قوانين حساب مساحة الأسطوانة
يُمكن تعريف الأسطوانة على أنّها جسم ثلاثي الأبعاد يتكون من دائرتين مُتّصلتين مع بعضهما البعض لتشكيل شكل شبيه بالعمود المستدير، وتتمثّل مساحة سطحها بمجموع مساحة الدائرتين أو القاعدتين العلويّة والسفليّة، ومساحة المستطيل الجانبيّ الملتف بين القاعدتين، والذي يمثل المساحة الجانبية لها، وصيغة قانون المساحة لكلّ منهما هو كالآتي:
مساحة الدائرة أو قاعدة الأسطوانة= π×نق²
مساحة المستطيل أو المساحة الجانبيّة للأسطوانة= 2×π×نق×ع
وبالتالي يكون القانون العام للمساحة الكليّة لسطح الأسطوانة على النحو الآتي:
المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة=2 × مساحة القاعدة المساحة الجانبية
وبالرموز:
المساحة الكلية لسطح الأسطوانة= 2×(π نق²) 2×π×نق×ع = 2×π×نق×(نق ع)
إذ إنّ:
- نق: نصف قطر قاعدة الأسطوانة.
- π: باي، ثابت عددي قيمته 3.14 أو 22/7.
- ع: ارتفاع الأسطوانة.
أمثلة على استخدام قوانين مساحة الأسطوانة
وفيما يأتي بعض الأمثلة على قوانين مساحة الأسطوانة:
مثال 1: احسب المساحة الجانبية للأسطوانة، علمًا بأنّ نصف قطرها 6 سم، وارتفاعها 10سم.
- الحل:
- نعوض القيم المعطاة في السؤال بقانون المساحة الجانبيّة للأسطوانة: المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 2 × π × نصف القطر × ارتفاع الأسطوانة.
- المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 2 × 3.14 × 6 × 10
- المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 376.8 سم².
مثال 2: إذا علمتَ أنّ المساحة الجانبية للأسطوانة 96 سم²، وارتفاعها 7 سم، احسب نصف قطر الأسطوانة.
- الحل:
- نعوض القيم المعطاة في السؤال بقانون المساحة الجانبيّة للأسطوانة: المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 2 × π × نصف القطر × ارتفاع الأسطوانة.
- 96 = 2 × 22/7 × نصف القطر × 7
- 96 = 44 × نصف القطر.
- نصف القطر = 2.18 سم.
مثال 3: إذا علمتَ أنّ المساحة الكلية للأسطوانة 210 سم² والمساحة الجانبية 30 سم، احسب مساحة قاعدة الأسطوانة.
- الحل:
- نعوض القيم المعطاة في السؤال بقانون المساحة الكلية للأسطوانة: المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2 × مساحة القاعدة المساحة الجانبية
- 210= 2 × مساحة القاعدة 30
- 180= 2 × مساحة القاعدة
- مساحة القاعدة= 90 سم.
مثال 4: إذا علمتَ أنّ مساحة قاعدة الأسطوانة 78.5 سم²، احسب نصف قطر الأسطوانة.
- الحل:
- نعوض القيم المعطاة في السؤال بقانون مساحة قاعدة الأسطوانة: مساحة قاعدة الأسطوانة= π × نق²
- 78.5= 3.14 × نق²
- نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للتخلص من الأس التربيعي؛ نق²√= 25√
- نصف القطر= 5 سم.
مثال 5: احسب المساحة الكلية لسطح الأسطوانة إذا علمتَ بأنّ قطر قاعدتها 6 م، وارتفاعها 5 م.
- الحل: باستخدام القانون؛ المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2 × مساحة القاعدة المساحة الجانبية، نتبع الخطوات التالية:
- نحسب مساحة القاعدة:
- مساحة قاعدة الأسطوانة= π × نق²
- نجد نصف القطر: قطر القاعدة= 6، إذًا نصف القطر = 6/2 = 3.
- مساحة قاعدة الأسطوانة= 3.14 × 3²
- مساحة قاعدة الأسطوانة= 28.26 م²
- نحسب المساحة الجانبية للأسطوانة:
- المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 2 × π × نصف القطر × ارتفاع الأسطوانة.
- المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 2 × 3.14 × 3 × 5
- المساحة الجانبيّة للأسطوانة = 94.2 م²
- نحسب المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة:
- المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2 × مساحة القاعدة المساحة الجانبية
- المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2 × 28.26 94.2
- المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 56.52 94.2
- المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 150.72 م²
مثال 6: إذا علمتَ أنّ المساحة الكلية للأسطوانة 120 م² ونصف قطرها 5 م، احسب ارتفاع الأسطوانة.
- الحل: باستخدام القانون؛ المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2 × مساحة القاعدة المساحة الجانبية، نتبع الخطوات التالية:
- نعوض قانون مساحة قاعدة الأسطوانة= π × نق²، وقانون المساحة الجانبية 2 × π × نق × ع، في قانون المساحة الكلية.
- يصبح القانون على الشكل؛ المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= (2 × π × نق²) (2 × π × نق × ع)
- نعوض القيم المعطاة في السؤال بقانون المساحة الكلية للأطوانة: المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= (2 × 3.14 × 5²) (2 × 3.14 × 5 × ع)
- 270= (157) (31.4 × ع)
- 113= 31.4 × ع
- ع= 3.6 م
- ارتفاع الأسطوانة = 3.6 م
تُعرّف الأسطوانة بأنّها جسم ثلاثي الأبعاد مكون من قاعدتين مُتصلتين ببعضها البعض، ويُمكن حساب مساحة الأسطوانة من خلال جمع مساحة القاعدة الأولى مع مساحة القاعدة الثانية مع المساحة الجانبية للأسطوانة، علمًا بأنّ مساحة القاعدة هي نفسها مساحة الدائرة ، ومن خلال هذه القوانين المختلفة التي تشمل مساحة القاعدة والمساحة الجانبية يُمكن حساب مساحة الأسطوانة ونصف قطرها وارتفاعها وغيرها.
