إيجاد العامل المشترك الأكبر بإيجاد القواسم
يُعرف العامل المشترك الأكبر (بالإنجليزية: Greatest Common Factor) بأنه أكبر عامل أو قاسم بين العوامل أو القواسم المُشتركة بين عددين أو أكثر، ويمكن إيجاده باتّباع الخطوات الآتية:
- إيجاد جميع العوامل لكل عدد ؛ والعوامل هي الأعداد التي يُمكن ضربها ببعضها للحصول على ذلك العدد؛ فمثلاً العدد 6 يَنتج عن ضرب عاملين ببعضهما هما: 2، 3، و1، 6 ليعتبر كل عدد من هذه الأعداد عاملاً من عوامل العدد 6.
- وضع دائرة على العوامل المشتركة بين العددين.
- اختيار أكبر عامل بين هذه العوامل المشتركة.
إيجاد العامل المشترك الأكبر بالتحليل إلى العوامل الأولية
يمكن إيجاد العامل المشترك للأعداد باتباع الخطوات الآتية:
- يُحدد الرقم المراد تحليله إلى العوامل الأولية.
- تُكتب العوامل من خلال الرجوع لجدول الضرب للعدد نفسه.
- توضع دائرة للأعداد المشتركة الناتجة من حاصل ضرب كل عدد وذلك عند وجود أكثر من عدد.
- ضرب الأعداد المشتركة معًا.
مثال: حلّل العدد 6 إلى عوامله الأولية.
الحل:
- يُرجع لجدول الضرب للعدد 6.
- يتبيّن أنّ العدد 6 يساوي 6 × 1، و 3 × 2.
- ينتج أنّ العددان 2 و 3 هما العوامل الأولية للعدد 6.
إيجاد العامل المشترك الأكبر باستخدام خوارزمية أقليدس
تُستخدم خوارزمية أقليدس لتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية وذلك بتقسيمها إلى أعداد أصغر وأصغر في كل مرة، فهي تُعتبر طريقة سريعة لتحليل الأعداد الكبيرة، ولمعرفة الطريقة الصحيحة للتحليل يجب اتّباع الخطوات الآتية:
- تحديد الأعداد المراد تحليلها إلى عواملها الأولية مثلًا العددين (270,192).
- إجراء عملية القسمة بين الأعداد حيث يتم قسمة العدد الأكبر على الأصغر(270÷192).
- تحديد الباقي من كل عملية قسمة مثلًا في المثال يكون الباقي الأول 78.
- قسمة العدد الأصغر على الباقي بعد كل عملية أي (78÷192).
- الباقي من ناتج القسمة هو العدد 36.
- قسمة العدد 78 على الباقي الثاني وهو 36 وعليه يكون باقي القسمة هو العدد 6.
- تكرار نفس العملية على العدد والباقي الأصغر من كل عملية قسمة (6÷36).
- تنتهي العملية بالحصول على صفر وعليه يكون العامل المشترك الأكبر للعددين (270,192) هو العدد 6.
أمثلة على إيجاد العامل المشترك الأكبر
تتنوع الأمثلة على إيجاد العامل المشترك الأكبر، وفيما يأتي مجموعة من الأفكار والأمثلة المطروحة عليها:
مثال: جد العامل المشترك الأكبر للعدد 20 والعدد 30 باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.
الحل:
- العدد 20 هو حاصل ضرب (4×5) وكذلك (10×2) وكلاهما يعطي نفس نتيجة التحليل.
- تحليل العدد 4 أيضًا إلى عوامله الأولية وهو (2,2)
- وعليه فإنّ العوامل الأولية للعدد 20 هي (2,2,5).
- تحليل العدد 30 إلى عوامله الأولية وهو حاصل ضرب العددين (5×6).
- تحليل العدد 6 إلى عوامله الأولية وهي (3,2).
- ومنه يتّضح أنّ العوامل الأولية للعددين كالآتي:
- 2,2,5=20
- 2,3,5=30
- وعليه فإنّ العوامل المشتركة بينهما هي (2,5).
- ضرب العدد 2 في العدد 5، لينتج العدد 10 الذي يُمثل العامل المشترك الأكبر بين العددين (20,30).
مثال: جد إيجاد العامل المشترك الأكبر للعدد 16 والعدد 24 باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.
الحل:
- العوامل الأولية للعدد 16 هي ناتج ضرب (4×4) وهي ( 2,2,2,2).
- العوامل الأولية للعدد 24 هي حاصل ضرب (4×6) وهي (2,2,3,2).
- الأعداد المشتركة بينهما هي (2,2,2).
- ضرب الأعداد المشتركة (8=2×2×2).
- العامل المشترك الأكبر للعددين (16،24) هو العدد 8.
مثال: جد العامل المشترك الأكبر للأعداد (100,200,300) باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.
الحل:
- حلل العدد 100 إلى عوامله الأولية وهي حاصل ضرب (10×10) = (2,5,2,5).
- حلل العدد 200 إلى عوامله الأولية وهي (100×2) = (2,2,5,2,5).
- حلل العدد 300 إلى عوامله الأولية وهي حاصل ضرب (100×3) = (2,5,2,5,3).
- العوامل المشتركة بين الأعداد هي (2,2,5,5).
- ضرب العوامل المشتركة (100=5×5×2×2)، ليكون بذلك العامل المشترك الأكبر بين الأعداد (100،200،300) هو العدد 100.
مثال: جد إيجاد العامل المشترك الأكبر للعددين (525،390) باستخدام خوارزمية أقليدس
الحل:
- قسمة العدد 525 على العدد 390 وعليه يكون باقي القسمة هو العدد 135.
- قسمة العدد 390 على الباقي الأول وهو العدد 135 وعليه يكون باقي القسمة يساوي العدد 120.
- قسمة العدد 135 على الباقي 120 ليكون باقي العملية هو العدد 15.
- قسمة العدد 120 على الباقي 15 ليكون الباقي صفر وهذا يعني أنّ العامل المشترك الأكبر للعددين (525,390) هو العدد 15.
