طرق حساب طول أضلاع المثلث القائم
يتكون المثلث قائم الزاوية من زاوية قائمة وثلاثة أضلاع كغيره من أنواع المثلثات يُعرف الأطول منها بوتر المثلث وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، أما الضلعان الآخران فهما متعامدان على بعضهما ويُسمّى كل منهما بضلع القائمة، أو ساق المثلث قائم الزاوية، ولحساب هذه الأضلاع يمكن الاستعانة بإحدى الطرق الآتية:
حساب طول أضلاع المثلث القائم باستخدام نظرية فيثاغورس
تُستخدم نظرية فيثاغورس لحساب أضلاع المثلث القائم ، وتنص على أنّ مجموع مربعي ضلعي المثلث القائم يساوي مربع الوتر، ويمكن التعبير عن النظرية بالصيغة الآتية علماً أن أ، ب هما ضلعا القائمة، أما جـ فهو الوتر:
أ² ب² = جـ²
والمثال الآتي يوضح كيفية إيجاد طول وتر المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس:
- إذا كان طول أحد أضلاع المثلث (أ) يساوي 4سم، والضلع الآخر (ب) يساوي 8سم، ما قيمة الوتر (جـ)؟
- بتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن: 8² 4²=جـ²، جـ²=80 ، وبأخذ الجذر التربيعي فإن قيمة جـ = 8.94 سم.
حساب طول أضلاع المثلث القائم باستخدام النسب المثلثية
يمكن حساب أضلاع المثلث القائم إذا عُلِم قياس إحدى الزوايا (غير القائمة) وأحد الأضلاع باستخدام النسب المثلثية، وهي كما يأتي:
- جا (θ)= الضلع المقابل للزاوية (θ)/الوتر.
- جتا (θ)= الضلع المجاور للزاوية (θ)/الوتر.
- ظا (θ)= الضلع المقابل للزاوية (θ)/الضلع المجاور للزاوية (θ).
والمثال الآتي يوضح كيفية استخدام النسب المثلثية لحساب أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية:
- إذا كان طول الضلع ب ج في المثلث أب ج قائم الزاوية في (ب) هو 7سم، وقياس الزاوية ج= 53 درجة، جد قياس الضلع أب، والوتر أج.
- باستخدام ظل الزاوية يمكن حساب طول الضلع أب، وهو الضلع المقابل للزاوية ج، وعليه: ظا (ج) = أب/ب ج = ظا(53) = أب/7، أب= 1.33×7= 9.29سم
- أما الوتر فيمكن حسابه إما باستخدام نظرية فيثاغورس، او عن طريق استخدام جيب تمام الزاوية، أو جيبها، وباستخدام جيب تمام الزاوية يمكن حسابه كما يلي:
-
- جتا (ج) = الضلع المجاور للزاوية (ج)/الوتر، جتا (53)= ب ج/الوتر = 7/الوتر، الوتر= 7/0.6 =11.7 سم.
حساب طول أضلاع المثلث القائم من محيط المثلث
يُمكن حساب محيط المثلث القائم بجمع جميع أطوال أضلاعه، وبما أنّه مثلث قائم الزاوية فإنّ محيطه يُعطى بالعلاقة الآتية:
محيط المثلث القائم = الارتفاع القاعدة الوتر
يُمكن باستخدام هذه العلاقة لحساب طول أضلاع المثلث القائم كالآتي:
عندما يكون المحيط معلومًا وطول ضلعين معلومين
تُعوض المعطيات المتوفرة مباشرةً في قانون محيط المثلث القائم الزاوية لإيجاد طول الضلع المجهول.
عندما يكون المحيط معلومًا وطول ضلع واحد معلوم
على فرض أنّ المحيط وطول الارتفاع معلوم، مثلاً: إذا كان المحيط = 12 سم، والارتفاع = 5 سم، يُمكن اتّباع الخطوات الآتية لإيجاد طول الوتر والقاعدة:
- التعويض في قانون المحيط لإيجاد طول الوتر بدلالة طول القاعدة كالآتي:
- محيط المثلث القائم = الارتفاع القاعدة الوتر.
- 12 = 5 القاعدة الوتر.
- الوتر = 7 - القاعدة، وبالرموز:
- جـ = 7 - ب
- التعويض في قانون فيثاغورس لإيجاد قيمة القاعدة كالآتي:
- أ² ب² = جـ²
- 5² ب² = (7 - ب)²
- توزيع التربيع على القوس:
- 5² ب² = 49 - 2 × 7 × ب ب²
- 25 = 49 - 14 × ب
- ب = 1.7 سم.
- طول القاعدة = 1.7 سم.
- تُعوض طول القاعدة في العلاقة الوتر = (7 - القاعدة) لإيجاد طول الوتر.
- الوتر = 7 - القاعدة = 7 - 1.7 = 5.2 سم.
- الوتر = 5.2 سم.
حساب طول أضلاع المثلث القائم من مساحة المثلث
يُمكن حساب طول أضلاع المثلث القائم عندما تكون المساحة معلومة وطول القاعدة أو الارتفاع معلوم، وذلك بالخطوات الآتية:
- تُحسب مساحة المثلث من القانون:
مساحة المثلث = 1/2 × القاعدة × الارتفاع
- فإذا كان طول ارتفاع المثلث معلوم، يُعاد ترتيب قانون مساحة المثلث لإيجاد طول القاعدة كالآتي:
القاعدة = (2 × مساحة المثلث) / الارتفاع
- وإذا كان طول قاعدة المثلث معلوم، يُعاد ترتيب قانون مساحة المثلث لإيجاد طول الارتفاع كالآتي:
الارتفاع = (2 × مساحة المثلث) / القاعدة
- ثمّ يُستخدم قانون فيثاغورس لإيجاد طول الوتر بتعويض قيم القاعدة والارتفاع كالآتي:
- الوتر = (القاعدة² الارتفاع²) √
أمثلة على حساب طول أضلاع المثلث القائم
المثال الأول: إذا كان طول الوتر في مثلث قائم الزاوية 7سم، وطول إحدى ساقيه 6سم، جد طول ساق الأخرى.
- الحل:
- بتطبيق قانون فيثاغورس أ² ب² = جـ²، ينتج أن: 6² ب²=7²، ب²=13، ب = 3.6 سم.
- المثال الثاني: مثلث قائم إحدى زواياه تساوي 50ْ، والوتر فيه يساوي 6، ما قيمة الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ْ50؟
الحل:
- في هذا المثال لدينا الوتر، والمطلوب هو إيجاد الضلع المقابل للزاوية، وبالتالي فإنه يمكن استخدام جيب الزاوية لحسابه، وذلك كما يلي:
- جاθ= الضلع المقابل للزاوية (θ)/الوتر، جا(50)= الضلع المقابل للزاوية (θ)/ 6 ، الضلع المقابل للزاوية (50) = 4.6سم.
- المثال الثالث: إذا كان طول الوتر في مثلث قائم الزاوية 10سم، وطول إحدى ساقيه 8سم، جد طول ساق الأخرى.
الحل:
- بتطبيق قانون فيثاغورس أ² ب² = جـ²، ينتج أن: 8² ب²=10²، ب²=36، ب = 6 سم.
- المثال الرابع: مثلث قائم إحدى زواياه تساوي 67 درجة، وطول الضلع المقابل لهذه الزاوية 24سم، ما طول الوتر؟
الحل:
- في هذا المثال المطلوب هو الوتر، ولدينا قياس إحدى زوايا المثلث، والضلع المقابل للزاوية، وعليه فإنه يمكن استخدام جيب الزاوية لحسابه، وذلك كما يلي:
- جاθ= الضلع المقابل للزاوية (θ)/الوتر، جا(67)= 24/الوتر، الوتر= 26.1سم.
- المثال الخامس: إذا كان طول برج للاتصالات هو 70م، تم ربطه بسلك من قمته يصل إلى الأرض وتم تثبيته في النقطة (ج) ليصنع السلك مع الأرض زاوية 68 درجة، جد طول هذا السلك.
الحل:
- يصنع السلك مع البرج مثلثاً قائم الزاوية فيه الوتر هو طول السلك، أما ارتفاع البرج فهو ضلع القائمة الأول، والمقابل للزاوية (68) التي يصنعها السلك مع الأرض، وضلع القائمة الثاني هو بعد النقطة التي تم تثبيت السلك بها عن أسفل البرج.
- بما أن المطلوب من السؤال هو الوتر، ولدينا طول الضلع المقابل للزاوية (68)، فإنه يمكن استخدام جيب الزاوية لحل المسألة، وذلك كما يلي:
- جاθ= الضلع المقابل للزاوية (θ)/الوتر، جا(68)= ارتفاع البرج/طول السلك، جا(68)= 70/طول السلك، طول السلك= 75.5م.
- المثال السادس: إذا كان بعد الطائرة عن أحمد 1000م علماً أن أحمد لا يقف تحت الطائرة مباشرة، وارتفاعها العمودي عن سطح الأرض هو (ع)، وكان قياس الزاوية المحصورة بين الخط الممتد من الطائرة إلى أحمد والارتفاع العمودي هو 60 درجة، جد ارتفاع الطائرة عن سطح الأرض؟
الحل:
- يصنع أحمد مع الطائرة مثلثاً قائم الزاوية فيه الوتر هو بعد أحمد عن الطائرة، أما ارتفاع الطائرة العمودي عن سطح الأرض فهو ضلع القائمة الأول، والمجاور للزاوية (60)، وضلع القائمة الثاني هو بعد أحمد الأفقي عن النقطة التي تقع أسفل الطائرة مباشرة على سطح الأرض.
- بما أن المطلوب من السؤال هو الضلع المجاور للزاوية (60)، ولدينا الوتر فإنه يمكن استخدام جيب تمام الزاوية لحل المسألة، وذلك كما يلي:
- جتا (θ)= الضلع المجاور للزاوية (θ)/الوتر، جتا60= الارتفاع/1000، 0.5= الارتفاع/ 1000، ومنه: الارتفاع= 0.5×1000= 500متر، وهو ارتفاع الطائرة عن سطح الأرض.
- المثال السابع: إذا انطلق عليّ ووليد من النقطة ذاتها وسار وليد باتجاه الجنوب، أما علي فسار باتجاه الغرب، وبعد مرور ساعة وربع كان وليد على بعد 2.8كم من نقطة البداية، أما علي فكان على بعد 3.1كم من نقطة البداية، جد المسافة الأقصر بين علي ووليد في تلك اللحظة.
الحل:
- يصنع مسار علي ووليد مع نقطة البداية مثلثاً قائم الزاوية يمثّل فيه بعد وليد عن نقطة البداية أحد ساقي المثلث قائم الزاوية، أما بعد علي عن نقطة البداية فيمثّل الساق الأخرى أما الوتر فهو المسافة الواصلة بينهما.
- لحساب الوتر يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس، وذلك كما يلي:
- أ² ب² = جـ²، ومنه: 2.8² 3.1² = الوتر²، الوتر = 4.18 كم، وهي المسافة بين علي ووليد بعد مرور ساعة وربع من انطلاقهما.
- المثال الثامن: إذا كان طول إحدى ساقي مثلث قائم الزاوية هو س، وكان طول الساق الثانية يقل بمقدار 7 عن طول الساق الأولى، وطول الوتر في هذا المثلث هو 13سم، جد طول ساقي هذا المثلث.
- الحل:
- طول الساق الأولى هو: س، أما طول الساق الثانية فهو: س-7.
- بتطبيق قانون فيثاغورس أ² ب² = جـ²، ينتج أن:
-
- س² (س-7)² = الوتر²، 2س²-14س 49= 169، 2س²-14س-120= 0، وبقسمة المعادلة على (2) ينتج أن: س²-7س-60= 0 وبحل المعادلة ينتج أن: س=12سم، أو س= -5سم.
- طول الساق الأولى هو: س=12سم، أما طول الساق الثانية فهو: س-7 = 12-7 =5سم.
- المثال التاسع: إذا علمتَ أنّ مساحة مثلث قائم الزاوية تساوي 22 سم²، وطول قاعدته يساوي 6 سم، جد طول الوتر وطول ارتفاع المثلث.
الحل:
- التعويض في قانون المساحة لإيجاد طول الارتفاع:
- مساحة المثلث = 1/2 × القاعدة × الارتفاع
- 22 = 1/2 ×6 × الارتفاع
- الارتفاع = 7.33 سم.
- التعويض في قانون فيثاغورس لإيجاد الوتر:
- أ² ب² = جـ²
- 7.33² 6² = جـ²
- جـ = 9.47 سم.
- الوتر = 9.47 سم.
- المثال العاشر: مثلث قائم الزاوية يبلغ محيطه 44 سم، وارتفاعه 12 سم، وطول قاعدته 10 سم، احسب طول الوتر لهذا المثلث.
الحل:
- تُعوض المعطيات في قانون المحيط لإيجاد طول الوتر:
- محيط المثلث القائم = الارتفاع القاعدة الوتر
- 44 = 12 10 الوتر
- الوتر = 22 سم.
- المثال الحادي عشر: يبلغ محيط مثلث قائم الزاوية 30 سم، إذا علمتَ أنّ طول قاعدة هذا المثلث تساوي 8 سم، جد طول الوتر وارتفاع هذا المثلث.
الحل:
- التعويض في قانون المحيط لإيجاد قيمة الوتر بدلالة الارتفاع:
- محيط المثلث القائم = الارتفاع القاعدة الوتر
- 30 = الارتفاع 8 الوتر.
- الوتر = 22 - الارتفاع
- جـ = 22 - أ
- التعويض في قانون فيثاغورس لإيجاد قيمة القاعدة كالآتي:
- أ² ب² = جـ²
- أ² 8² = (22 - أ)²
- أ² 64 = 22² - 2 × 22 × أ أ²
- 64 = 484 - 44 × أ
- أ = 9.5 سم.
- الارتفاع = 9.5 سم.
- الوتر = 22 - الارتفاع
- الوتر = 22 - 9.5
- الوتر = 12.5 سم.
