قوانين حساب مساحة المثلث
يُمكن حساب مساحة المثلث بعدة طرق اعتماداً على المعطيات المتوفرة، وفيما يأتي ثلاثة قوانين لحساب مساحة المثلث:
القانون العام لحساب مساحة المثلث
مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
وبالرموز: م = ½ × ق × ع
حيثُ تمثّل:
- م : مساحة المثلث بوحدة س م .
- ق: قاعدة المثلث بوحدة س م .
- ع: ارتفاع المثلث بوحدة س م .
يمكن حساب مساحة المثلث قائم الزاوية ، والمتساوي الأضلاع، والمتساوي الساقين باستخدام القانون العام لمساحة المثلث.
قانون حساب مساحة المثلث بدلالة جيب إحدى زواياه
مساحة المثلث = ½ × الضلع الأول × الضلع الثاني × جيب الزاوية
وبالرموز: م = ½ × ض1 × ض2 × جا(س)
حيثُ تمثّل:
- م : مساحة المثلث بوحدة س م .
- ض1: طول الضلع الأول بوحدة سم.
- ض2: طول الضلع الثاني بوحدة سم.
- جا(س): جيب تمام الزاوية المحصورة بين الضلعين.
يُمكن حساب مساحة المثلث المتساوي السّاقين باستخدام هذا القانون من خلال معرفة طول ضلعيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما.
قانون حساب مساحة المثلث بصيغة هيرو
مساحة المثلث = [نصف المحيط × (نصف المحيط - الضلع الأول) × (نصف المحيط - الضلع الثاني) × (نصف المحيط - الضلع الثالث)] √
وبالرموز : م = [ح × (ح - ض1) × (ح - ض2) × (ح - ض3)] √،
ويُحسب نصف محيط المثلث من خلال المعادلة التالية:
نصف محيط المثلث = (الضلع الأول الضلع الثاني الضلع الثالث)/2
وبالرموز: ح = (ض1 ض2 ض3)/2
حيثُ تُمثّل:
- م : مساحة المثلث بوحدة س م .
- ح: نصف محيط المثلث بوحدة سم.
- ض1: طول الضلع الأول بوحدة سم.
- ض2: طول الضلع الثاني بوحدة سم.
- ض3: طول الضلع الثالث بوحدة سم.
يُستخدم هذا القانون لإيجاد مساحة المثلث متساوي الأضلاع ، أو عند معرفة أطوال أضلاع المثلث الثلاث.
أمثلة على حساب مساحة المثلث
إيجاد مساحة مثلث بمعرفة طول قاعدته وارتفاعه
مثال (1): ما هي مساحة المثلث الذي طول قاعدته 3 سم وارتفاعه 4 سم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، م = ½ × 3 × 4
- إيجاد الناتج، م = 6 س م
مثال (2): ما هي مساحة المثلث حاد الزاوية الذي طول قاعدته 13 سم وارتفاعه 5 سم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، م = ½ × 13 × 5
- إيجاد الناتج، م = 32.5 س م
مثال (3): ما هي مساحة المثلث قائم الزاوية الذي طول قاعدته 7 سم وارتفاعه 8 سم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، م = ½ × 7 × 8
- إيجاد الناتج، م = 28 س م
مثال (4): ما هي مساحة المثلث منفرج الزاوية الذي طول قاعدته 4 سم وارتفاعه 7 سم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، م = ½ × 4 × 7
- إيجاد الناتج، م = 14 س م
إيجاد ارتفاع مثلث بمعرفة مساحته وطول قاعدته
مثال (1): ما هو ارتفاع المثلث قائم الزاوية الذي مساحته 28 س م وطول قاعدته 7 سم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، 28 = ½ × 7 × ع
- إيجاد الناتج، ع = 8 س م
مثال (2): ما هو ارتفاع المثلث قائم الزاوية الذي مساحته 10 ملم وطول قاعدته 5 ملم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، 10 = ½ × 5 × ع
- إيجاد الناتج، ع = 4 ملم
مثال (3): ما هو ارتفاع المثلث الذي مساحته 15 س م وطول قاعدته 10 سم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، 15 = ½ × 10 × ع
- إيجاد الناتج، ع = 3 سم
مثال (4): ما هو ارتفاع المثلث الذي مساحته 24 ملم وطول قاعدته 4 ملم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، 24 = ½ × 4 × ع
- إيجاد الناتج، ع = 12 ملم
إيجاد مساحة مثلث بمعرفة طول ضلعيه والزاوية المحصورة
مثال (1): ما هي مساحة المثلث الذي طول ضلعه الأول 12 سم، وطول ضلعه الثاني 18 سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 55°؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × الضلع الأول × الضلع الثاني × جيب الزاوية
- وبالرموز: م = ½ × ض1 × ض2 × جا(س)
- تعويض المعطيات، م = ½ × 12 × 18 × جا(55°)
- إيجاد الناتج، م = 88.47 س م
مثال (2): ما هي مساحة المثلث الذي طول ضلعه الأول 4 سم، وطول ضلعه الثاني 3 سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 145°؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × الضلع الأول × الضلع الثاني × جيب الزاوية
- وبالرموز: م = ½ × ض1 × ض2 × جا(س)
- تعويض المعطيات، م = ½ × 4 × 3 × جا(145°)
- إيجاد الناتج، م = 3.44 س م
مثال (3): ما هي مساحة المثلث الذي طول ضلعه الأول 7 ملم، وطول ضلعه الثاني 10 ملم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 25°؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × الضلع الأول × الضلع الثاني × جيب الزاوية
- وبالرموز: م = ½ × ض1 × ض2 × جا(س)
- تعويض المعطيات، م = ½ × 7 × 10 × جا(25°)
- إيجاد الناتج، م = 14.8 مل م
مثال (4): ما هي مساحة المثلث الذي طول ضلعه الأول 231 متر، وطول ضلعه الثاني 150 متر، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 123°؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × الضلع الأول × الضلع الثاني × جيب الزاوية
- وبالرموز: م = ½ × ض1 × ض2 × جا(س)
- تعويض المعطيات، م = ½ × 231 × 150 × جا(123°)
- إيجاد الناتج، م = 14,530 متر
إيجاد طول قاعدة مثلث بمعرفة مساحته وارتفاعه
مثال (1): ما هو طول قاعدة المثلث الذي مساحته 56 متر وارتفاعه 8 متر؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، 56 = ½ × ق × 8
- إيجاد الناتج، ع = 14 متر
مثال (2): ما هو طول قاعدة المثلث الذي مساحته 12 سم وارتفاعه 3 سم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، 12 = ½ × ق × 3
- إيجاد الناتج، ع = 8 سم
مثال (3): ما هو طول سجادة مثلثة الشكل مساحتها 16 متر وارتفاعها 4 متر؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، 16 = ½ × ق × 4
- إيجاد الناتج، ع = 8 متر
مثال (4): ما هو طول قاعدة المثلث الذي مساحته 200 ملم وارتفاعه 100 ملم؟
- كتابة القانون:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
- وبالرموز: م = ½ × ق × ع
- تعويض المعطيات، 200 = ½ × ق × 100
- إيجاد الناتج، ع = 4 ملم
كيفية معرفة قاعدة المثلث
يُمكن معرفة قاعدة المثلث من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس التي تنص على أنّ مربع الوتر يساوي حاصل مجموع مربعي ضلعي المثلث قائم الزاوية، و في حالة المثلث قائم الزاوية فإن قاعدة المثلث هي أحد الضلعين المجاورين للزاوية 90°، ويُمكن إيجاد طول قاعدة أيّ مثلث عند معرفة ارتفاعه ووتره بتطبيق المعادلة الآتية:
و= ق ع
حيث أنّ:
- و: وتر المثلث.
- ق: قاعدة المثلث.
- ع: ارتفاع المثلث.
وبجعل القاعدة موضع القانون يمكن إيجاد طول قاعدة المثلث، كما يأتي:
ق= و - ع
فيديو عن كيفية حساب مساحة المثلث
للتعرّف على كيفية حساب مساحة المثلث يُمكن مشاهدة الفيديو الآتي:
يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام عدّة صِيغ رياضية تتناسب مع المعطيات المتوفّرة، وأبرزها أطوال أضلاع المثلث والتي تمثل قاعدة المثلث وارتفاعه، إضافةً إلى إيجاد مساحة المثلث بمعرفة نصف محيطه، أو بمعرفة طول ضلعيه مع قياس الزاوية المحصورة بينهما، كما يمكن حساب طول أحد الضلعين في حال معرفة طول الضلع الآخر ومساحة المثلث.
