إيجاد الحل ممكن من خلا تقاطع منحنيين مكافئين.
أمّا اسم القطع المكافئ الذي سمّي (بالإنجليزية: Parabola)، فقد سمّاه أحد علماء الرياضيات وهو أبولونيوس من بيرجا في القرن الثالث إلى الثاني قبل الميلاد، وباربولّا كلمة يونانيّة تعني (التطبيق الدقيق)، لأنها تنتج عن تطبيق منطقة معيّنة على خطّ مستقيم محدد.
