إثبات قضیة فیثاغورس

إثبات قضیة فیثاغورس

إثبات نظرية فيثاغورس

يمكن إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام عدة طرق، وفيما يلي بيان لكل منها:

  • الطريقة الأولى: إذا كان لدينا المثلث القائم ق ل ر، وكان هذا المثلث قائم الزاوية في ل، فإنه يمكن إثبات نظرية فيثاغورس بالاستعانة بهذا المثلث، وذلك كما يلي:
    • الإشارة في البداية لطول (ق ر) بالرمز أ، ولطول الضلع (ر ل) بالرمز ب، ولطول (ق ل) بالرمز جـ.
    • رسم المربع (و س ز ي) وطول كل ضلع من أضلاعه يساوي طول الضلعين (ب جـ) معاً.
    • وضع النقاط يَ، ف، ج، ح على أضلاع هذا المربع: (و س)، (س ز)، (ز ي)، (ي و)، على الترتيب، بحيث تكون و يَ = س ف = ز ج = ي ح = ب، ثم الوصل بين النقاط بخط مستقيم ليتشكل لدينا المربع (يَ ف ج ح) وطول كل ضلع من أضلاعه أ، وتنحصر بينه وبين المربع (و س ز ي) أربعة مثلثات أطوال أضلاعها الثلاثة: أ، ب ، جـ
    • مساحة المربع (و س ز ي) = مساحة المربع (يَ ف ج ح) 4×مساحة أحد المثلثات الصغيرة، والتي أضلاعها: أ، ب، جـ.
    • بما أن مساحة المربع = (طول الضلع)²، فبالتالي فإنّ: (ب جـ)² = أ² 4×(1/2×ب×جـ)، ومنه وبفك الأقواس: ب² جـ² 2×ب×جـ = أ² 2×ب×جـ
    • وبتجميع الحدود ينتج أنّ: ب² جـ² = أ²، وهي نظرية فيثاغورس.
  • الطريقة الثانية: إذا كان لدينا المثلث أ ب جـ وكان هذا المثلث قائم الزاوية في ب، وأردنا إثبات نظرية فيثاغورس، فإنه يمكن تحقيق ذلك كما يلي:
    • إذا كانت النقطة د تنصّف الضلع أ جـ، وعمودية عليه، وتم الوصل بينها وبين الرأس ب ليتشكل لدينا المثلثان أدب، والمثلث جـ د ب.
    • يلاحظ أن المثلثان أ ب جـ، و أ د ب متشابهين، وذلك لأنهما يشتركان في الزاوية أ، وكلاهما يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، وبالتالي فإنّ:
      • نسبة طول الضلعين: أد/ أب = أب/ أجـ.
      • وبالتالي فإن أد× أجـ = (أب)² .......(معادلة 1).
    • يلاحظ أيضاً أن المثلثين ب د جـ، و أ ب جـ متشابهان؛ وذلك لأنّهما يشتركان في الزاوية جـ، وكلاهما يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، وبالتالي فإنّ:
      • نسبة طول الضلعين: د جـ/ب جـ = ب جـ / أ جـ.
      • وبالتالي فإنّ: د جـ×أ جـ = (ب جـ)² .......(معادلة 2).
    • بتجميع المعادلتين 1، 2 فإن:
      • (أد × أجـ) (د جـ×أجـ) = (أ ب)² (ب جـ)²، ومنه:
      • باستخراج أجـ كعامل مشترك ينتج أنّ: أجـ × ( أد دجـ) = (أ ب)² (ب جـ)²، وبما أنّ: أد دجـ = أجـ، فإنّ:
      • أجـ×أجـ = (أب)² (ب جـ)²، ومنه: أ جـ² = (أ ب)² (ب جـ)²........(نظرية فيثاغورس).
  • الطريقة الثالثة: هي إثبات غارفيلد (Garfield's) وهو الرئيس العشرون للولايات المتحدة حيث أثبت نظرية فيثاغورس باستخدام مساحة شبه المنحرف، وذلك كما يلي:
    • تم إحضار شبه منحرف (أب جـ د) قائم في جـ ، ب، وقاعدتاه (أب) =أ، (ج د) = ب، وارتفاعه (ب ج)= (أ ب)، وتم تقسيمه إلى ثلاثة مثلثات بوضع النقطة (و) على الخط الممثّل للارتفاع؛ بحيث انقسم الارتفاع إلى (ب و) = ب، (و جـ) = أ، وكان المثلث الأول هو (أب و)، أما المثلث الثاني فهو: (و جـ د)، وأضلاع كل منهما هي: أ، ب، جـ، أما المثلث الثالث (أود) فهو متساوي الساقين، وطول كل ساق من ساقيه = جـ، وقائم الزاوية في و.
    • مساحة شبه المنحرف = (1/2)×مجموع طول القاعدتين×الارتفاع؛ وبما أنّ الارتفاع = أ ب، وطول القاعدة الأولى = أ، وطول القاعدة الثانية = ب، فإنّ مساحة شبه المنحرف = (1/2)×(أ ب)×(أ ب) = (1/2)×(أ² 2×أ×ب ب²).
    • يمكن إيجاد مساحة كل مثلث من المثلثات الثلاثة كما يلي:
      • مساحة المثلث الأول = مساحة المثلث الثاني = (1/2)×أ×ب.
      • مساحة المثلث الثالث = (1/2)×جـ×جـ.
    • مساحة شبه المنحرف = مساحة المثلث الأول مساحة المثلث الثاني مساحة المثلث الثالث، وبالتالي:
      • (1/2) × (أ² 2×أ×ب ب²) = (1/2)×أ×ب (1/2)×أ×ب (1/2)×جـ²، وبتبسيط هذه المعادلة نتوصل إلى نظرية فيثاغورس، وهي: أ² ب² = جـ².

أمثلة متنوعة حول نظرية فيثاغورس

  • المثال الأول: مثلث أطوال أضلاعه: 5، 12، 13، فهل هو مثلث قائم أم لا؟
    • الحل:
    • يمكن باستخدام نظرية فيثاغورس التحقّق من إذا كان المثلث قائماً أم لا؛ حيث تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، وبالتالي:
      • 13² هل تساوي 12² 5²؛ تم افتراض أنّ الضلع 13 هو الوتر، وذلك لأنّ الوتر يكون أطول ضلع في المثلث.
      • 169 هل تساوي 144 25، وبحساب الطرفين ينتج أنّ: 169 = 169 وهذا يعني أن هذا المثلث قائم الزاوية.
  • المثال الثاني: مثلث قائم الزاوية الوتر فيه يساوي 17 سم، وطول أحد أضلاعه 15سم، وطول الضلع الآخر س، فما هو طول الضلع س؟
    • الحل:
    • يمكن باستخدام نظرية فيثاغورس إيجاد طول الضلع المجهول، وذلك كما يلي: الوتر² = طول الضلع الأول² طول الضلع الثاني²، وبالتالي:
      • 17² = 15² س²، ومنه: 289 = 225 س²، س² = 289 - 225 = 64.
      • س = 64√ = 8سم، وهذا يعني أن طول الضلع الثاني للمثلث يساوي 8سم.
  • المثال الثالث: مثلث أ ب جـ قائم الزاوية فيه طول الوتر (جـ) يساوي 10 سم، وطول أحد ضلعي القائمة (ب) يساوي 9 سم، فما هو طول الضلع الثالث (أ)؟
    • الحل:
    • باستخدام نظرية فيثاغورس فإنّ: الوتر² = طول الضلع الأول² طول الضلع الثاني²، وبالتالي فإن:
      • 10² = 9² أ²، 100=81 أ²، أ² = 100-81 = 9، وبالتالي فإنّ طول الضلع الثالث (أ) = 3سم.
  • المثال الرابع: سلّم إطفاء طوله 41 قدم يرتكز على إحدى البنايات، ويبتعد أسفله عن قاعدتها بمقدار 9 أقدام، فما هو طول البناية؟
    • الحل:
    • يصنع السلم مع قمة البناية مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو طول السلم، وارتفاع البناية، والبعد الأفقي لطرف السلم السفلي عن قاعدة البناية هما ضلعا القائمة، وبالتالي فإنّه يمكن باستخدام نظرية فيثاغورس إيجاد ارتفاع البناية، وذلك كما يلي:
      • طول السلم² = ارتفاع البناية² بعد السلم الأفقي عن البناية²، ومنه:
      • 41² = ارتفاع البناية² 9²، ومنه: 1681 = 81 ارتفاع البناية²، ارتفاع البناية² = 1681 - 81 = 1600، وبالتالي فإن ارتفاع البناية = 40 قدم.
  • المثال الخامس: انطلق أحمد، وصديقه خالد على دراجة هوائية من نفس الموقع فإذا تحرّك أحمد باتجاه الشمال، وتحرك خالد باتجاه الشرق بالسرعة ذاتها، فما هي السرعة التي تحركا بها بوحدة (كم/ساعة) علماً أن المسافة بينهما هي: 2√17 كم بعد مرور ساعتين من انطلاقهما؟
    • الحل:
    • يُلاحظ أن حركتي أحمد، وخالد تُشكلان معاً مثلثاً قائم الزاوية: الوتر فيه يساوي 2√17 كم، والمسافة التي قطعها كلُّ منهما تشكل ضلعي القائمة (س)، وبما أنّ السرعة = المسافة/الزمن، فإنه يجب لحساب السرعة إيجاد طول ضلعي القائمة أولاً، وذلك كما يلي:
      • باستخدام نظرية فيثاغورس فإنّ: (2√17)² = س² س²، ومنه: (2√17)² = 2س².
      • بقسمة الطرفين على 2، وإيجاد الجذر التربيعي للطرفين فإن س = 17 كم.
    • وبالتالي فإن المسافة التي قطعها كل منها تساوي 17 كيلومتر خلال مدة ساعتين، وبالتالي:
      • السرعة = المسافة/الزمن = 17/2 = 8.5كم/الساعة.

نظرة عامة حول نظرية فيثاغورس

تعتبر نظرية فيثاغورس من أقدم النظريات التي عُرفت عند مهندسي البناء منذ القدم، وقد سميت نسبةً إلى عالم الرياضيات، والفيلسوف الإغريقي فيثاغورس، على الرغم من اكتشاف البابليين لها قبل ألف سنة من تاريخ اكتشافه، وتنص هذه النظرية على أنّ: في أي مثلث قائم الزاوية فإنّ مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، والوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث القائم، وهناك الكثير من التطبيقات لنظرية فيثاغورس؛ فمثلاً يمكن من خلالها تحديد إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا، كما يمكن من خلالها إيجاد طول أي ضلع إذا علم طول الضلعين الآخرين في المثلث القائم، إضافة إلى إيجاد طول القطر في المربع، أو المستطيل.

لمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس

9رياضيات
مزيد من المشاركات
أسماء الدول الإسلامية في إفريقيا

أسماء الدول الإسلامية في إفريقيا

الدول الإسلامية في إفريقيا يوضح الجدول الآتي الدول الإسلامية في أفريقيا مرتبة كالآتي من حيث نسبة المسلمين فيها: الدولة نسبة المسلمين موريتانيا 99.9 الصومال 99.8 الجزائر 99 المغرب 99 تونس 98 جزر القمر 98 مايوت- جزيرة فرنسية 97 السودان 97 ليبيا 96.6 السنغال 94 جيبوتي 94 مالي 90 غامبيا 90 مصر 90 غينيا 90 النيجر 80 بوركينا فاسو 61 سيراليون 60 تشاد 52.1 توزيع المسلمين في أقاليم إفريقيا عدد المسلمين في قارة أفريقيا كبيرًا موزعًا في أقاليم إفريقيا كالآتي: دول شمال أفريقيا: يبلغ عدد المسلمين فيها
محافظة مادبا

محافظة مادبا

محافظة مادبا مادبا هي محافظة تقع في الجزء الغربي من مركز الأردن على ارتفاع 760 متراً فوق مستوى سطح البحر، وعلى بعد 32 كم جنوب العاصمة عمّان مروراً بالطريق الملوكي السريع الذي يربط عمّان بالعقبة، وتعرف مادبا باسم مدينة الفسيفساء لوجود فسيفساء بيزنطية تحت كلّ بيت تقريباً، ,تعود إلى ما قبل 1300 قبل الميلاد. تاريخ المحافظة تمّ ذكر مادبا لأوّل مرّة في سِفر في الكتاب المقدس قبل عام 1300 قبل الميلاد، وكانت قريبة من حدود موآب وتحتوي على مسلّة الملك ميشع أو حجر المؤاب المعروض في المتحف الأثري الأردني
وشاورهم في الأمر

وشاورهم في الأمر

معنى قوله تعالى وشاورهم في الأمر أمر الله عزّ وجلّ نبيه محمداً عليه الصلاة والسلام بمشاورة أصحابه حينما قال عزّ من قائلٍ: (وَشَاوِرْهُمْ فِي الْأَمْرِ)، وقد كان أمر الله له بذلك تطييباً لنفوس أصحابه، وحتى يبينّ لهم أنّه يسمع منهم ويسمعون منه على الرغم من استغنائه عنهم بتدبير الله له، كما أنّ في مشاورة النبي لأصحابه تأليفاً لقلوبهم على الدين، ولأنّ في المشاورة عزيمة تهدي إلى الرشد، وقيل كذلك إنّ الله أمره بالشورى؛ لما فيها من الفضل، وحتى يستنّ المسلمون بسنة رسولهم من بعده فيما حَزَب عليهم من
من مكتشف الدورة الدموية الكبرى

من مكتشف الدورة الدموية الكبرى

الدورة الدموية الكبرى إنّ الدورة الدموية الكبرى تعرف على أنها دوران الدم في الأوعية الدموية خروجاً من القلب ورجوعاً إليه، وخلال جريان الدم فإنه يحمل الدم المشبع بالأكسجين (المؤكسد) من القلب إلى باقي أنحاء الجسم لتزويده بالغذاء اللازم، ثم إعادة الدم الغير مؤكسد إلى القلب وتتكرر هذه العملية مع كل دقة من دقات القلب. مكتشف الدورة الدموية الكبرى يعد اكتشاف الدورة الدموية الكبرى في جسم الإنسان هو أهم إنجاز على الإطلاق على الصعيد الطبي في كل الأمكنة والأزمنة، فقد اكتشف هذا الاكتشاف الهام الطبيب
زوج كارمن سليمان

زوج كارمن سليمان

 كارمن سليمان: هي فتاة مصرية تبلغ من العمر 17عام، ولدت في تاريخ( 7 أكتوبر 1994ميلادي ، وهي مطربة مصرية فازت بلقب أرب أيدل، وتم إكتشاف موهبتها من خلال قناة MBC، وهي قناة عالمية وتم وصولها للمرحلة النهائية، و تربت الفنانة الصاعدة دنيا بطمة، في أسرة محافظة محترمة كانت والدتها ذات صوت جميل، ولكنها لم تحترف الغناء، لكنها قامت بتشجيع ابنتها كارمن بالغناء ودخول برنامج يدعم المواهب الصاعدة، وفعلاً اشتركت ببعض المسابقات الغنائية منها أرب أيدل وقبلها مودرن ستار، ولكن أرب أيدل هو من قام بذياع صيتها
السمات الشخصية لحامل اسم صقر

السمات الشخصية لحامل اسم صقر

السمات الشخصية الإيجابية لحامل اسم صقر يمتاز حاملو اسم صقر ببعض الصفات الشخصية المشتركة، وفيما يأتي بعض هذه الصفات: الرومانسية: يتميز حامل اسم صقر بشخصية تحب الفن، و الرومانسية ، ويهتم بالتعبير عن حبه للأشخاص الآخرين، حيث يعتبر الحب بالنسبة لهذا الشخص قضية مهمة جدًا. حفظ الأسرار: يتميز حامل هذا الاسم بأنه يستطيع حفظ أسرار الآخرين، فمن الممكن الاعتماد عليه، وإخباره بالأسرار، فمن المستحيل أن يفشي هذه الأسرار للآخرين. شخصية محظوظة: تعتبر الشخصية الحاملة لهذا الاسم محظوظة جدًا، حيث يستطيع حاملي
صحة حديث (خيركم خيركم لأهله)

صحة حديث (خيركم خيركم لأهله)

صحة حديث (خيركم خيركم لأهله) حثّنا الإسلام على السماحة و حسن الخلق مع الأهل ومن هم حولنا، ومن الأحاديث التي نصّت على ذلك حديث رسول الله -صلى الله عليه وسلم-: (خيركم خيركم لأهله وأنا خيركم لأهلي). وجاء هذا الحديث في سنن الترمذي -رحمه الله-، فعَنْ عَائِشَةَ -رضي الله عنها- قَالَتْ: قَالَ رَسُولُ اللَّهِ -صَلَّى الله عَلَيْهِ وَسَلَّمَ-: (خَيْرُكُمْ خَيْرُكُمْ لِأَهْلِهِ وَأَنَا خَيْرُكُمْ لِأَهْلِي، وَإِذَا مَاتَ صَاحِبُكُمْ فَدَعُوهُ)، وخلاصة الحكم عليه أنه صحيح، وهو من الأحاديث التي وردت في بر
ما أهمية الطحالب في السلاسل الغذائية

ما أهمية الطحالب في السلاسل الغذائية

ما أهمية الطحالب في السلاسل الغذائية؟ تُعبّر كلّ من السلسلة الغذائية والشبكة الغذائية عن تدفّق الطاقة عبر النظام البيئي، فالسلسلة الغذائية تُظهر تدفّق الطاقة عبر علاقة خطيّة واحدة، أمّا الشبكة الغذائية فتُظهر التفاعلات المتعددة الحاصلة بين أنواع مختلفة من الكائنات الحية، لذا فإنّ الشبكات الغذائية تُعطي وصفاً أكثر واقعيةً لتدفّق الطاقة في النظام البيئي. تعد الطحالب غذاء أساسي للعديد من الكائنات البحرية تلعب الطحالب دوراً مهمّاً في الشبكات والسلاسل الغذائية في النظام البيئي ، وفيما يأتي توضيح