أمثلة إيجاد ناتج الجمل المنطقية
وفيما يأتي أمثلة محلولة على إيجاد ناتج الجمل المنطقية:
أمثلة على جمل البوابات الأساسية
تُعدُّ الخطوة الأولى لحل البوابات المنطقيَّة هو فهمها والتعرف على مفهومها، وتضم البوابات المنطقيَّة الأساسيَّة الاقترانات الأساسيَّة وهي: (AND، OR، NOT)، وتعمل البوابة المنطقيَّة (AND) على إخراج الناتج 1 فقط في حال كانت مدخلاتها جميعًا هي 1، أمَّا البوابة المنطقيَّة (OR) فلا تخرج الناتج 0 إلا إذا كانت جميع المدخلات لديها 0، وتعمل البوابة المنطقية (NOT) على عكس المدخل إليها، بحيث تخرج 0 إذا أدخل إليها 1، والعكس صحيح، وفيما يأتي أمثلة محلولة على الجمل المنطقيَّة الأساسيَّة:
افرض أنَّ a=1، b=0، c=1، d=0، جد ناتج الجمل المنطقيَّة الآتية:
- مثال1: a AND b
- الحل: بما أنَّ أحد مدخلات البوابة AND هو العدد 0 فإنَّ الناتج سيكون 0 أيضًا.
- مثال2: a AND c OR d.
- الحل:
- نبدأ باستخدام الأولويَّات لتنفيذ البوابات المنطقيَّة، والأولوية هنا للبوابة AND كالتالي: a AND c= 1 AND 1=1
- ومن ثم ندخل النتيجة إلى البوابة التالية وهي OR كما يأتي: d OR 1 = 0 OR 1= 1.
- مثال 3: NOT b OR(c AND d)
- الحل: من المعروف أنَّ الأقواس تمتلك الأولوية الأولى لأي عملية حسابيَّة أو منطقيَّة، لذا نبدأ بإجراء ناتج ما بين الأقواس بداية:
- وتأتي الأولوية بعد ذلك للبوابة المنطقيَّة NOT
- لتصبح الجملة أخيرًا بعد إجراء هذه العمليات عليها كما يأتي:
أمثلة على جمل البوابات المشتقة
تنقسم البوابات المنطقيَّة المشتقة إلى أربعة أنواع تختلف في وظائفها، وهي البوابة المنطقية (NAND ،NOR ،XOR ،XNOR) وكل منها تؤدي وظيفة خاصَّة، إذ إنَّ البوابة (NAND) تعبر عن (NOT AND) بحيث تعمل عمل (AND) وتقوم بعكسه باستخدام (NOT)، أمَّا (NOR) فتعمل عمل (NOT OR)، وتقوم البوابة (XOR) بإخراج 0 إذا كانت المدخلات متشابهة وتخرج 1 إذا كانت مدخلاتها مختلفة، أما (XNOR) فلا تخرج 1 إلا إذا كانت مدخلاتها متشابهة، وفيما يأتي أمثلة على جمل البوابات المشتقة:
افترض أنَّ a=1، b=0، c=1، d=0، جد ناتج الجمل المنطقية الآتية:
- مثال 1: a NANDb
- الحل: بالرجوع إلى جدول الحقيقة، أو باستخدام تحليل البوابة المنطقية إلى NOT AND فإن الناتج يكون:
- a NOT AND b
- 1NOT AND 0
- NOT 0
- 1
- مثال 2: d XOR a NOR c
- الحل: نبدأ بإيجاد الناتج من اليسار إلى اليمين
- لتصبح الجملة كما يأتي:
- مثال 3: a XNOR c NAND ( b NOR c XOR d)
- الحل: بداية يجب تحليل وإيجاد ناتج ما بين الأقواس من اليسار إلى اليمين كما يأتي:
- ونبدأ بعد ذلك بتحليل ناتج الجملة المنطقية مع ناتج القوس وبالترتيب من اليسار إلى اليمين لتصبح الجملة كما يأتي:
- a XNOR c NAND 0
- 0 1XNOR 1 NAND
- 1NAND 0
- 1
أمثلة على جمل البوابات الأساسية والمشتقة
من الممكن وجود جمل منطقيَّة تحوي بوابات منطقيَّة أساسيَّة إلى جانب البوابات المشتقة، وفيما يأتي أمثلة توضيحيَّة لهذه الجمل:
افترض أنَّ a=1، b=0، c=1، d=0، جد ناتج الجمل المنطقية الآتية:
- مثال 1: a OR b NOR c
- الحل: نبدأ بتحليل الجملة من اليسار إلى اليمين كالتالي:
- ونكتب الناتج إلى جانب بقية الجملة لتصبح الجملة كما يأتي:
- مثال 2: a AND d XOR (c XNOR B)
- الحل: نبدأ بتحليل ما بين الأقواس
- c XNOR B
- 1XNOR 0
- والناتج هو 0
- ونكتب الجملة مع الناتج كما يأتي:
- a AND d XOR 0
- 1AND 0 0
- 0 0XOR
- والناتج هو 0
- مثال 3: a NOR NOT ( d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a)
- الحل: نبدأ بالأقواس بحيث تعطى لها الأولوية ومن اليسار إلى اليمين كما يأتي:
- d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a
- d NAND b
- 0NAND 0
- والناتج هو 1
- 1OR a XOR b AND c XNOR a
- 1OR a
- 1OR 1
- والناتج هو 1
- 1XOR b AND c XNOR a
- 1XOR b
- 1XOR0
- والناتج هو 1
- 1AND c XNOR a
- 1AND c
- 1AND 1
- والناتج هو 1
- 1XNOR a
- 1XNOR 1
- والناتج هو 1
- وتكون الخطوة التالية هي كتابة ناتج الأقواس وهي 1 إلى جانب الجملة المنطقية الكلية كما يأتي:
- a NOR NOT 1
- 1NOR NOT 1
- 1NOR 0
- والناتج الكلي هو 0
أمثلة حل البوابات المنطقية باستخدام الآلة الحاسبة
تقوم الآلة الحاسبة الخاصَّة بحل البوابات المنطقيَّة بعمل اختبار لناتج الجملة المنطقيَّة وإظهار الناتج إمَّا 0 أو 1، وفيما يأتي بيان لحلول الآلة الحاسبة للجمل المنطقية السابق ذكرها في العنوان السابق ومقارنة للنتائج اليدويَّة مع نتائج الآلة الحاسبة:
افترض أنَّ a=1، b=0، c=1، d=0، جد ناتج الجمل المنطقية الآتية:
- مثال 2: a AND c OR D.
- ندخل البوابة المنطقيَّة والقيم المدخلة إليها
- والناتج هو 1 كما ظهر يدويًا.
- مثال 3: NOT B OR(C AND D)
- ندخل ما بين القوس ومقارنته مع باقي الجملة باستخدام الآلة الحاسبة
- والناتج يكون 1 كما ظهر يدويًا.
- مثال 4: a NANDb
- والناتج 1 كما ظهر يدويًا.
- مثال 5: d XOR a NOR c
- والناتج 0 كما ظهر يدويًا.
- مثال6: a XNOR c NAND ( b NOR c XOR d)
- وبتطبيق العمليات بحسب الأولويات يظهر الناتج 1 كما تم حله يدويًا.
- مثال 7: a OR b NOR c
- والناتج النهائي 0 كما ظهر يدويًا.
- مثال 8: a AND d XOR (c XNOR B)
- والناتج النهائي 0 كما ظهر يدويًا.
- مثال 9: a NOR NOT ( d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a)
- والناتج النهائي هو 0 كما تم حله يدويًا بالخطوات.
أمثلة كتابة جدول الحقيقة
يتم كتابة جدول الحقيقة لعرض جميع الاحتمالات التي يمكن أن تحتويها قيم المتغيرات المدخلة إلى البوابة المنطقيَّة، وفيما يأتي بعض الأمثلة على جمل منطقية وتمثيلها بجدول الحقيقة الخاص بجميع احتمالات مدخلاتها:
| a AND NOT c | c | a |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
- مثال 2: a OR b AND ( a NOR b)
| a OR b AND ( a NOR b) | c | b | a |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
- مثال 3: (a NAND b AND (c OR NOT a
| (a NAND b AND (c OR NOT a | c | b | a |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
أمثلة تبسيط الجمل المنطقية
يمكن حل وتبسيط مسائل البوابات المنطقية التي تكون معقدة من خلال تبسيطها وتصغيرها ومن ثم إيجاد ناتجها كما تم حلها بالخطوات في العنوان الأول، وذلك من خلال حل المسائل خطوة بخطوة وتنفيذ العمليات، وتنفيذها بالتسلسل، فيمكن تبسيط الجملة المنطقيَّة الآتية كما يأتي:
- مثال 1: a NOT OR b NOT AND c
- مثال 2: a NAND c NOT OR (b XOR d)
- الحل: a NAND c NOR (b XOR d)
- مثال 3: d XNOR c AND NOT (a NOR B)
- الحل: d XNOR c NAND (a NOR B)
أمثلة تحويل الجمل الكلامية إلى جمل منطقية
تستخدم البوابات المنطقيَّة في تنفيذ مهام في الدوائر الكهربائيَّة بشكل كبير، وفيما يلي بعض الأمثلة على مهام يتم تأديتها عن طريق تنفيذ جمل منطقية تؤدي وظائف معينة في الدوائر الكهربائيَّة:
- مثال 1: 3 مصابيح عندما ينطفئ أحدهم، تنطفئ باقي المصابيح، اكتب العبارة المنطقية التي تعبر عن حالة المصابيح؟
- الحل: عندما تنطفئ جميع المصابيح هذا يعني أنَّ المصابيح موصولة على التوالي في الدارة، ولنفرض أنَّ المصابيح يرمز لها a، b ،c على التوالي، فإنَّ العبارة المنطقيَّة التي تعبر عن الجملة تكون (a AND b AND c)
- مثال 2: مفتاح كهربائي a موصول على التوالي مع المفتاح b وموصل على التوازي مع المفتاح c، اكتب العبارة المنطقية التي تعبر عن حالة المفاتيح؟
- الحل: العبارة المنطقية هي (a AND b OR c)
- مثال 3: مكثف كهربائي a موصول بالمقاومة c على التوازي والمقاومة c موصولة على التوازي مع مصدر الطاقة b، اكتب العبارة المنطقية التي تعبر عن حالة الدائرة الكهربائية؟
- الحل: العبارة المنطقية هي (a OR c OR b).
تؤدي البوابات المنطقيَّة مهام داخل الدوائر الكهربائيَّة من خلال استقبال مدخلات معينة وإجراء عمليات عليها لتقوم مخرجات البوابات المنطقية بالمهام التي تطلَّبها الدائرة الكهربائيَّة التي صُممت من أجلها، ولكل اقتران من الاقترانات المنطقيَّة مدخلين ومخرج واحد، ويتطلب فهم الجمل المنطقيَّة ومهامها كتابة جداول الحقيقة التي تُسهل على المصمم معرفة وتوقع النتائج الناتجة عن تصميمه قبل البدء بشراء المكونات والمباشرة بالتصميم العملي، لذا ففهم البوابات المنطقيَّة ضروري لأنَّ الاستخدامات الإلكترونيَّة أصبحت متطلبًا ضروريًا في وقتنا هذا.
