كيفية حساب حجم الهرم الثلاثيّ
يُعرّف الهرم الثلاثيّ (Triangular Pyramid) بأنّه شكل هندسيّ ثلاثيّ الأبعاد يتكون من قاعدة مثلثة وثلاثة أضلاع جانبيّة مثلثة الشكل ومتصلة جميعها عند قمة الهرم بنقطة تُسمى رأس الهرم، وإذا كانت جميع أضلاع المثلث بما في ذلك أضلاع القاعدة متساوية في الطول يُسمى هرم ثلاثيّ رباعيّ الوجوه.
ويُمكن حساب حجم الهرم الثلاثي باستخدام الصيغة الرياضيّة الآتية:
حجم الهرم الثلاثي = ⅓ × مساحة قاعدة الهرم × ارتفاع الهرم
وبالرموز:
ح = ⅓ × م × ع
وبالإنجليزية:
V = ⅓ × A × H
حيثُ إنّ:
- ح (V): حجم الهرم الثلاثيّ، ويُقاس بوحدة م³.
- م (A): مساحة قاعدة الهرم الثلاثيّة، وتُقاس بوحدة م².
- ع (H): الارتفاع العاموديّ للهرم ، وهو الخط الواصل بين رأس الهرم والقاعدة، ويُقاس بوحدة م.
وتُحسب مساحة قاعدة الهرم من خلال قانون مساحة المثلث وهو على النحو الآتي:
مساحة قاعدة الهرم (مساحة المثلث) = ½ × القاعدة × الارتفاع
وبالرموز:
م = ½ × ق × ع0
وبالإنجليزية:
A = ⅓ × s × h
حيثُ إنّ:
- م (A): مساحة قاعدة الهرم الثلاثيّة، وتُقاس بوحدة م².
- ق (s): طول ضلع قاعدة المثلث (قاعدة الهرم)، ويُقاس بوحدة م.
- ع0 (h): ارتفاع قاعدة المثلث، ويُقاس بوحدة م.
حجم الهرم الثلاثيّ المنتظم
يتكون الهرم الثلاثي المنتظم أو الهرم الثلاثيّ رباعيّ الوجوه من أوجه وقاعدة مثلثيّة متساوية الأضلاع، وبالتالي يُصبح قانون حجم الهرم الثلاثيّ المنتظم كما يأتي:
حجم الهرم الثلاثي المنتظم = 1/12 × 2√ × طول الضلع³
وبالرموز:
ح = 1/12 × 2√ × ل³
وبالإنجليزية:
V = a³ × √2 × 1/12
حيثُ إنّ:
- ح (V): حجم الهرم الثلاثي المنتظم، ويُقاس بوحدة م³.
- ل (a): طول الضلع، ويُقاس بوحدة م.
أمثلة على حساب حجم الهرم الثلاثيّ
نُدرج فيما يأتي بعض الأمثلة على حساب حجم الهرم الثلاثيّ:
حجم هرم ثلاثيّ معلوم مساحة القاعدة والارتفاع
مثال: جد حجم الهرم الثلاثيّ الذي مساحة قاعدته 40سم² وارتفاعه 10سم.
الحل:
- التعويض في قانون حجم الهرم الثلاثيّ على النحو الآتي:
- حجم الهرم الثلاثي = ⅓ × مساحة قاعدة الهرم × ارتفاع الهرم
- حجم الهرم الثلاثي = ⅓ × 40 × 10
- حجم الهرم الثلاثي = 133.33سم³
حجم هرم ثلاثيّ معلوم الارتفاع وأبعاد القاعدة
مثال: جد حجم الهرم الثلاثيّ القائم الذي ارتفاعه 9سم، وأبعاد قاعدته المثلثيّة: الارتفاع يُساوي 8 سم والقاعدة 6سم.
الحل:
- أولًا: حساب مساحة القاعدة وهي عبارة عن قاعدة ب مثلث قائم الزاوية ويُمكن حساب مساحته بالقانون الآتي:
- مساحة قاعدة الهرم (مساحة المثلث القائم) = ½ × القاعدة × الارتفاع
- مساحة قاعدة الهرم (مساحة المثلث) = ½ × 6 × 8
- مساحة قاعدة الهرم (مساحة المثلث) = 24سم²
- ثانيًا: التعويض في قانون حجم الهرم الثلاثيّ على النحو الآتي:
- حجم الهرم الثلاثي = ⅓ × مساحة قاعدة الهرم × ارتفاع الهرم
- حجم الهرم الثلاثي = ⅓ × 24 × 9
- حجم الهرم الثلاثي = 72سم³
حجم هرم ثلاثيّ منتظم معلوم أطوال الأضلاع
مثال: جد حجم الهرم الثلاثيّ المنتظم الذي طول كل ضلع فيه يُساوي 13 م.
الحل:
- التعويض في قانون حجم الهرم الثلاثيّ المنتظم على النحو الآتي:
- حجم الهرم الثلاثي المنتظم = 1/12 × 2√ × طول الضلع³
- حجم الهرم الثلاثي المنتظم = 1/12 × 2√ × 13³
- حجم الهرم الثلاثي المنتظم = 259سم³
ارتفاع هرم ثلاثيّ معلوم الحجم ومساحة القاعدة
مثال: جد ارتفاع الهرم الثلاثيّ الذي حجمه 100سم³ ومساحة قاعدته 45سم².
الحل:
- التعويض في قانون حجم الهرم الثلاثيّ لإيجاد الارتفاع على النحو الآتي:
- حجم الهرم الثلاثي = ⅓ × مساحة قاعدة الهرم × ارتفاع الهرم
- 100 = ⅓ × 45 × ارتفاع الهرم
- ارتفاع الهرم = 6.66سم.
