التحويلات العددية بين أنظمة العد

التحويل إلى النظام العشري Decimal

نظام العد العشري ( بالإنجليزية: Decimal Number System) هو النظام الذي يتكون من 10 أرقام محصورة بين الرقمين 0 و9، وهو مهم للغاية باعتباره الأكثر تداولًا حول العالم إذ يُستخدم النظام العشري في حياتنا اليومية، وفي علم الرياضيات على حد سواء، تحديدًا عند التعامل مع الأموال، والأوزان، والأطوال، التي تتضمن أنواعًا مختلفة من الكسور كالكسور العشرية مثل الرقم 25.5.

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري

للتحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري يجب اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

1. رفع الرقم 2 إلى قوة بدايةً من 0 بالترتيب من اليمين إلى اليسار أسفل العدد الثنائي المراد تحويله، شريطة زيادة القوة درجة واحدة في كل مرة، وتنتهي هذه الخطوة عند الوصول إلى عدد عناصر مساوٍ لعدد الأرقام في الرقم الثنائي، فإذا كان العدد مكون من 3 أرقام ستكون البداية من 2وستنتهي بـ 2.
2. إيجاد القيمة النهائية لكل قوة من قوى الأرقام 2 بالترتيب.
3. إيجاد حاصل ضرب كل رقم من الأرقام المكونة للعدد الثنائي مع ما يقابله من القيمة النهائية لقوة الرقم 2.
4. إيجاد حاصل جمع الأرقام المكونة للناتج النهائي من الخطوة السابقة، عندها سيمثّل الناتج العدد العشري المناظر للعدد الثنائي.
5. كتابة الناتج بالنظام العشري.

التحويل من النظام الثماني إلى النظام العشري

للتحويل من النظام الثماني إلى النظام العشري يجب اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

1. رفع الرقم 8 إلى قوة بدايةً من 0 بالترتيب من اليمين إلى اليسار أسفل العدد الثماني المراد تحويله، شريطة زيادة القوة درجة واحدة في كل مرة، وتنتهي هذه الخطوة عند الوصول إلى عدد عناصر مساوٍ لعدد الأرقام في الرقم الثماني، فإذا كان العدد مكون من 3 أرقام ستكون البداية من 8وستنتهي بـ 8.
2. إيجاد القيمة النهائية لكل قوة من قوى الأرقام 8 بالترتيب.
3. إيجاد حاصل ضرب كل رقم من الأرقام المكونة للعدد الثماني مع ما يقابله من القيمة النهائية لقوة الرقم 8.
4. إيجاد حاصل جمع الأرقام المكونة للناتج النهائي من الخطوة السابقة، عندها سيمثّل الناتج العدد العشري المناظر للعدد الثماني.
5. كتابة الناتج بالنظام العشري.

التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام العشري

للتحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام العشري يجب اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

1. رفع الرقم 16 إلى قوة بدايةً من 0 بالترتيب من اليمين إلى اليسار أسفل العدد السداسي عشر المراد تحويله، شريطة زيادة القوة درجة واحدة في كل مرة، وتنتهي هذه الخطوة عند الوصول إلى عدد عناصر مساوٍ لعدد الأرقام في الرقم السداسي عشر، فإذا كان العدد مكون من 3 أرقام ستكون البداية من 16وستنتهي بـ 16.
2. إيجاد القيمة النهائية لكل قوة من قوى الأرقام 16 بالترتيب.
3. إيجاد حاصل ضرب كل رقم من الأرقام المكونة للعدد السداسي عشر مع ما يقابله من القيمة النهائية لقوة الرقم 16.
4. إيجاد حاصل جمع الأرقام المكونة للناتج النهائي من الخطوة السابقة، عندها سيمثّل الناتج العدد العشري المناظر للعدد السداسي عشر.
5. كتابة الناتج بالنظام العشري.

أمثلة على التحويل إلى النظام العشري

فيما يأتي بعض الأمثلة على التحويل إلى النظام العشري:

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري

مثال: حوّل العدد ₂(100101) من النظام الثنائي إلى النظام العشري.

الحل:

• رفع الرقم 2 إلى قوة بدايةً من 0 بالترتيب ثم إيجاد قيمتها:

1 0 1 0 0 1 ← (العدد الثنائي)

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

222222 ← (القوى)

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 2 4 8 16 32 ← (المضاعفات)

• إيجاد حاصل ضرب كل رقم من الأرقام المكونة للعدد الثنائي مع ما يقابله من القيمة النهائية لقوة الرقم 2:

1 0 1 0 0 1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ×

1 2 4 8 16 32

ــــــــــــــــــــــــــــــــــ

1 0 4 0 0 32

• إيجاد حاصل جمع الأرقام المكونة للناتج النهائي من الخطوة السابقة:

1 0 4 0 0 32 = 37

• كتابة الناتج بالنظام العشري:

₂(100101) = ₁₀(37)

التحويل من النظام الثماني إلى النظام العشري

مثال: حوّل العدد ₈(12527) من النظام الثماني إلى النظام العشري.

الحل:

• رفع الرقم 8 إلى قوة بدايةً من 0 بالترتيب ثم إيجاد قيمتها:

7 2 5 2 1 ← (العدد الثماني)

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

88888 ← (القوى)

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 8 64 512 4096 ← (المضاعفات)

• إيجاد حاصل ضرب كل رقم من الأرقام المكونة للعدد الثماني مع ما يقابله من القيمة النهائية لقوة الرقم 8:

7 2 5 2 1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ×

1 8 64 512 4096

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

7 16 320 1024 4096

• إيجاد حاصل جمع الأرقام المكونة للناتج النهائي من الخطوة السابقة:

7 16 320 1024 4096 = 5436

• كتابة الناتج بالنظام العشري:

₈(12527) = ₁₀(5436)

التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام العشري

مثال: حوّل العدد ₁₆(C9214) من النظام السداسي عشر إلى النظام العشري.

الحل:

• رفع الرقم 16 إلى قوة بدايةً من 0 بالترتيب ثم إيجاد قيمتها، مع تعويض الرقم 12 الذي يمثّل قيمة الحرف C بالأرقام:

4 1 2 9 12 ← (العدد السداسي عشر)

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1616161616 ← (القوى)

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 16 256 4096 65636 ← (المضاعفات)

• إيجاد حاصل ضرب كل رقم من الأرقام المكونة للعدد السداسي عشر مع ما يقابه من القيمة النهائية لقوة الرقم 16:

4 1 2 9 12

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ×

1 16 256 4096 65636

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

4 16 512 3664 786432

• إيجاد حاصل جمع الأرقام المكونة للناتج النهائي من الخطوة السابقة:

4 16 512 3664 786432 = 790628

• كتابة الناتج بالنظام العشري:

₁₆(C9214) = (790628)₁₀

التحويل إلى النظام الثنائي Binary

نظام العد الثنائي (Binary Number System) هو أحد أنظمة العد ، وهو النظام الذي يتكون من رقمين 0 و1، حيث يُستخدم النظام الثنائي في أجهزة الحواسيب المختلفة لفهم التعليمات البرمجية التي يُعبّر عنها باستخدام الرقم 2 كأساس للعدد.

التحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي

هناك أكثر من طريقة للتحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي، لكن سنتناول الطريقة الأكثر يسرًا الموضحة أدناه:

1. استخدام طريقة لقسمة العدد العشري بصورة متكررة على الرقم 2 حصرًا (لأنّ المطلوب التحويل إلى النظام الثنائي)، ويكون ذلك من خلال رسم جدول يتكون من عمودين، بحيث يمثّل العمود الأول المقسوم والعمود الثاني المقسوم عليه وهو الرقم 2.
2. تطبيق عملية القسمة لحين وصول المقسوم إلى الرقم 0.
3. استخراج الناتج من عمود المقسوم من أسفل لأعلى ↑، فعندما يكون الرقم زوجي يُستبدل بالرقم 0 لكن عندما يكون الرقم فردي يُستبدل بالرقم 1.

التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي

كل رقم من الأرقام المكونة للنظام الثماني يكافئها رقم جاهز مكون من 3 خانات في النظام الثنائي، لذا وبناءً على الجدول الآتي سيجري التحويل من خلال استبدال كل رقم بمكافئه من النظام الثنائي كالآتي:

التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي

للتحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي يجب اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

1. كتابة الرقم السداسي عشر، في حال احتوى على حروف تُستبدل بمكافئاتها من النظام العشري.
2. استبدال كل رقم من الأرقام المكونة للنظام السداسي عشر بما يكافئها من رقم جاهز مكون من 4 خانات في النظام الثنائي، لذا وبناءً على الجدول الآتي سيجري التحويل من خلال استبدال كل رقم بمكافئه من النظام الثنائي:

أمثلة على التحويل إلى النظام الثنائي

فيما يأتي بعض الأمثلة على التحويل إلى النظام الثنائي:

التحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي

مثال: حوّل العدد ₁₀( 12 ) من النظام العشري إلى النظام الثنائي.

الحل:

• استخدام طريقة القسمة المتكررة لقسمة العدد العشري بصورة متكررة على الرقم 2 كما يأتي:

• استخراج الناتج من عمود المقسوم من أسفل لأعلى ↑، بحيث يُستبدل الرقم الزوجي بالرقم 0 والرقم فردي بالرقم 1.

• كتابة الناتج بالنظام الثنائي:

₁₀(12) = ₂(1100)

التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي

المثال: حوّل العدد ₈( 217 ) من النظام الثماني إلى النظام الثنائي.

الحل:

• استبدال كل رقم من الأرقام المكونة للعدد بمكافئها المكون من 3 خانات في النظام الثنائي:

111 001 010

• كتابة الناتج بالنظام الثنائي:

₈(217) = ₂(111 001 010)

التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي

المثال: حوّل العدد ₁₆(AB5) من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي.

الحل:

• استبدال كل رقم من الأرقام المكونة للعدد بمكافئها المكون من 4 خانات في النظام الثنائي:

• كتابة الناتج بالنظام الثنائي:

₁₆(AB5) = ₂(1010 1011 0101)

التحويل إلى النظام الثماني Octal

نظام العد الثماني (Octal Number System) هو النظام الذي يتكون من 8 أرقام محصورة بين الرقمين 0 و7، حيث يُستخدم لعنونة أماكن  ذاكرة الوصول العشوائي  RAM.

التحويل من النظام العشري إلى النظام الثماني

هناك أكثر من طريقة للتحويل من النظام العشري إلى النظام الثماني، لكن سنتناول الطريقة الأكثر يسرًا وهي طريقة القسمة الموضحة أدناه:

1. استخدام طريقة القسمة المتكررة لقسمة العدد العشري بصورة متكررة على الرقم 8 حصرًا (لأن المطلوب التحويل إلى النظام الثماني)، ويكون ذلك من خلال رسم جدول يتكون من 3 أعمدة، بحيث يمثّل العمود الأول المقسوم، والعمود الثاني المقسوم عليه وهو الرقم 8، والعمود الثالث الباقي.
2. تطبيق عملية القسمة لحين وصول المقسوم إلى أقل من 8.
3. استخراج الناتج من عمود الباقي من أسفل لأعلى ↑.

ملاحظة: عندما يكون الرقم العشري المراد تحويله أقل من 8، عندها سيكون هو نفسه الرقم الثماني.

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام الثماني

تجدر الإشارة إلى أنّه تستخدم بعض لغات البرمجة النظام الثنائي، وللتحويل من النظام الثنائي إلى النظام الثماني يجب اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

1. تقسيم العدد الثنائي إلى مجموعات كل منها مكون من 3 خانات (لأن النظام الثماني يتكون أساسًا من 3 خانات)، وذلك من اليمين إلى اليسار، وفي حال كانت المجموعة الأخيرة تتكون من أقل من 3 خانات، يُكمّل النقص بأصفار حتى تصبح 3 خانات.
2. استبدال كل مجموعة من مجموعات العدد الثنائي بمكافئها من العدد الثماني وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي.

التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثماني

للتحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثماني يجب اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

• تحويل النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي، كالآتي:
  • كتابة الرقم السداسي عشر، في حال احتوى على حروف تُستبدل بمكافئاتها من النظام العشري.
  • استبدال كل رقم من الأرقام المكونة للنظام السداسي عشر بمكافئها من النظام الثنائي المكون من 4 خانات، وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي.
• تقسيم العدد الثنائي إلى مجموعات كل منها مكون من 3 خانات (لأن النظام الثماني يتكون أساسًا من 3 خانات)، وذلك من اليمين إلي اليسار، وفي حال كانت المجموعة الأخيرة تتكون من أقل من 3 خانات، يُكمّل النقص بأصفار حتى تصبح 3 خانات.
  • استبدال كل مجموعة من مجموعات العدد الثنائي بمكافئها من العدد الثماني وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي.

أمثلة على التحويل إلى النظام الثماني

فيما يأتي بعض الأمثلة على التحويل إلى النظام الثماني:

التحويل من النظام العشري إلى النظام الثماني

مثال: حوّل العدد ₁₀(420) من النظام العشري إلى النظام الثماني. الحل:

• استخدام طريقة القسمة المتكررة لقسمة العدد العشري بصورة متكررة على الرقم 8:

• استخراج الناتج من عمود الباقي من أسفل لأعلى ↑، ثم كتابة الناتج بالنظام الثماني:

₁₀(420) = ₈(644)

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام الثماني

مثال: حوّل العدد ₂( 101010) من النظام الثنائي إلى النظام الثماني.

الحل:

• تقسيم العدد الثنائي إلى مجموعات كل منها مكون من 3 خانات من اليمين إلى اليسار، واستبدال كل مجموعة بمكافئها من العدد الثماني وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي:

• كتابة الناتج بالنظام الثماني:

₂(101010) = ₈(52)

التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثماني

مثال: حول العدد ₁₆(25) من النظام السداسي عشر إلى النظام الثماني:

الحل:

• تحويل العدد من النظام السداسي عشر إلى النظام الثماني عن طريق استبدال كل رقم من الأرقام المكونة للعدد بمكافئها المكون من 4 خانات في النظام الثنائي، وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي:

5 2

↓ ↓

0101 0010

• كتابة الناتج بالنظام الثنائي:

₁₆(25) = ₂(0101 0010)

• تحويل الناتج بالنظام الثنائي إلى النظام الثماني عن طريق تقسيم العدد الثنائي إلى مجموعات كل منها مكون من 3 خانات، وفي حال كانت المجموعة الأخيرة تتكون من أقل من 3 خانات يُكمّل النقص بأصفار حتى تصبح 3 خانات:

101 100 000

• استبدال كل مجموعة من مجموعات العدد الثنائي بمكافئها من العدد الثماني وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي:

• كتابة الناتج بالنظام الثماني:

₂(0101 0010) = ₈(45)

التحويل إلى النظام السداسي عشر Hexadecimal

نظام العد السداسي عشر (بالإنجليزية: Hexadecimal Number System) هو النظام الذي يتكون من 16 رمز من الرقم 0 إلى الرقم 9، أما من الرقم 10 إلى الرقم 15 فإنها تُمثّل من الحرف A إلى الحرف F، حيث يُستخدم لتسهيل قراءة الأعداد الممثلة بالنظام الثنائي، بالإضافة إلى تخزين البيانات في الذاكرة، لأنه يتيح تمثيل الأعداد الثنائية الكبيرة بأرقام ومساحة قليلة.

التحويل من النظام العشري إلى النظام السداسي عشر

هناك أكثر من طريقة للتحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي، لكن سنتناول الطريقة الأكثر يسرًا وهي طريقة القسمة الموضحة أدناه:

1. استخدام طريقة القسمة المتكررة لقسمة العدد العشري بصورة متكررة على الرقم 16 حصرًا (لأن المطلوب التحويل إلى النظام السداسي عشر)، ويكون ذلك من خلال رسم جدول يتكون من 3 أعمدة، بحيث يمثّل العمود الأول المقسوم، والعمود الثاني المقسوم عليه وهو الرقم 16، والعمود الثالث الباقي.
2. تطبيق عملية القسمة لحين وصول المقسوم إلى أقل من 16.
3. استخراج الناتج من عمود الباقي من أسفل لأعلى ↑.

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام السداسي عشر

للتحويل من النظام الثنائي إلى النظام السداسي عشر يجب اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

1. تقسيم الرقم الثنائي إلى مجموعات يتكون كل منها من 4 خانات من اليمين إلى اليسار، وفي حال كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة يُضاف في نهايتها أصفار حتى تصبح مكونة من 4 خانات.
2. استبدال كل مجموعة بمكافئها في النظام السداسي عشر، وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي.

التحويل من النظام الثماني إلى النظام السداسي عشر

للتحويل من النظام الثماني إلى النظام السداسي عشر يجب اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

• تحويل النظام الثماني إلى النظام الثنائي، كالآتي:
  • استبدال كل رقم من الأرقام المكونة للنظام الثماني بمكافئها المكون من 3 خانات في النظام الثنائي، وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي.
• تقسيم الرقم الثنائي إلى مجموعات يتكون كل منها من 4 خانات من اليمين إلى اليسار، في حال كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة يُضاف في نهايتها أصفار حتى تصبح مكونة من 4 خانات.
  • استبدال كل مجموعة بمكافئها في النظام السداسي عشر، وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي.

أمثلة على التحويل إلى النظام السداسي عشر

فيما يأتي بعض الأمثلة على التحويل إلى النظام السداسي عشر:

التحويل من النظام العشري إلى النظام السداسي عشر

مثال: حوّل العدد ₁₀(650) من النظام العشري إلى النظام السداسي عشر.

الحل:

• استخدام طريقة القسمة المتكررة لقسمة العدد العشري بصورة متكررة على الرقم 16:

• استخراج الناتج من عمود الباقي من أسفل لأعلى ↑، ثم كتابة الناتج بالنظام السداسي عشر:

₁₀(650) = ₁₆(28A)

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام السداسي عشر

مثال: حوّل العدد ₂(1011110011) من النظام الثنائي إلى النظام السداسي عشر.

الحل:

• تقسيم الرقم الثنائي إلى مجموعات يتكون كل منها من 4 خانات من اليمين إلى اليسار، وفي حال كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة يُضاف في نهايتها أصفار حتى تصبح مكونة من 4 خانات:

0011 1111 0010

• استبدال كل مجموعة بمكافئها في النظام السداسي عشر، وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي:

• كتابة الناتج بالنظام السداسي عشر كالآتي:

₂(1011110011) = ₁₆(2F3)

التحويل من النظام الثماني إلى النظام السداسي عشر

مثال: حوّل العدد ₈(163) من النظام الثماني إلى النظام السداسي عشر.

الحل:

• تحويل النظام الثماني إلى النظام الثنائي عن طريق استبدال كل رقم من الأرقام المكونة للنظام الثماني بمكافئها المكون من 3 خانات في النظام الثنائي، وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي:

• كتابة الناتج بالنظام الثنائي:

₈(163) = ₂(001110011)

• تحويل النظام الثنائي إلى النظام السداسي عشر عن طريق تقسيم الرقم الثنائي إلى مجموعات يتكون كل منها من 4 خانات من اليمين إلى اليسار، في حال كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة يُضاف في نهايتها أصفار حتى تصبح مكونة من 4 خانات:

0011 0111 0000

• استبدال كل مجموعة بمكافئها في النظام السداسي عشر، وفق الجدول الوارد في فقرة التحويل من النظام السداسي عشر إلى النظام الثنائي:

• كتابة الناتج بالنظام السداسي عشر:

₂(001110011) = ₁₆(73)

التحويل بين أنظمة العد باستخدام الآلة الحاسبة

تنبع أهمية استخدام الآلة الحاسبة و البرامج المتخصصة للتحويل بين أنظمة العد المختلفة إلى توفير الوقت والجهد، وللتحويل يمكن استخدام الحاسبة الخاصة بجهاز الحاسوب ويندوز 10 (Windows 10)، وفيما يأتي طريقة استخدامها:

1. فتح الآلة الحاسبة.
2. النقرعلى خيار وضع (mode) ثم خيار مبرمج (Programmer)، عندها يمكن رؤية الأزرار التي ترمز إلى الأنظمة الأربعة وهي بالترتيب كالآتي:

• DEC

• HEX

ترمز إلى النظام السداسي عشر.

• BIN

ترمز إلى النظام الثنائي.

• OCT

ترمز إلى النظام الثماني. 3. تحديد النظام المراد من خلال النقر عليه، وعند إدخال الرقم ستظهر القيم بالتحويلات كاملة، وفي حال الرغبة في نسخ القيمة يمكن ذلك بالنقر بزر الماوس الأيمن على الرقم، ثم اختيار زر نسخ من القائمة.

تكمن أهمية استخدام أنظمة العد بالكثير من الأمور، كالحوسبة، ومعالجة البيانات، والقياسات، و أنظمة التحكّم ، والاتصالات، والتجارة، لأنّها تمتاز بالدقة، وتتعدد أنظمة العد نظرًا لاختلاف طبيعة استخدام كل منها، لكن وعند الرغبة في التحويل بين هذه الأنظمة يجب أن يعتمد الأمر على النظامين المراد التحويل بينهما.