تعريف المساحة
تُعرّف المساحة (Area) بأنّها الحيز الداخلي الذي يشغله سطح لشكل مستوٍ؛ أو سطح لشكل ثنائي الأبعاد، كما أنّها تتمثل بعدد الوحدات المربعة التي تشغل سطح الشكل.
قانون إيجاد المساحة للأشكال المُنتظمة وغير المُنتظمة
تُحسب المساحة للأشكال المنتظمة وغير المنتظمة كما يأتي:
الأشكال المنتظمة
يعتمد حساب المساحة على الشكل، ويُمكن حسابها للأشكال المنتظمة الأساسية كما يأتي:
مساحة المربع
تُحسب مساحة المربع من خلال العلاقة الآتية ← مساحة المربع = طول الضلع²
وبالرموز ← م = س²
إذ إنّ:
- م: مساحة المربع.
- س: طول ضلع المربع.
مساحة المستطيل
تُحسب مساحة المستطيل من خلال العلاقة الآتية ← مساحة المستطيل = الطول × العرض
وبالرموز ← م = س × ص
إذ إنّ:
- م: مساحة المستطيل.
- ص: عرض المستطيل.
مساحة المثلث
تُحسب مساحة المثلث من خلال العلاقة الآتية ← مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
وبالرموز ← م = ½ × ل × ع
إذ إنّ:
- م: مساحة المثلث.
- ل: طول قاعدة المثلث.
- ع: ارتفاع المثلث.
مساحة الدائرة
تُحسب مساحة الدائرة من خلال العلاقة الآتية ← مساحة الدائرة = π × نصف القطر²
وبالرموز ← م = π × نق²
إذ إنّ:
مساحة القطاع الدائري
تُحسب مساحة القطاع الدائري من خلال العلاقة الآتية ← مساحة القطاع الدائري = ½ × زاوية القطاع × نصف القطر²
وبالرموز← م = ½ × هـ × نق²
إذ إن:
مساحة القطع الناقص
تُحسب مساحة القطع الناقص من خلال العلاقة الآتية ← مساحة القطع الناقص = π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي
وبالرموز ← م = π × أ × ب
إذ إنّ:
- م: مساحة القطع الناقص.
- π: باي، قيمته ثابتة عالميًا، وتبلغ بالتقريب 3.14.
مساحة شبه المنحرف
تُحسب مساحة شبه المنحرف من خلال العلاقة الآتية ← مساحة شبه المنحرف = ½ × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع
وبالرموز ← م = ½ × (ق1 ق2) × ع
إذ إنّ:
- م: مساحة شبه المنحرف.
- ق1،ق2: قاعدتي شبه المنحرف، وهما طول الضلعين المتوازيين.
- ع: ارتفاع شبه المنحرف.
مساحة متوازي الأضلاع
تُحسب مساحة متوازي الأضلاع حسب القيم المعلومة لمتوازي الأضلاع كما يأتي:
- عند معرفة طول القاعدة والارتفاع، تستخدم المعادلة ← مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع
وبالرموز ← م = ل × ع
إذ إنّ:
- عند معرفة أطول ضلعي متوازي الأضلاع، ومعرفة قياس الزاوية بينهما، تستخدم المعادلة ← مساحة متوازي الأضلاع = الضلع الأول × الضلع الثاني × جاθ
وبالرموز ← م = ل × س × جاθ
إذ إنّ:
- م: مساحة متوازي الأضلاع.
- ل: طول الضلع الأول لمتوازي الأضلاع.
- عند معرفة أطول أقطار متوازي الأضلاع قياس الزاوية بينهما، تستخدم المعادلة ← مساحة متوازي الأضلاع = القطر الأول × القطر الثاني × جاθ،
وبالرموز ← م = ق1 × ق2 × جاθ
إذ إنّ:
- م: مساحة متوازي الأضلاع.
- ق1، ق2: طول قطري متوازي الأضلاع.
- θ: قياس الزاوية الواقعة بين القطرين.
مساحة المعين
تُحسب مساحة المعين حسب القيم المعلومة، من خلال العلاقات الآتية:
- عند معرفة الارتفاع وطول الضلع تستخدم المعادلة ← مساحة المعين= الارتفاع × طول الضلع
وبالرموز ← م=ع × ل
إذ إنّ:
- عند معرفة أطوال الأقطار تستخدم المعادلة ← مساحة المعين= (القطر الأول×القطر الثاني)/2
وبالرموز ← م= (ق1 × ق2 )/2
إذ إنّ:
- عند معرفة طول الضلع وقياس إحدى الزوايا تستخدم المعادلة ← مساحة المعين= طول الضلع² × جيب إحدى زوايا المعين
وبالرموز ← م= ل² × جاθ
إذ إنّ:
الأشكال غير المنتظمة
تُحسب مساحة الأشكال غير المنتظمة من خلال ما يأتي:
- تقسيم الأشكال غير المنتظمة إلى عدة أشكال صغيرة منتظمة من الأشكال الأساسية كالمربع، أو المستطيل، أو المثلث، وغيرها.
- ثم تُحسب مساحة كل شكل من الأشكال الصغيرة المنتظمة، حسب القانون الخاص بها.
- وبعدها تُجمع مساحة كل الأشكال لإيجاد المساحة الكلية للشكل غير المنتظم.
تاريخ المساحة
استخدمت المساحة لأول مرة لقياس مساحة أرض مملوكة في بابل القديمة لعدد من السكان لأهداف ضريبية، ثم اكتشف عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس في عام 287 ق.م. محيط الدائرة ومساحتها والعلاقة بينهما.
وعلى الرغم من أنّ أرخميدس لم يكن أول من اكتشف ذلك بالتأكيد، إلّا أنّه أول من أثبت هذه العلاقة علميًا، وقدم البراهين لحساب مساحة وحجم الكرة، وتجدر الإشارة هنا إلى أنّ مصطلح Area أصله لاتيني، ويعني أرض خالية مستوية، ومنها اشتقت المساحة كمقدار معين من المساحة داخل مجموعة من الحدود.
وحدات قياس المساحة
تُقاس المساحة بالوحدات المربعة مثل: م، سم ، قدم ، بوصة وغيرها، وأكثرها استخدامًا هي وحدة م وتُستخدم لقياس مساحات الأرضيات والمباني، ووحدة سم وتُستخدم لقياس مساحات الألواح الزجاجية، ووحدة الهكتار التي تساوي 10,000 م² وتُستخدم لقياس مساحات الأراضي الزراعية.
أمثلة متنوعة على حساب المساحة
ندرج فيما يأتي أمثلة متنوعة على حساب المساحة:
المثال الأول: أوجد مساحة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 8.5 سم.
الحل:
- تُعوض المعطيات في قانون مساحة الدائرة :
- مساحة الدائرة = π × نق²
- مساحة الدائرة = 3.14 × ²8.5
- مساحة الدائرة = 226.86 سم²
المثال الثاني: أوجد مساحة شبه منحرف ارتفاعه 9 سم، وطول قاعدتيه 13سم، 6.4 سم.
الحل:
- تُعوض المعطيات في قانون مساحة شبه المنحرف:
- مساحة شبه المنحرف = ½ × (ق1 ق2) × ع
- مساحة شبه المنحرف = ½ × (13 6.4) × 9
- مساحة شبه المنحرف = 87.3 سم
المثال الثالث: ما مساحة متوازي الأضلاع الذي تبلغ طول قاعدته 6 سم، وطول ضلعه الرأسي 3.2 سم، وقياس الزاوية بين الضلعين 60 درجة.
الحل:
- تُعوض المعطيات في قانون مساحة متوازي الأضلاع:
- مساحة متوازي الأضلاع = طول الضلع الأول × طول الضلع الثاني × جاθ
- مساحة متوازي الأضلاع = 6 × 3.2 × جا60
- مساحة متوازي الأضلاع = 16.56 سم².
المثال الثالث: ما مساحة متوازي الأضلاع الذي تبلغ طول قاعدته 6 سم، وطول ضلعه الرأسي 3.2 سم، وقياس الزاوية بين الضلعين 60 درجة.
الحل:
- تُعوض المعطيات في قانون مساحة متوازي الأضلاع:
- مساحة متوازي الأضلاع = طول الضلع الأول × طول الضلع الثاني × جاθ
- مساحة متوازي الأضلاع = 6 × 3.2 × جا60
- مساحة متوازي الأضلاع = 16.56 سم².
المثال الرابع: إذا علمتَ أنّ ارتفاع المعين 11 سم، وطول أحد أضلاعه 7 سم، فما هي مساحته؟
الحل:
- تُعوض المعطيات في قانون مساحة المعين:
- مساحة المعين= الارتفاع × طول الضلع
- مساحة المعين= 11 × 7
- مساحة المعين= 77 سم.
المثال الخامس: إذا علمتَ أن دائرة نصف قطرها 8 سم، يقع داخلها قطاع دائري زاويته 7 راديان، أوجد مساحة القطاع الدائري.
الحل:
- تُعوض المعطيات في قانون مساحة القطاع الدائري:
- مساحة القطاع الدائري = ½ × زاوية القطاع × نصف القطر²
- مساحة القطاع الدائري = ½ × 7 × 8²
- مساحة القطاع الدائري = 224 سم².
المثال السادس: احسب مساحة القطع الناقص، إذا علمت أنّ نصف طول محوره الرئيسي يبلغ 22 سم، ونصف طول محوره الثانوي يبلغ 14 سم.
الحل:
- تُعوض المعطيات في قانون مساحة القطع الناقص:
- مساحة القطع الناقص = π × نصف طول المحور الرئيسي × نصف طول المحور الثانوي
- مساحة القطع الناقص = 3.14 × 22 × 14
- مساحة القطع الناقص = 967.12 سم².
