مفهوم مبدأ برنولي
يقوم مبدأ برنولي (بالإنجليزية: Bernoulli's Principle) الذي صاغه دانيال برنولي على أنّه مع زيادة سرعة المائع المتحرك سواء كان سائًل أم غازًا، ينخفض الضغط داخل المائع ، وينص على أنّ الطاقة الميكانيكية الكلية للمائع المتحرك والتي تشمل طاقة الجاذبية الكامنة (طاقة وضع الجاذبية)، والطاقة المرتبطة بضغط المائع والطاقة الحركية لحركة المائع، تبقى ثابتة، وتُعد الأساس للعديد من التطبيقات الهندسية التي سيتم التطرّق لها لاحقًا.
الصيغة الرياضية لمعادلة برنولي
تربط معادلة برنولي بين الضغط، والطاقة الحركية، وطاقة الجاذبية الكامنة لسائل في الحاوية، وتتمثل المعادلة بمقدار ثابت ينتج من مجموع الضغط الممارَس من السائل، والطاقة الحركية، وطاقة الوضع لوحدة الحجوم، والتي يُمكن تمثيلها بالصيغة الرياضية التالية، والموضحة بالرموز باللغتين الإنجليزية والعربية:
- p 1/2 ρ v ρgh =constant
- ض ½*ث*ع ج*ث*ف= ثابت
وتمثل الرموز ما يأتي:
- p أو ض : الضغط الذي يمارسه السائل.
- v أو ع: سرعة السائل.
- ρ أو ث: كثافة السائل.
- h أو ف: ارتفاع الحاوية.
- g أو ج: الجاذبية الأرضية.
وفي حال قياس ضغط السائل عند نقطتين مختلفتين فإنّ ضغط السائل، وسرعة السائل، ومساحة مقطع الأنبوب عند النقطة الأولى يمكن تمثيلها على التوالي بالرموز التالية ض1، ع1، م1، وضغط السائل، وسرعة السائل، ومساحة مقطع الأنبوب عند النقطة الثانية يمكن تمثيلها على التوالي بالرموز التالية ض2، ع2، م2، وأنّ ارتفاع مركز المقطع (م1) عند مستوى أفقي معين يعبر عنه بـِ ف1، وارتفاع مركز المقطع (م2) عند المستوى نفسه يعبر عنه بـِ ف2، فعندها يمكن كتابة معادلة برنولي بالصيغة الرياضية كالآتي:
- ض1 ½ ث (ع1) ث ج ف1 = ض2 ½ ث (ع2) ث ج ف2 .
حيثُ تمثل باقي الرموز في المعادلة أعلاه ما يأتي:
- ث: كثافه السائل.
- جـ: الجاذبيّة الأرضيّة، وهي 9.81 أو 10، وتُعتبَر قيمة متغيّرة حسب المكان.
أمثلة حسابية على مبدأ برنولي
ولتعلم كيفية استعمال قانون برنولي بسهولة، ندرج الأمثلة الحسابية التالية على مبدأ برنولي:
حساب الضغط في النقطة الثانية
على افتراض أنّ بعض الماء يتدفق عبر أنبوب، يبلغ ضغط الماء في الأنبوب 150000 باسكال (Pa) ، وسرعة الماء 5.0 م / ث، وارتفاعه 0.0 م، وفي الطرف الآخر تبلغ سرعة الماء 10 م / ث، وارتفاع الأنبوب 2.0 م، ونظرًا لأنّ كثافة الماء تبلغ 1000 كجم / م^3، فكم يبلغ الضغط في النقطة الثانية؟
المعطيات:
- الضغط عند النقطة 1 = 150000 باسكال، و سرعة الماء= 5 م/ث، وارتفاع الأنبوب = 0.
- سرعة الماء عند النقطة 2 = 10م/ث، وارتفاع الأنبوب= 2 م.
- كثافة الماء =1000 كجم / م^3.
- الجاذبية الأرضية = 10 م/ث^2.
الحل: يمكن تحديد الضغط عند النقطة الثانية بتعويض القيم المعلومة في معادلة برنولي، كما الآتي:
ض1 ½ ث (ع1) ث ج ف1 = ض2 ½ ث (ع2) ث ج ف2
150000 0.5*1000*(5^2) 1000 *10*0 = ض2 0.5*1000*(10^2) 1000*10*2
- إيجاد ناتج الضرب والقسمة:
150000 12500 0 = ض2 50000 20000
ض2 =162500 - 70000 ض2 = 92.500 باسكال، وهي قيمة الضغط عند النقطة الثانية من الأنبوب.
حساب الضغط في النقطة الأولى
وُجد أنّ سرعة الماء في الخرطوم زادت من 1.96 م/ ث إلى 25.5 م/ ث من الخرطوم إلى الفوهة، فكم يكون الضغط في الخرطوم، مع العلم أنّ الضغط المطلق في الفوهة هو 1.01 × 10^5 نيوتن / م 2 على عمق ثابت.
المعطيات: بافتراض أنّ النقطة الأولى هي الخرطوم والثانية هي الفوهة، تكون المعطيات كالآتي:
- سرعة الماء عند النقطة 1 = 1.96 م/ث، وارتفاعها ثابت.
- سرعة الماء عند النقطة 2= 25.5 م/ث، وارتفاعها ثابت، والضغط = 1.01× 10^5 نيوتن / م2.
- كثافة الماء: 10^3 كغم/م^3.
الحل: يمكن تحديد الضغط عند النقطة الأولى بتعويض القيم المعلومة في معادلة برنولي، كما الآتي:
ض1 ½ ث (ع1) ث ج ف1 = ض2 ½ ث (ع2) ث ج ف2
- إعادة ترتيب المعادلة كالآتي:
ض1 = ض2 1/2 ث ( ع2) - 1/2 ث (ع1)
مع العلم بأن الارتفاع ثابت أي أنّ ف1= ف2، وأنّ الجاذبية والكثافة هي نفسها، نستنتج بأنّ ج ث ف1= ج ث ف2، لذا نستنتج أنّ ( ج ث ف1 - ج ث ف2 = 0)، وعند إعادة ترتيب المعادلة تحذف القيم مع بعضها البعض، وتنتج المعادلة سابقة الذكر.
- تعويض القيم المعطاة بشكل مباشر في المعادلة:
ض1 = 1.01×10^5 1/2*(10^3)*(25.5)^2 − 1/2*(10^3)*(1.96)^2
= 4.24×10^5 نيوتن/م^2، أي قيمة الضغط في الخرطوم.
أبرز التطبيقات العملية على مبدأ برنولي
يُستخدم مبدأ برنولي في تفسير العديد من الظواهر، وفهم الكثير من الأمور الهندسية المتعلقة بالضغط والطاقة الحركية، وتاليًا ذكر بعض التطبيقات العملية على مبدأ برنولي:
- رفع جناح الطائرة: يُساعد شكل الأجنحة المُسطح من الأسفل والمحدب من الأعلى على تمرير الهواء بشكل أسرع على سطحها العلوي مقارنة بالسطح السفلي، حيث يتم حساب الفرق في سرعة الهواء باستخدام مبدأ برنولي لإحداث فرق في الضغط، مما يُساعد على رفع الطائرة إلى أعلى.
- أجهزة القياس المختلفة: يمكن تطبيق مبدأ برنولي على أجهزة قياس مختلفة مثل مقياس فنتوري، والمعروف أيضًا باسم مقياس تدفق الضغط التفاضلي، والذي يقيس معدل تدفق السائل عن طريق تقليل منطقة التدفق المقطعي في مسار التدفق وتوليد فرق الضغط.
- تطاير الأسقف: أثناء العواصف تتطاير أسطح الأكواخ أو الأسطح المصنوعة من الصفيح دون أن يلحق أي ضرر بأجزاء أخرى من الكوخ؛ إذ تخلق الرياح العاتية ضغطًا منخفضًا أعلى السطح مقارنة بالضغط المتولد أسفله؛ وبسبب هذا الاختلاف في الضغط يرتفع السقف ويتطاير مع الريح.
- موقد بنسن: في موقد بنسن ينخفض ضغط ساق الموقد عند خروج الغاز من الفوهة بسرعة عالية، لذا يندفع الهواء من الغلاف الجوي إلى الموق.
- تطبيقات أخرى: تُستخدم نظرية برنولي لدراسة التدفق المحتمل غير المستقر المستخدم في نظرية موجات سطح المحيط والصوتيات، و تقدير بعض العوامل مثل الضغط وسرعة السائل.
ملخص المقال
يُعد مبدأ برنولي ذو أهمية في تفسير الكثير من الظواهر والأمور الهندسية كتفسير ارتفاع الطائرة وتحليقها، وآلية عمل مقياس فنتوري، إذ يصف مبدأ برنولي تأثير تغير سرعة المائع في الضغط الحاصل، إذ ينخفض الضغط داخل المائع مع زيادة سرعة الأخير، وله صيغة رياضية تطبق عليها المعطيات بسهولة ويُسر، إذ يُمكن إعادة تشكيلها حسب الحاجة.
