ما هي الأعداد الأولية

تعريف الأعداد الأولية

يمكن تعريف الأعداد الأوليّة (بالإنجليزيّة: Prime Numbers) بأنها الأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من العدد واحد، والتي تقبل القسمة على عددين فقط هما العدد نفسه والواحد دون باقٍ؛ مثل العدد 13، والعدد 17.

أمّا الأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من واحد، والتي تقبل القسمة على عدد آخر غيره وغير نفسها فتُسمّى بالأعداد غير الأوليّة أو الأعداد المُركَّبة (بالإنجليزية: Composite Number)، وهي أعداد يمكن تجزئتها، مثل العدد (28) الذي يمتلك عدة عوامل ويعتبر عدداً غير أولي.

ويجدر بالذكر هنا أن العددان (0,1) يُستبعدان دائماً من قائمتي الأعداد الأوليّة والمُركَّبة، ويُعتبر العدد (2) أصغر الأعداد الأولية، وهو العدد الزوجي الأولي الوحيد.

خصائص الأعداد الأوليّة

تتميز الأعداد الأولية بالخصائص الآتية:

• جميع الأعداد الأولية عدا الرقم (2) هي فردية.
• جميع الأعداد الصحيحة التي تزيد عن العدد (3) يمكن التعبير عنها كنتيجة لمجموع عددين أوليين.
• العددان الأوليان المتتاليان فقط هما (2،3).
• جميع الأعداد الصحيحة غير (0،1) هي إما أعداد أولية أو مركبة.
• لا يمكن لعدد ينتهي بأحد العددين (5، 0)؛ مثل 25، 30 أن يكون أولياً.
• إذا كان مجموع الأرقام المكوّنة لعدد ما من مضاعفات العدد (3) فلا يمكن لهذا العدد أن يكون أولياً.

طريقة تحديد الأعداد الأوليّة

يمكن تحديد الأعداد الأولية من خلال استخدام إحدى الطرق الآتية:

تمييز العدد المركب عن العدد الأولي

وفيما يأتي طريقة تمييز العدد المركب عن العدد الأولي:

• العدد المركب: يتميز العدد المركب بأنه العدد الذي يقبل القسمة على عدد أولي يقل عن أو يساوي جذره دون باقٍ؛ فإذا كان العدد (ن) مركب، وبالتالي فإنه يقبل القسمة دون باقٍ على أحد الأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي ن√.
• العدد الأولي: وفي حال عدم قابلية العدد المركب للقسمة دون باق على أحد الأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي ن√، فهذا يعني أن العدد أولي؛ فمثلاً العدد 23 لا يمكنه القسمة على أي عدد أولي يقل عن أو يساوي 23√ دون باقٍ، وهذا يُثبت أنه أولي.

التحليل إلى العوامل

من خلال هذه الطريقة يمكن تحديد إن كان العدد أولياً بشكل بسيط وسريع، وتتلخّص بالبحث عن الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد المطلوب تحليله إلى عوامله بالاستعانة بالنظرية السابقة أو بالتخمين، وفيما يأتي مثال توضيحي:

لو أخذنا العدد 15 على سبيل المثال، فإنّنا نجد أنّ 3 و5 حاصل ضربهما هو 15، وعليه يعتبر العدد 15 عدداً مركّباً وليس أولياً؛ لوجود أعداد غيره يمكن له القسمة عليها دون باقٍ، وهي: 3،5.

أمثلة حول الأعداد الأوليّة والمُركَّبة

وفيما يأتي بعض الأمثلة على الأعداد الأولية والمركبة:

• المثال الأول: فسّر سبب أن الأعداد الآتية (29,13,7,5) هي أعداد أوليّة؟
  • الحل: جميع هذه الأعداد تقبل القسمة على نفسها وعلى العدد واحد فقط.

• المثال الثاني: ما هي الأعداد الأوليّة الأصغر من العدد 100؟
  • الحلّ: الأعداد الأولية الأصغر من العدد 100، هي: (97,89,83,79,73,71,67,61,59,53,47,43,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2).

• المثال الثالث: هل الأعداد (73,10,8,53,19,119) أوليّة أم مُركّبة؟
  • الحلّ:
    • العدد 8 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 2×4 = 8، وبذلك يُستبعَد من قائمة الأعداد الأوليّة.
    • العدد 73 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 73.
    • العدد 10 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 2×5 = 10.
    • العدد 19 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 19.
    • العدد 53 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 53.
    • العدد 119 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 17×7 = 119.

• المثال الرابع: ما هي الأعداد الأوليّة المحصورة بين (50-59)، و(40-49)؟
  • الحلّ:
    • 53،59 عددان أوليان محصوران بين (50-59)، فهما لا يقبلان القسمة إلا على نفسهما والعدد (1).
    • 43،41، 47 هي الأعداد الأولية المحصورة بين (40-49)، فهي لا تقبل القسمة إلا على نفسها والعدد (1).