الأعداد العقدية أو المركبة
يُعرف الرقم المركب بأنه مجموع عدد حقيقي ورقم افتراضي، حيث يتم التعبير عن العدد المركب في الشكل القياسي عند كتابته a bi، حيث a هو الجزء الحقيقي، و bi هو الجزء الافتراضي، و يتم تمييز الأرقام الافتراضية عن الأعداد الحقيقية بواسطة تربيع العدد؛ إذ ينتج عن تربيع الأعداد الحقيقية عدد موجب، بينما ينتج عن تربيع العدد الافتراضي عدد حقيقي سالب، بالإضافة إلى إمكانية استخدام العمليات الحسابية على الأعداد المركبة أو العقدية مثل الجمع، والطرح، والضرب.
تصنيف الأعداد المركبة
يمكن استنتاج أن العدد المركب عدد حقيقي، وأن العدد الحقيقي هو أيضاً عدد مركب إذا ما تحقق الشرط التالي:
- يُعد الرقم الافتراضي هو رقم مركب إذا كانت a=0 في المعادلة a bi.
- يُعد الرقم الحقيقي هو رقم مركب إذا كانت b=0 في المعادلة a bi.
أهمية الأرقام المركبة في حياتنا
تُستخدم الأرقام المركبة في العديد من المجالات التطبيقية وفي ما يأتي أبرزها:
- الهندسة الكهربائية.
- ميكانيكا الكم .
- حل المعادلات متعددة الحدود.
- الأبحاث العلمية.
- معالجة الإشارات الكهرومغناطيسية.
- ديناميكيات السوائل.
- تحليل الاهتزازات.
تمثيل الأعداد المركبة بيانياً
يمكن تمثيل الرقم المركب بيانياً عن طريق افتراض قيم للمتغير وتعويضها في المعادلة للحصول على أزواج مرتبة وتمثيلها كإحداثيات على المستوى الإقليدي أو ما يُعرف بمستوى أرجاند نسبة للعالم جان روبرت أرجاند الذي يتكون من محورين محور x ومحور y.
خصائص العدد المركب
الخصائص التالية هي خصائص للأعداد المركبة ، والتي تساعد في فهم الأعداد المركبة بشكل أفضل، وإجراء العمليات الحسابية المختلفة على الأعداد المركبة، وفي ما يأتي بعضها:
اقتران الأرقام المركبة
يتم بناء اقتران العدد المركب بأخذ نفس الجزء الحقيقي من العدد المركب وتغيير الجزء الافتراضي من العدد المركب إلى مقلوبة الجمعي، فإذا كان مجموع وحاصل ضرب عددين مركبين هما رقمان حقيقيان، فيطلق عليهما الأعداد المركبة المترافقة.
مقلوب الأرقام المركبة
يتم استخدام مقلوب الأعداد المركبة في عملية قسمة رقم مركب على رقم مركب آخر، حيث إن عملية قسمة الأعداد المركبة تساوي حاصل ضرب رقم مركب واحد مع مقلوب رقم مركب آخر.
مساواة الأعداد المركبة
مساواة الأعداد المركبة تشبه مساواة الأعداد الحقيقية.
ترتيب الأعداد المركبة
تُعد عملية ترتيب الأعداد المركبة عملية غير ممكنة، لأنها لا تحتوي على بنية أرقام مرتبة.
العمليات الحسابية على الأعداد المركبة
يمكن إجراء العمليات الحسابية المختلفة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة على الأعداد المركبة، وفي ما يأتي أهمها:
جمع الأعداد المركبة
تُعد عملية الجمع في الأعداد المركبة مشابهة لعملية الجمع في الأعداد الطبيعية ، حيث إنه في الأعداد المركبة تتم إضافة العدد الحقيقي للعدد الحقيقي ويُضاف العدد الافتراضي للعدد الافتراضي وتتبع عملية جمع الأعداد المركبة خصائص الجمع الآتية:
- قانون كلوزر؛ والذي ينص على أن مجموع عددين مركبين هو أيضًا عدد مركب.
- القانون التبادلي.
- قانون التجميع.
- المعكوس الجمعي.
طرح الأعداد المركبة
يتم إجراء عملية الطرح بشكل منفصل بين الأعداد الحقيقية والأعداد الافتراضية، حيث يتم إجراء الطرح بشكل منفصل عبر الجزء الحقيقي، ثم يتم إجراء الطرح عبر الجزء الافتراضي للأعداد المركبة.
ضرب الأعداد المركبة
يختلف ضرب الأعداد المركبة اختلافًا بسيطاً عن ضرب الأعداد الطبيعية، حيث يتم ضرب القيم المطلقة للعددين المركبين، وإضافة وسيطاتهما للحصول على حاصل ضرب الأعداد المركبة.
قسمة الأعداد المركبة
يتم استخدام معادلة مقلوب العدد المركب في قسمة الأعداد المركبة.
المتطابقات الجبرية للأعداد المركبة
تُسهل المتطابقات الجبرية للأعداد المركبة عمليات الجمع والطرح بوجود الأُس 2 أو 3.
الأرقام في علم الجبر
يستخدم علم الجبر مجموعة كبيرة من الأرقام لحل المسائل الجبرية، وفيما يأتي بعض أنواع الأرقام في علم الجبر :
- الأعداد الحقيقية؛ وهي كافة الأعداد بأي شكل سواء أكانت؛ كسور، أو أعداد صحيحة، أو أعداد عشرية، أو كسور عشرية.
- الأعداد الطبيعية؛ وهي الأعداد الطبيعية التي تكون أكبر من الصفر ولكنها لا تشمل الكسور 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، وهكذا.
- الأعداد الصحيحة ؛ وهي كل الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر.
- الأعداد المنطقية؛ وهي الأعداد العشرية أو الأعداد التي لها نمط متكرر.
- الأعداد غير المنطقية؛ وهي الأعداد غير النسبية وتُعد أرقاماً حقيقية وليست أرقامًا منطقية، حيث لا يمكن كتابة الرقم غير النسبي على شكل كسر.
